极点赤平投影等值线作图程序

D01:10.13374/i.issn1001-053x.1981.01.001 北京钢铁学院学报 1981年第1期 极点赤平投影等值线作图程序” 采矿教研室磨国华杨同 摘 要 本文群蜘讨论了利用吴氏赤平投影网制作极点等值线图的原理，并给出了相应 的电算程序。用一个具体实例将所得结果与用施密特作图法得到的结果进行了比 较。此例说明：经政正的吴氏网作图法更精确、但占用计算时间更多、而用两种方 法得到的等值线图是相互接近的。 一、导 言 近几十年来，岩体中露天和地下开挖工程的规模日益扩大。保持开挖工程的稳定性已成 为岩石力学中一个重要的问题。实际岩体十分复杂，供分析用的岩体简化力学模型需根据问 题的性质和几何尺寸来加以选定。仅在极个别情况下允许视岩体为宏观均质和各向同性体， 在更多的体情况下，都需要考虑它们中称为地质结构面这样一类软弱不连续面的作用。 断层、节理、层理、叶理、夹层、接触界面、不整合面等地质结构面是岩体中普遍存 在的天然不连续面，它们破坏了岩体的整体性，使应力产生跃变、变形不连续、强度具有强 烈的方向性等等。岩体的这种结构特征对其力学行为有着支配性的影响：初期的破坏面和最 后发生的岩石滑动面几乎平总是和结构不连续面相联系的【」。可见、查明岩体结构是了解岩 体开挖工程稳定性不可缺少的前提。 岩体结构分析中首先是结构面几何特征的分析。目前，尚不能对岩体中所有的每一个不 连续面都逐个地进行分析计算。幸而，地质结构面的几何分布，由于成生上的联系，乃有一 定的规律可循。例如节理，岩石总是在某些特定方向上产生节理，一组近乎平行的节理构成 一个节理系，节理系中的节理产状近似，而节理杂乱分布的表象往往是由于几组节理同时出 现，互相迭加造成的。通过野外量测和分析，可以识别节理的分组情况，找出分组的优势产 状或平均产状，然后再确定分组的力学特征，进而识别整个岩体的特征，在这样的基础上产 生供分析用的等效力学模型。 施密特(Sc山midt)等值线法是进行结构面分组并确定分组的优势产状常用的方法。 这一方法简便易行，具有统计上的等面等价性，但如文【2！指出，它不具有统计上的等形等价 性。利川吴尔夫(Wu1f)网，经过等面方而的改正，却可以得到既等形又等面的统计方 法，但以此法进行手工制图却过于繁琐「3]。随着电算技术的推广使用，等值线作图的手工 ◆本文1980年7月1日收到。 4

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年第 期 极点赤平投影等值线作图程序 ’ 采矿 教研 室 廖 国华 杨 同 摘 要 本文 样 细 讨论 了利 用 吴 氏赤平 投 影 网制作 极 点等值 线 图 的原 理 ， 并给 出了相应 的 电算 程 序 。 用 一 个具 体 实例将所 得 结果 与用 施肠密特作 图法 得 到 的结果 进行 了 比 较 。 此例 说 明 经 改 正 的吴 氏网作 图法 更精 确 、 但 占用计 算 时间更 多 、 而用 两种方 法得 到的等值 线 图是 相互 接近 的 。 一 、 导 工门一 口 口 近 几 十年来 ， 岩体 中露天 和地下 开 挖工 程 的规 模 日益 扩大 。 保持开 挖工 程 的稳定性已成 为岩石力学 中一 个重 要 的 问题 。 实际岩体 十分 复杂 ， 供 分析用 的岩体简 化力学模 型 需 根据 问 题 的 性质和 几何尺 寸 来加 以 选 定 。 仅 在极个另情 况下允 许 视 岩体为宏观均质和 各向 同性体 ， 在更 多的体情 况下 ， 都 需要考虑 它们 中称 为地质结 构 面这样一 类软弱不连 续 面 的作用 。 断层 、 节理 、 层 理 、 叶理 、 夹层 、 接触 界面 、 不 整合 面 等地质结 构面是 岩体 中普遍存 在 的天 然不 连 续面 ， 它 们 破坏 了岩 体 的 整体 性 ， 使应 力产 生跃 变 、 变形不连 续 、 强度具有强 烈 的方 向 性等等 。 岩体的这种结构特 征对 其力学行为有着支配性的影响 初 期的破坏 面和最 后发生的岩石 滑 动 面 几乎总是 和结 构不 连 续面相 联 系的 ‘ 。 可 见 、 查 明岩体结 构是 了解岩 体开 挖工 程稳 定性不 可 缺少 的前提 。 岩体结 构分析 中首先是 结构 面几何特征 的 分析 。 目前 ， 尚不 能对 岩体 中所 有的每一个不 连续面都 逐个地 进行分析计 算 。 幸而 ， 地质结 构面 的几何 分布 ， 由于成生 上 的联 系 ， 乃 有一 定的规律可循 。 例 如 节 理 ， 岩石 总是 在某 些特 定方 向上产 生节理 ， 一组近 乎平 行 的节理 构成 一个节理 系 ， 节理 系 中的节理产 状 近 似 ， 而节 理 杂 乱分布的表象往往是 由于几 组节理 同时 出 现 ， 互相 迭加造成 的 。 通 过 野外量 测和 分析 ， 一 可以 识 别节理的分组情况 ， 找 出分组的优势产 状 或平均产状 ， 然后 再确定 分组 的力学特征 ， 进而 识 另 整个岩体 的特征 ， 在 这样的基 础 上产 生供分析用 的等效 力学 模 型 。 施 密 特 ， 等值 线法是 进 行结 构面 分组 并确定 分 组的 优 势产状 常用 的方法 。 这一方 法简便 易行 ， 具 有统 计 上的 等面 等价 性 ， 但如 文 」指 出 ， 它不 具有统 计 上的 等形等价 性 。 利 用吴 尔夫 网 ， 经 过 等 而方 面 的 改 正 ， 却可 以得 到 既 等 形 又 等面 的统 计方 法 ， 但 以 此 法进 行手工 制 图 却过 于繁 琐 “ 。 随 着 电算技术 的推广 使用 ， 等 值 线 作 图的 手工 本文 年 月 日 收到 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1981．01．001

作业已由机器代替。在使用电算法的前题下，完全可以用吴尔夫网作出更精确的等值线图。 本文将详细讨论这一作图原理和技术，并给以评价。 二、极点等值线作图原理 1.不连续面极点的赤平极射投影 取图1所示的坐标系及参考球，将所讨论的平面Q平移至球中并通过原点，过原点作Q 的法线，此法线与参考球面相交于N点， 称N为Q面的极点，显然，Q与有唯一 的对应关系。 取F(O,O,-R)点为焦点、将N点向 F投射，射线与赤道平的交点n称为 的赤平极射投影，设Q面的倾向方位角为 6,倾角为p,若ox轴指北，oy轴指东， 在此坐标系中，n点的坐标为： xn=R.tgp .co80 Q面大圆投影 2 a)Q面及其极 (1) 点 yn=Rtg号·sin9 若以ox为极轴，0为极角，则n点坐标 为： P。=Rtgg (2) Q面大圆 0。=0 式中R为参考球半径。 ·2.极点密度及等值战 既然同出一源的地质结构面产状近 b)垂直Q面走 向的直立大圆 似，，因此，同组结构面的极点将在球面上 相对地集中，'形成极点束。极点在球面上 密集的程度可用单位球面内的极点数表 示。 9面极点技 如果取球面上的任意一点C来研究极 点密度，现通用的办法是以C为厨心作一 園 适当的球面圆，称为球面计数圆，统计出 此圆圈入的极点数目Sc,并以整个被统 但 计的极点总数S除之，此一百分数被规定 为点C处的极点密度Dc: c)赤平面图 D6=号×100% 按惯例通常取球面计数圆的面积为半球而 图1 E 2

作业已油 机器 代替 。 在使用 电算法的前题下 ， 完 全可 以 用吴 尔夫 网作出更精确的等值线图 。 术丈将详细讨论这二作图原理和 技术 ， 并给 以评价 。 二 、 极点等 值线 作图原理 取图 的法线 ， 不连续面极点 的赤平极射投影 所示的坐标系及参考球 ， 将所 讨论的平 面 平 移至球 中并通过原 点 ， 过原 点作 此 法线 与参考球面相 交于 点 ， 称 为 面 的极点 ， 显然 ， 与 有唯一 的对应 关系 。 取 ， ， 一 点为焦点 、 将 点向 投射 ， 射 线 与赤道平 面 的 交点 称 为 入 的赤平极射投影 。 设 ’ 而的倾 向方位 角为 ， 倾角为 甲， 若 。 轴 指 ‘ 非 ， 。 轴 指 东 ， 在此 坐标系 中 ， 点的 坐标为 。 · 。 芝一 ‘ 飞 卜 二 “ · ， 号 · ” 若以 。 二 为极轴 ， 为极角 ， 则 点坐标 为 “ ’ ，卫生 、 一 ’ 。 式户 为参考球半径 。 ， ’ · 极点密度及移值坟 ‘ 既然同出一 源的 地质 结 构面 产 状近 似 ， 因此 ，一 同组结构面的极点将在球面 上 相 对地集中 ，， 形成极点束 。 极点在球 面 上 密集的程度 可用单 位球 面 内的极点 数 表 刁阵。 如果取球 面 上的任意一 点 来研究 极 点密度 ， 现通 用的办法是 以 为圆心 作一 适 当的 球面 圆 ， 称为球 面计 数 圆 ， 统计 出 此月 圈入的 ‘ 极点数 目 。 ， 并 以 整 个被统 计的极点总数 丁除之 ， 此 一 百 分数 被规 定 为点 处的极点 密度 。 。 二 哥 、 、 。 。 “ 、 了 硬之色 ， 勺 关 按 惯例通 常取 球面计数 圆的面积 为半球而 图 气 诊

积的百分之一。 如果我们有规律并相当稠密地在球而上布置这种统计点并求出各点的极点密度值，然后 将密度相等的点连接起来，于是就构成了所谓的极点密度等值线。它们与地形等高线性质相 似，在球面上形成一系列的密度等高线，一个山丘代表一束极点集中、而山峰则往往被视为 该组结构面的代表点、其产状代表着该组结构面的优势产状。 极点密度值的实际统计计算难 以、也不需要在球面上来做，而是可 以利用赤平投影原理将整个半球球面 上的情况都投影到赤平而上来进行分 计数球峡 析。这种投影因焦点选择的不同而有 上半球和下半球之分，本文已采用上 半球投影（见图1）。 3.赤平计数圆 以球面上的任意计数点C为顶点 作一高度为h的球缺（见图2），球 十数 N￥ 缺顶面的球面圆的面积当为 A=2xRh。 此以球面圆作为计数球面圆吋，面 积A应等于半球面积的百分之一即 2πR2/100,这时 h=0.01R F 设球心O与C点的联线OC的水平 投影线的方位角为0c,倾角为90°- 图2球面计数圆及其赤平投形 中c,这里pc为OC线与钻直轴线间的夹角，于是球面圆的赤平极射投影为【I: (x-R2 singcocyR:sinposin) loc+R cospc' ioc+Rcosoc Toc+R-12o (3) 式中1oc=R-h。对于球面记数圆，1oc=0.99R,于是，共赤平投影一赤平计数圆方帮 为： (xin ccosc-R)+(y-0.99+c08mc (4) 0.9+cosc aingpcain0c)=(0.141R)2 0.99 co8oc 由此可见，赤平计数圆的半径为： 0.141—R rc=99+coB pe (5) 记其圆心点为C0,由式(4)可得C。的极坐标式为： BinocR Pco=0.99+coB pc (6) 0co=0c 前球面极点C的赤平投影点Cn由(2)为： 3

积 的百分之一 。 如果 我们 有规律并相 当稠密地 在球 而上布置这 种统 计点并求出各点的 极点密度值 ， 然后 将密度相 等 的 点连 接起来 ， 于是 就构成 了所 谓的 极 点密 度等值 线 。 它们 与地形等 高线 性质相 似 ， 在球 面 上形 成 一 系列 的 密度等高线 ， 一 个 山丘 代表一束 极点集中 、 而 山峰则往往被视为 该 组结 构面 的 代表 点 、 其产 状 代表 着该组 结 构面 的优 势产状 。 · ‘ 极 点 密度 值 的实 际统 计计 算难 以 、 也不 需要在球 面 来做 ， 而 是可 以 利 用赤 平投影原理 将 整个半球 球 面 上 的情况 都 投 影 到赤 平 面 上来进 行 分 析 。 这 种投 影 因焦点选 择 的不 同而有 上半球 和 下半球之 分 ， 本文 已采用 上 半球投 影 见 图 。 、 赤平计 数 圆 以 球 面 上 的任 意 计数 点 为顶 点 作一 高度为 的球缺 见 图 ， 球 缺顶 面的球 面 圆的 面积 当为 兀 。 此 以 球 面 圆作 为计 数球 面 圆时 ， 面 积 应 等 于半 球面积 的百 分之 一 即 二 八 ， 这 时 设 球心 与 点的联 线 的水平 投影线 的方 位 角为 ， 倾角为 ’ 图 球面计 数 圆及 其赤平 投 影 山。 ， 这 里甲 为 线 与钻 直轴 线 间的夹角 ， 于 是 球面 圆的赤 平 极射 投 影为 恋 一 ，旦攀黑黔 ， 一 ， ‘ 丁 、 甲 ‘ 丫 尸名、色‘ 粤 甲 甲 。 石万二石…〕 ， ‘ 、 ’ ‘ 旧 式 中 。 。 一 。 对 于球面 记数 圆 ， 。 。 二 。 ” ， 于 是 ， 其赤平 投 影一赤 平 又犷数 圆方程 为 碗 印 。 、 ， 颐 甲 滋 入 一 二一 了 － 、 甲 一 一丁一二气丁于一一 一一 甘号 甲 一 甘日 甲 一卫卫丝一 一 印 由此 可 见 ， 赤 平计 数 圆的半径 为 一 丛卫 亡 工一璐 甲 记其 圆心 点为 。 ， 由式 可得 。 的 极坐标 式为 “ 石 甲 甲 前珠面极点 的赤平投 影点 。 由 为

Pen=Rtg Pc 2 (7) 0cn=0c 由(6)、(7)式可知Co与Cn点的差别为：当pc=0时，pc0=pcn=0,当pc=90° 时差别最大，此时pcn=R而pco=1.01R,相差1%R。 为求rc、需从赤平记数点Co求算cos p c,由(6)式有： V1.98*+4p+ipo-0.0-1.98 cos oc= 2(1+(R)2) (8) pco 但由(7)式，可得： n)2 1-(R C08pc=一-- 1+(Pc)2 (9) R 由于pco与pcn最大差别不过1%，可用pco代(9)式中的pcn来求co8pc,由此求得的rc, 最大差别不过1%，因此，从工程应用而言，赤平记数圆半径可按： 0.141 0.99+1-(pc0/R)2R rc=—一 (10) 1+(pco/R)2 计算。 4.计数圆的补偿问题 由于统计工作是在半球面上进行的，因此，当计数点靠近赤平大圆，其间距离小于计数 圆半径时，此球面计数圆当有一部分落入另一半球之中，其赤平投影相应也落入代表赤道平 面的大圆之外。由图3显见，这一落入赤平圆外的平面计数圆残缺部分，应由其对踮圆在赤 平圆内的部分加以补偿。 当计数点为C时，其对燕计数点C的赤平投影极坐标为： pe,=Rg可1802]-Rctg} 2 (11) 0cn=0c+180° 仿公式(10)，对蓝赤平计数圆半径则为： 0.141R 0.141R rc'=0.99+c08(180-pc)= 0.99-1-(pco/R)2 (12) 1+(pco/R)2 由于计数球缺的底圆半径为(R2-1oc2)12=0.141R,故开始需要补偿的最小Pc角为： (pc)m1n=90°-arc8in(0.14)÷82° 此时，C。至对瞧计数点C'的间距为： C.C-R(tge+etg)-2.02R 2 而当pc为90°时， CnC。=2R 由此可见，取计数圆与补偿圆的间距为2R,在工程上已是足够精确的了。 4

。 一 ’ 智 。 。 。 由 、 式可 知 。 与 。 点的差 别为 当甲。 时 ， 。 二 。 。 ， 当 。 时差别最大 ， 此 时 。 。 而 。 。 ， 相差 。 为求 。 、 需从赤平 记数点 。 求 算 甲 ， 由 式 有 甲 丫 ‘碗盗 一 夕石 〔 众 一 ” · 一 ， · ” 些 ， 〕 但 由 式 ， 可得 印 卜 令杯势弃 由于 。 。 与 。 。 最大差 别不 过 ， 可用 。 代 式 中的 。 。 来求 甲。 ， 由此 求得的 ， 最大差 别不过 ， 因此 ， 从工 程应 用而 言 ， 赤平 记数 圆半径 可按 “ 丁。 品不 二 下诬刀 介 口 口 ，「 ， 少 、 找 ‘ 计算 。 计 傲 团的补偿问厄 由于统计 工 作是在半球面 上进 行 的 ， 因此 ， 当计数点靠 近赤 平大 圆 ， 其 间距 离小于计 数 回半径 时 ， 此 球面计数 圆 当有一 部分 落入 另一半球之 中 ， 其赤平投 影相应 也落入 代表 赤道平 面 的大 圆之 外 。 由图 显见 ， 这一 落入赤 平 圆外的平 面计数 圆残 缺部分 ， 应 由其对 辟 圆在赤 平 回内的部分加 以 补偿 。 当计数点为 时 ， 其对 礁计数点 ，的赤平投 影 极坐标为 。 ， 「‘ 鲤于乙 业飞尸 二 ， 。 。 仿公 式 ， 对 麟赤平 计数 圆半径 则为 ， 一 甲 一 。 么 。 由于计数球缺 的底 圆半径 为 一 。 。 “ ‘ 、 二 ， 故 开 始需要 补偿的最 小 甲。 角为 甲 。 。 。 一 令 “ 此 时 ， 。 至对 礁计数 点， 的间 距 为 厄派， ‘ ， 今 ， 一 警 一 ， · “ “ 而 当甲。 为 。 时 ， ，。 二 由此 可见 ， 取 计数 圆与补偿 圆的间距 为 ， 在工程 上 已是 足够精确的 了

y=E 180 C 9c'=80 C 图3计数圆及补偿计数圆 三、等戏作图程序 1.计数网及计数条件 通常用平行于南北轴及东西轴的等距网格将赤平圆作矩形或方格划分，网节点作为计数 点，计数半径由式(10)给定，边缘计数点需要进列补偿。 在宽行打印机上实现节点密度计算和标注时，以列向为南北，行向为东西。 令R为选定的赤平圆半径，设行距为K,列距为L,置赤平圆心坐标于Ic行Jc列，则计 数点的标号1、J需满足不等式： (I-Ic)L+(J-Jc)2K2<R (13) 5

、 勺 、 匕 闷 芳入 ， 又 图 计 数 国及 补 偿计 故 圆 卉参魔 浅 作 到程 序 计 数 网及 计 数 条件 通 常 用平 行 于南 北 轴 及 东西轴 的等距 网格将赤 平 圆作 矩 形 或方 格 划分 ， 网节 点 作 为计数 点 ， 一 计数 半径 由式 给定 ， 边 缘 计数 点 需 要 进 列 补偿 。 在 宽 行打 印机 上 实现节 点 密度 计 算和 标 注 时 ， 以 列 向 为南北 ， 行 向 为东 西 。 令 为选 定 的赤 平 圆半径 ， 没行距 为 ， 列 距 为 ， 置 赤 平 圆心 坐标 于 行 列 ， 则计 数点的标 号 、 需满 足不 等式 、 一 “ “ 一 “ 又 “ 三