第9章有限元法在边坡稳定分析中的应用249 在筑填土形成的边坡中, Penman(1973) 直力①N(m200等人建议利用固结仪单向压缩所得轴向应变 E和应力G关系曲线,整理相应坝体某处上 m=2.5×10-(m2/kN) 覆荷重的平均压缩系数m1(见图9.3),E和v 分别由下式确定 +2K0)(1-k (9.73) K0/1+K0) 式中而为侧压力系数,即大小主应力比 图93通过固结仪的单向压缩曲线整理压缩系数 σ。需要对常规固结仪进行改造,以测定 示,从而确定K 土石坝中大部分土单元在施工期O和O同时增长,而大致保持不变,这和固结仪中单向 压缩条件下的应力路径很相似。査理斯( Charles,1976)等曾专门著文论述此问题。认为, 此简单的模型仍能得出合理的成果。 Eisenstein和 Simmons(1975)曾使用此法分析加拿 大高250m的Mica坝。 Cathie和 Dungar(1978)曾系统报导过一些成功的实例。在确定材 料的力学特性时,他们采用了一种可以测定σ3的单向压缩仪。 3.双曲线弹性模型 邓肯和张提出“双曲线-指数模型”用常规三轴试验确定土的非线性参数,用双曲线函 数拟合轴向应力o和轴向应变c的关系,用指数函数拟合体积模量K和周围应力的关系。 据此,可按下式确定E、K E=(1-RS)2E (975) K=KbPa(o3/Pa) (976) 其中S为应力水平,按下式定义 S=(1-03)(G1-03)f (1-03)r=(203sn中+2 coso)/1-snp) 式中:c,φ分别为土的凝聚力的内摩擦角;Pa为大气压;E1为相应某一固结应力a3的初始 模量,即 E;=KPa(o3/Pa) (9.79) 采用非线性弹性模型进行有限元计算时存在的另一个问题是如何处于确定土体处于卸 荷状态以及如何使用卸荷模量。邓肯建议卸荷模量按下式确定: Eur= K Pa(o3/Pa) 参数c,RK,n,Km的整理方法见土工试验规程。 4.弹塑性理论模型 土的弹塑性理论是把土的总变形分成弹性变形和塑性变形两部分,用虎克定律计算弹性
第 9 章 有限元法在边坡稳定分析中的应用 249 图 9. 3 通过固结仪的单向压缩曲线整理压缩系数 在筑填土形成的边坡中 Penman(1973) 等人建议利用固结仪单向压缩所得轴向应变 εv和应力σv关系曲线 整理相应坝体某处上 覆荷重的平均压缩系数 mv 见图 9.3 E 和ν 分别由下式确定 ] 1 (1 2 )(1 ) [ 1 0 0 0 K K K m E v + + − = (9.73) ν = K0 /(1+ K0 ) (9.74) 式中 K0 为侧压力系数 即大小主应力比 σ3/σ1 需要对常规固结仪进行改造 以测定 σ3 从而确定 K0 土石坝中大部分土单元在施工期σ1和σ3同时增长 K0大致保持不变 这和固结仪中单向 压缩条件下的应力路径很相似 查理斯(Charles, 1976)等曾专门著文论述此问题 认为 此简单的模型仍能得出合理的成果 Eisensfein 和 Simmons (1975) 曾使用此法分析加拿 大高 250m 的 Mica 坝 Cathie 和 Dungar (1978)曾系统报导过一些成功的实例 在确定材 料的力学特性时 他们采用了一种可以测定σ3的单向压缩仪 3. 双曲线弹性模型 邓肯和张提出 双曲线−指数模型 用常规三轴试验确定土的非线性参数 用双曲线函 数拟合轴向应力σa和轴向应变εa的关系 用指数函数拟合体积模量 K 和周围应力σ3的关系 据此 可按下式确定 E K E R f S Ei (9.75) 2 = (1− ) (9.76) m K K b Pa Pa ( / ) = σ 3 其中 S 为应力水平 按下式定义 (9.77) f S ( ) /( ) = σ 1 −σ 3 σ 1 −σ 3 ( ) (2 sin 2 cos )/(1 sin ) (9.78) σ 1 −σ 3 f = σ 3 φ + c φ − φ 式中 c, φ分别为土的凝聚力的内摩擦角 Pa 为大气压 Ei为相应某一固结应力σ3的初始 模量 即 (9.79) n Ei K Pa Pa ( / ) σ 3 = ′ 采用非线性弹性模型进行有限元计算时存在的另一个问题是如何处于确定土体处于卸 荷状态以及如何使用卸荷模量 邓肯建议卸荷模量按下式确定 (9.80) n Eur Kur Pa Pa ( / ) = σ 3 参数 c, φ, Rf, K′, n, Kur 的整理方法见土工试验规程 4. 弹塑性理论模型 土的弹塑性理论是把土的总变形分成弹性变形和塑性变形两部分 用虎克定律计算弹性
250 土质边坡穗定分析一原理 变形部分,用塑性理论来计算塑性变形部分。对于塑性变形部分,要作三方面的假定,即 破坏准则和屈服准则、硬化规律和流动法则 土的有效应力弹塑性本构关系用有效应力增量do'与应变增量d可表达为 {da"=[C甲{de} (9.81) 其中 (982) 式中:[C明为弹塑性矩阵;[C]为弹性矩阵;f是以H为硬化参数的屈服函数,即f=F(H) g为势函数;A是反映硬化特性的一个变量,与硬化参数的选择有关 当f=g时,称为相关联流动法则,当f≠g时,称为不相关联流动法则。 (1)加载过程中的弹塑性模型—剑桥理论。英国剑桥大学K.H. Roscoe(1958)提出了 状态边界面、临界状态线的概念,其屈服函数为 f=f(p,q)=p(1+,)= 式中:n=q/p,相应的屈服面见图9.4 剑桥模型是对正常固结重塑粘土进行三轴试验得到的。为了将此模型用于土石坝中填筑 土等情况时,邓肯( Duncan,1981)在下列几个方面做了修正 (a)对土的强度包线的处理。剑桥模型假定正常固结土的强度包线在p-q平面上是 通过原点的。但填筑土具有粘聚力,如图9.5所示。邓肯建议采用强度包线不通过原点 而在p轴上相交于离原点距离为p的点上。因此,上面推导的所有公式中有关p的量 都应加上p的值。 (b)对等向压缩曲线的处理。邓肯认为等向压缩曲线的斜率A不是常数,可随p'改 变而改变。因此,输入的λ是与p′有关的一系列数值,在计算时通过内插来决定处于某 应力状态的值。 (c)对土的泊松比的处理。邓肯认为在弹性部分泊松比v也随p改变而改变。因此 也需输入一组v和p的数值,供计算时内插取值,这样可更好地反映土的应力应变关系 通过三轴和单向压缩试验确定和拟合参数。作者在另著(陈祖煜等,2003)中结合小浪底 工程介绍了拟合过程。 (2)处于极限平衡状态时的弹塑性模型。参见图9.4和图95,土体在加载过程中可能 处于A点或B点。在A点,土体处于正常固结加载状态,其屈服面通常可用剑桥模型来描述, 在B点,土体处于破坏面上,塑性变形呈剪胀模型,此时需要采用摩尔一库仑或 Drucker- Prager准则来描述。分述如下 在有限元计算中,当某一点进入破坏面,即图94和图95中B点时,土体不再按加载
250 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 变形部分 用塑性理论来计算塑性变形部分 对于塑性变形部分 要作三方面的假定 即 破坏准则和屈服准则 硬化规律和流动法则 土的有效应力弹塑性本构关系用有效应力增量dσ ′ 与应变增量dε 可表达为 {dσ } [ ]{dε} (9.81) ep ′ = C 其中 A g C f C g f C C C T e e T e ep e + ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ = − { } [ ]{ } [ ]{ }{ } [ ] [ ] [ ] σ σ σ σ (9.82) 式中 [C ep ]为弹塑性矩阵 [C e ]为弹性矩阵 f 是以 H 为硬化参数的屈服函数 即 f = F(H) g 为势函数 A 是反映硬化特性的一个变量 与硬化参数的选择有关 当 f = g 时 称为相关联流动法则 当 f ≠ g 时 称为不相关联流动法则 (1) 加载过程中的弹塑性模型−−剑桥理论 英国剑桥大学 K. H. Roscoe (1958)提出了 状态边界面 临界状态线的概念 其屈服函数为 2 0 2 ( , ) (1 ) p M f = f p′ q = p′ + = ′ η (9.83) 式中 η = q p′ 相应的屈服面见图 9.4 剑桥模型是对正常固结重塑粘土进行三轴试验得到的 为了将此模型用于土石坝中填筑 土等情况时 邓肯(Duncan, 1981)在下列几个方面做了修正 (a) 对土的强度包线的处理 剑桥模型假定正常固结土的强度包线在 p′–q 平面上是 通过原点的 但填筑土具有粘聚力 如图 9.5 所示 邓肯建议采用强度包线不通过原点 而在 p′ 轴上相交于离原点距离为 p′r 的点上 因此 上面推导的所有公式中有关 p′ 的量 都应加上 p′r 的值 (b) 对等向压缩曲线的处理 邓肯认为等向压缩曲线的斜率 λ 不是常数 可随 p′ 改 变而改变 因此 输入的 λ 是与 p′ 有关的一系列数值 在计算时通过内插来决定处于某 一应力状态的λ值 (c) 对土的泊松比的处理 邓肯认为在弹性部分泊松比 v 也随 p′ 改变而改变 因此 也需输入一组 v 和 p′ 的数值 供计算时内插取值 这样可更好地反映土的应力应变关系 通过三轴和单向压缩试验确定和拟合参数 作者在另著 陈祖煜等 2003 中结合小浪底 工程介绍了拟合过程 (2) 处于极限平衡状态时的弹塑性模型 参见图 9.4 和图 9.5 土体在加载过程中可能 处于 A 点或 B 点 在 A 点 土体处于正常固结加载状态 其屈服面通常可用剑桥模型来描述 在 B 点 土体处于破坏面上 塑性变形呈剪胀模型 此时需要采用摩尔 库仑或 Drucker-Prager 准则来描述 分述如下 在有限元计算中 当某一点进入破坏面 即图 9.4 和图 9.5 中 B 点时 土体不再按加载
9拿有限元法在边坡穗定分析中的应用251 的模型变形,通常会出现明显的剪胀特性。此时,应使用OB线所代表的屈服面,即摩尔 库仑准则,其屈服函数为 f=p'sind+vJ2 cos0+VJ2 sin O sin o-coso (984) 其中 √2/2 乃={(a-)2+(a-G)2+(2-a)2 (989) 在σ,O,O坐标中,摩尔一库仑准则的屈服面如图96示。这是一个带角点的六边形 为了克服对有限元计算带来的困难,通常采用 Drnckel-Prager准则,此时屈服面为 ∫=3p'sinp+√2 相应的屈服面如图95所示。在以下的讨论(9.4.2节)中,还将介绍进一步的修正。 假坏线 碳坏线q=MP 屈服轨迹 屈服轨迹 图94剑桥模型 图95修正的剑桥模型
第 9 章 有限元法在边坡稳定分析中的应用 251 的模型变形 通常会出现明显的剪胀特性 此时 应使用 OB 线所代表的屈服面 即摩尔 库仑准则 其屈服函数为 φ θ sinθ sinφ cosφ 3 1 sin cos f = p′ + J 2 ′ + J 2 ′ − (9.84) 其中 ( ) 3 1 x y z p′ = σ′ +σ′ +σ′ (9.85) 2 2 q = J ′ (9.86) {( ) ( ) ( ) 6 6 6 } 6 1 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx J′ = σ′ −σ′ + σ′ −σ′ + σ′ −σ′ + τ + τ + τ (9.87) 3 / 2 2 3 2( ) 3 3 J J ′ − ′ θ = (9.88) (9.89) 3 3 3 2 J ′ = I + J p′ − p′ 在σ1, σ2, σ3坐标中 摩尔 库仑准则的屈服面如图 9.6 示 这是一个带角点的六边形 为了克服对有限元计算带来的困难 通常采用 Drnckel-Prager 准则 此时屈服面为 f = p′ ′ + J ′ − e′ 2 3 sinφ (9.90) 相应的屈服面如图 9.5 所示 在以下的讨论 9.4.2 节 中 还将介绍进一步的修正 图 9. 4 剑桥模型 图 9. 5 修正的剑桥模型