对点电荷系，有电场的叠加原理，有：U(r)-je-dl-j(ZE,),d=ZJEr-dl-Zu(r)此式表明，点电荷组的电势等各个电荷单独存在时电势的代数和3.点电荷组的电势N个点电荷组成的体系，q1,92,q3.，9%.分别位于ri.r2,rsI处，位于r处qi单独在r处产生的电势为：1qU,(r)=4元r-由电势叠加原理，N个电荷在r处产生的总电势为：U(r)=U,(r)=-4元E-r-r4.带电体的电势对连续分布的带电体产生的电势时，先把带电体分割成许许多多的点电荷，位于r处点电荷的电量为dg，由电势的叠加原理，连续带电体在r处产生的总电势为：dqU(r)=4元r-r6
6 对点电荷系，有电场的叠加原理，有： = ｜ ⋅ = ｜ Σ ⋅ = Σ｜ ⋅ = Σ ∞ ∞ ∞ i i i r i r r i i U(r ) E dl ( E ) dl E dl U (r ) 此式表明，点电荷组的电势等各个电荷单独存在时电势的代数和。 3·点电荷组的电势 N 个点电荷组成的体系，q1, q2, q3, . , qN,分别位于 r1, r2, r3, ., rN处，位于 ri处 qi单独在 r 处产生的电势为： i i 0 i r r q 4 1 U (r ) − = πε 由电势叠加原理，N 个电荷在 r 处产生的总电势为： Σ Σ − = = N i i i 0 N i i r r q 4 1 U(r ) U (r ) πε 4·带电体的电势 对连续分布的带电体产生的电势时，先把带电体分割成许许多多的点电荷，位于 r’处点电荷的电量为 dq，由电势的叠 加原理，连续带电体在 r 处产生的总电势为： ｜ − = 4 r r' dq U(r ) πε
U(r)P/r-PT07A1图1-60带电体的电势对体带电体、面带电体和线带电体，若其电荷密度分别为p（r"），c（r）和入（r"），则：1PYr1U(r)=d4元Er-rror)1U(r)=dsIr-rl4元。1[r)U(r)=4元E1r-r7
7 图 1-60 带电体的电势 对体带电体、面带电体和线带电体，若其电荷密度分别为ρ（r’），σ（r’）和λ（r’），则： dV' r r' (r' ) 4 1 U(r ) 0 V' ｜｜｜ − = ρ πε dS' r r' (r' ) 4 1 U(r ) 0 S' ｜｜ − = σ πε dl' r r' (r' ) 4 1 U(r ) 0 L' ｜ − = λ πε
三、等势面1.等势面从上述电势的定义及其一般表达式可知，电势为空间坐标的标量函数，是标量场。标量场常用等值面来进行形象的儿何描述电势的等值面称为等势面，在同一等势面上，电势处处相等。图中对应的正负点电荷系统的等势面（实线）的示意图。图中还用虚线画出了电场线的分布。图给出了电偶极子的等势面。图1-61正负点电荷的等势面
8 三丶等势面 1·等势面 从上述电势的定义及其一般表达式可知，电势为空间坐标的标量函数，是标量场。标量场常用等值面来进行形象的儿何描述 电势的等值面称为等势面，在同一等势面上，电势处处相等。 图中对应的正负点电荷系统的等势面（实线）的示意图。图中还用虚线画出了电场线的分布。图给出了电偶极子的等势面。 图 1-61 正负点电荷的等势面
图1-62两个正电荷的等势面2.等势面的特性（1）一根电场线不可能与同一等势面相交两次或多次（2）空间共点的电场强度应与该处的等势面垂直用反证法来证明。设该结论不真，即电场强度不垂直等势面，这时电场强度可分解为沿等势面的法向和切向的两个分量，且切向分量却不为0。再由电势的公式，等势面上位于该切向方向的两点之间将存在电势差，以至与等势面的定义发生矛盾，所以原结论成立。由这个结论可知，电场线和等势面之间将处处正交。（3）电场强度的大小也可用等势面的疏密程度来量度为此可设备相邻等势面的电势差都一样，那末将单位正电荷沿法线方向从一个等势面移到与其相邻的等势面上，电场所作的功的大小也会一样。这功的大小为电场强度与相邻等势面间距离的乘积。因此，等势面间距越小，电场就越大。等势面间距的大小正反映了等势面的疏密程度。所以，电场的大小可用等势面的疏密程度来量度。9
9 图 1-62 两个正电荷的等势面 2·等势面的特性 （1） 一根电场线不可能与同一等势面相交两次或多次 （2） 空间共点的电场强度应与该处的等势面垂直 用反证法来证明。设该结论不真，即电场强度不垂直等势面，这时电场强度可分解为沿等势面的法向和切向的两个 分量，且切向分量却不为 0。再由电势的公式，等势面上位于该切向方向的两点之间将存在电势差，以至与等势面的定义 发生矛盾，所以原结论成立。由这个结论可知，电场线和等势面之间将处处正交。 （3）电场强度的大小也可用等势面的疏密程度来量度 为此可设备相邻等势面的电势差都一样，那末将单位正电荷沿法线方向从一个等势面移到与其相邻的等势面上，电场 所作的功的大小也会一样。这功的大小为电场强度与相邻等势面间距离的乘积。因此，等势面间距越小，电场就越大。 等势面间距的大小正反映了等势面的疏密程度。所以，电场的大小可用等势面的疏密程度来量度