244土质边坡定分析一原理 24=detI x2 y2 (9.44) 参考图9.1,在脚标为2、3时,N、a、b、c的相应表达式可依次类推。式(9,18)和式(919) 中 [Bn1=a KN1, N2, N3) axax ax 2△=cb2-c2b aNaN aM ay ay ay 1「bb2b 图9.1三角形单元 -0a0N0M20 Loy a ay a ay ar ay ax b10b20b3 C3 b c2 b2 c3 b3 (2)单元矩阵的积分。将式9.38)、式(939)、式(945)式(946代入式(925)式(933) 可以得到相应各单元矩阵。一般来说,它们都具有N°N2bN3d这样的表达形式,其中k 为不包含x,y的常数 可以证明,对一个三角形单元 NI dv= al bld 2△ (947) (a+b+c+2)! 式中:M、№、隔为形函数;“!”表示阶乘运算;4为三角形单元面积;a、bc为指数。 这样,就算得式(925)~式(9.33)各单元矩阵系数的数值。下一步,具体求解线性方程 式(9.34)和式(9.35)即可得到问题的最后解
244 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 det x y x y x y ∆ = (9.44) 参考图 9.1 在脚标为 2 3 时 N a b c 的相应表达式可依次类推 式(9.18)和式(9.19) 中 图 9. 1 三角形单元 ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 [ ] ( , , ) a a a b b b y N y N y N x N x N x N N N N y x Bh (9.45) ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] c b c b c b c c c b b b x N y N x N y N x N y N y N y N y N x N x N x N N N N N N N y x y x BW (9.46) (2) 单元矩阵的积分 将式(9.38) 式(9.39) 式(9.45) 式(9.46)代入式(9.25)~式(9.33) 可以得到相应各单元矩阵 一般来说 它们都具有k ∫v N1 a N2 b N3 c dV 这样的表达形式 其中 k 为不包含 x, y 的常数 可以证明 对一个三角形单元 ∫ ∆ + + + = V a b c a b c a b c N N N dv 1 2 3 2 ( 2)! ! ! ! (9.47) 式中 N1 N2 N3为形函数 ! 表示阶乘运算 ∆ 为三角形单元面积 a b c 为指数 这样 就算得式(9.25)~ 式(9.33)各单元矩阵系数的数值 下一步 具体求解线性方程 式(9.34)和式(9.35)即可得到问题的最后解
9拿有限元法在边坡穗定分析中的应用245 2.四节点四边形单 (1)形状函数。对任一单元,在该单元形心处建立局部座标(s,t)如图92所示。将单 元内任一点的x,y,{,u均表达成s和t的函数 (1-s)l-1)x1+(1+s)(1-t)x2+(1+)(1+s)x3+(1-s)l+t)x4 y=(1-s-1)y+(1+s)1-)y2+2(1+)1+s)y3+(1-s)(1+1)y4(9.49) 采用式(948)、式(949)这样的表达式,当四边形节点(x,y)值分别为(x,n),(x,y) )和(x,y)时,使得相应节点的(s,t)坐标分别为(-1,-1),(+1,-1),(+1,+1) 用矩阵来表达,式(948)和式(949)可写成 (9.50) y=(M1,N2,N3,N4 x 图92四节点四边形单元 其中 (1-s(1-1) N2=-(1+s)l-D) (9.52) N4=x(1-s)(+1) 和式(9.38)、式(9.39)类似,有 (9.53)
第 9 章 有限元法在边坡稳定分析中的应用 245 2. 四节点四边形单元 (1) 形状函数 对任一单元 在该单元形心处建立局部座标(s, t)如图 9.2 所示 将单 元内任一点的 x, y, {W}, u 均表达成 s 和 t 的函数 1 2 3 4 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 x = − s − t x + + s − t x + + t + s x + − s + t x (9.48) 1 2 3 4 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 y = − s − t y + + s − t y + + t + s y + − s + t y (9.49) 采用式(9.48) 式(9.49)这样的表达式 当四边形节点(x,y)值分别为(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3) 和 (x4,y4)时 使得相应节点的(s, t 坐标分别为(-1,-1), (+1,-1), (+1,+1), (-1,+1) 用矩阵来表达 式(9.48)和式(9.49)可写成 (9.50) = 4 3 2 1 1 2 3 4 ( , , , ) x x x x x N N N N (9.51) = 4 3 2 1 1 2 3 4 ( , , , ) y y y y y N N N N 图 9. 2 四节点四边形单元 其中 = − + = + + = + − = − − (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 (1 )(1 ) 4 1 4 3 2 1 N s t N s t N s t N s t (9.52) 和式(9.38) 式(9.39)类似 有 [Nh ] = (N1, N2, N3, N4) (9.53)
246土质边坡穗定分析一原理 0N20N 0M10N20 0N4 而相应的{和{h}表达式应为 ww)=(xl, Wyl, W2,Wy2, 33, 33, Wr4,Wy4) {h°=(h1,h2,h3h4)7 计算应变和水头梯度时,首先需要建立对整体坐标微分和对局部坐标微分之间的关系 x 其中 as as ax a m x][ OM, aN2 aN3 8N (NIs, N2s, N3s, M anan an2 a at atat at Y]=(y,y2,yy,y4) N (1-1) (1+s) (1+1),N3=(+s) (1+1),N41=(1-s)
246 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 (9.54) = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] N N N N N N N N Nw 而相应的{W} e 和{h} e 表达式应为 (9.55) T x y x y x y x y e {W} (W ,W ,W ,W ,W ,W ,W ,W ) = 1 1 2 2 3 3 4 4 (9.56) e T {h} (h , h , h , h ) = 1 2 3 4 计算应变和水头梯度时 首先需要建立对整体坐标微分和对局部坐标微分之间的关系 ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ y x t s J (9.57) 其中 ([ ] X [Y ] t s t y t x s y s x , [ ] [ ] = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ J = ) (9.58) = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = [ ] , , , ( , , , ) [ ] , , , ( , , , ) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 t t t t s s s s N N N N t N t N t N t N t N N N N s N s N s N s N s (9.59) (9.60) = = [ ] ( , , , ) [ ] ( , , , ) 1 2 3 4 1 2 3 4 Y y y y y X x x x x T T 而 = − + = − = + = + = − = − + = − − = − − (1 ) 4 1 (1 ), 4 1 (1 ) 4 1 (1 ) , 4 1 (1 ) 4 1 (1 ), 4 1 (1 ) 4 1 (1 ), 4 1 4 4 3 3 2 2 1 1 N t N s N t N s N t N s N t N s s t s t s t s t (9.61)
第9章有限元法在边坡稳定分析中的应用247 式(9.57)可变换成 (9.62) 和式(9.45)、式(946)相似 [BhI 0dy (N1,N2,N3,N4) 25 3s N x B ayo N 0 dy ax 假如将式(962)中的J·写成 (9.65) g21Q2 代入后有 (9,67) 将式(966)、式(9.67)代入式(964),得
第 9 章 有限元法在边坡稳定分析中的应用 247 式(9.57)可变换成 ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − t s y x 1 J (9.62) 和式(9.45) 式(9.46)相似 = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = − − t t t t s s s s h N N N N N N N N N N N N t s N N N N y x B 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 ( , , , ) [ ] ( , , , ) J J (9.63) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] N N N N N N N N y x y x BW (9.64) 假如将式(9.62)中的 J -1 写成 (9.65) = − 21 22 1 11 12 Q Q Q Q J 代入后有 t Q s Q x 11 12 ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ (9.66) t Q s Q y 21 22 ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ (9.67) 将式(9.66) 式(9.67)代入式(9.64) 得
248土质边坡穗定分析一原理,方法.程序 [Bw] asato N 0 N2 0 N3 N4 2x+2x,1x+g m0 m2 0 3 0 m4 0m210m20 Im21 I11 722 /712 23 713 m24 /714 其中 mi=guNis+21 (1=1,2,3,4) (9.69) m2i=o2INis+222 Nit (2)单元矩阵的积分。将式(955)、式(956)、式(957)、式(9.58)分别代入式(925) 式(9.33),可以得到相应各单元矩阵。注意到dxdy=det[/dtds,可得到一般的表达式 ∫1F(s)d。用高斯积分法来计算式(925)式(93)各单元矩阵系数的值。一般用四点 法,此时 F(s,1) a, a F(S,,t,) (9.71) 式中:s1=1=0.57735;52=12=-0.57735;a1=a2=10。 924本构关系 进行固结和结构分析的一个重要工作是确定土的应力应变关系,即矩阵[O。这里,涉 及到土的本构关系。已有许多这方面的研究成果,现结合土体的应力应变分析,作一简要的 1.弹性模型 建立在广义定律基础上的弹性理论对式(6.32)中的[C]=[C]的表达式为 E (1+v)(1-2v) 式中:E为弹性模量;为泊桑比。 2.非线性弹性模型 土的变形特征至少与周围应力a有直接的关系,因此,相应不同的a采用不同的E,v值 是比较符合实际的
248 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = 21 11 22 12 23 13 24 14 21 22 23 24 11 12 13 14 1 2 3 4 1 2 3 4 21 22 11 12 21 22 11 12 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] m m m m m m m m m m m m m m m m N N N N N N N N t Q s Q t Q s Q t Q s Q t Q s Q BW (9.68) 其中 m1i = Q11Nis + Q12Nit (i =1,2,3,4) (9.69) m2i = Q21Nis + Q22Nit (i = 1,2,3,4) (9.70) (2) 单元矩阵的积分 将式(9.55) 式(9.56) 式(9.57) 式(9.58)分别代入式(9.25)~ 式(9.33) 可以得到相应各单元矩阵 注意到 dxdy = det[J]dtds 可得到一般的表达式 ∫ ∫ − − 1 1 1 1 F(s,t)dsdt 用高斯积分法来计算式(9.25)~式(9.33)各单元矩阵系数的值 一般用四点 法 此时 (9.71) ∫ ∫ − − ∑∑ = = ≈ 1 1 1 1 2 1 2 1 ( , ) ( , ) i j i j i j F s t dsdt α α F s t 式中 s1 = t1 = 0.57735 ; s2 = t2 = −0.57735 ;α1 =α 2 =1.0 9. 2. 4 本构关系 进行固结和结构分析的一个重要工作是确定土的应力应变关系 即矩阵[C] 这里 涉 及到土的本构关系 已有许多这方面的研究成果 现结合土体的应力应变分析 作一简要的 回顾 1. 弹性模型 建立在广义定律基础上的弹性理论对式(6.32)中的[C]= [Ce ]的表达式为 − − − + − = ν ν ν ν ν ν ν 2 1 0 0 1 0 1 0 (1 )(1 2 ) [ ] E Ce (9.72) 式中 E 为弹性模量 ν为泊桑比 2. 非线性弹性模型 土的变形特征至少与周围应力σ3有直接的关系 因此 相应不同的σ3采用不同的 E ν值 是比较符合实际的