《土质边坡稳定分析》教学资料（原理、方法、程序）第三章 边坡稳定分析的简化方法

第3章边坡稳定分析的简化方法 3.1概述 在极限平衡法理论体系形成的过程中,出现过一系列简化计算方法,诸如瑞典法、毕 肖普简化法(1955)和陆军工程师团法等。 瑞典法亦称 Fellenius法,是边坡稳定分析领域最早出现的一种方法。该法假定滑裂面 为圆弧形,在计算安全系数时,简单地将条块重量向滑面法向方向分解来求得法向力。这 方法虽然引入过多的简化条件,但构成了近代土坡稳定分析条分法的雏型。1955年,毕 肖普( Bishop)在瑞典法基础上提出了一种简化方法。这一方法仍然保留了滑裂面的形状为圆 弧形和通过力矩平衡条件求解这些特点,但是在确定土条底部法向力时,考虑了条间作用 力在法线方向的贡献 自然界发生的滑坡其滑裂面有相当一大部分并非圆弧形。对于任意形状的滑裂面,瑞 典法和毕肖普法不再适用,此时,一些学者试图通过力平衡而不是力矩平衡条件来求解安 全系数。这样,就出现了适用于非圆弧滑裂面的陆军工程师团法、罗厄法和简化 Janbu法 国内的一些著作中,曾见过一种“传递系数法”,其理论和本章362节介绍的简化法1类 似,但包含一些缺陷,将在本章第3.7.3节中讨论 20世纪50年代和60年代早期建立起来的这些简化方法,其一个重要特点是试图提供 较简单的计算步骤,使设计人员能够通过手算来得到安全系数。随着计算机的出现,这一 问题已不重要。这样就出现了一些求解步骤更为严格的方法,即第2章介绍的 Morgenstern- Price法、 Spencer法等。由于第2章介绍的方法可以回归到本章介绍的各种简 化方法(瑞典法除外),因此我们称它为通用条分法。 本节简要介绍各种简化方法的原理、适用范围以及这些方法和通用条分法的内在联系, 并通过工程实例,说明简化法的适用范围及其局限性。这些知识对于合理地评价边坡的稳 定性具有重要意义。本章符号意义同第2章 32瑞典法 3.2.1简化条件 1.滑面形状 瑞典法使用圆弧滑裂面。 2.对多余未知力的假定 该法假定作用在土条侧向垂直面上的E和X的合力平行于土条底面。 3.静力平衡

第3章 边坡稳定分析的简化方法 3. 1 概述 在极限平衡法理论体系形成的过程中 出现过一系列简化计算方法 诸如瑞典法 毕 肖普简化法(1955)和陆军工程师团法等 瑞典法亦称 Fellenious 法 是边坡稳定分析领域最早出现的一种方法 该法假定滑裂面 为圆弧形 在计算安全系数时 简单地将条块重量向滑面法向方向分解来求得法向力 这 一方法虽然引入过多的简化条件 但构成了近代土坡稳定分析条分法的雏型 1955 年 毕 肖普(Bishop)在瑞典法基础上提出了一种简化方法 这一方法仍然保留了滑裂面的形状为圆 弧形和通过力矩平衡条件求解这些特点 但是在确定土条底部法向力时 考虑了条间作用 力在法线方向的贡献 自然界发生的滑坡其滑裂面有相当一大部分并非圆弧形 对于任意形状的滑裂面 瑞 典法和毕肖普法不再适用 此时 一些学者试图通过力平衡而不是力矩平衡条件来求解安 全系数 这样 就出现了适用于非圆弧滑裂面的陆军工程师团法 罗厄法和简化 Janbu 法 国内的一些著作中 曾见过一种 传递系数法 其理论和本章 3.6.2 节介绍的简化法 1 类 似 但包含一些缺陷 将在本章第 3.7.3 节中讨论 20 世纪 50 年代和 60 年代早期建立起来的这些简化方法 其一个重要特点是试图提供 较简单的计算步骤 使设计人员能够通过手算来得到安全系数 随着计算机的出现 这一 问题已不重要 这样就出现了一些求解步骤更为严格的方法 即第 2 章介绍的 Morgenstern−Price 法 Spencer 法等 由于第 2 章介绍的方法可以回归到本章介绍的各种简 化方法 瑞典法除外 因此我们称它为通用条分法 本节简要介绍各种简化方法的原理 适用范围以及这些方法和通用条分法的内在联系 并通过工程实例 说明简化法的适用范围及其局限性 这些知识对于合理地评价边坡的稳 定性具有重要意义 本章符号意义同第 2 章 3. 2 瑞典法 3. 2. 1 简化条件 1. 滑面形状 瑞典法使用圆弧滑裂面 2. 对多余未知力的假定 该法假定作用在土条侧向垂直面上的 E 和 X 的合力平行于土条底面 3. 静力平衡

68土质边坡穗定分析一原理·方法程序 (1)建立土条底面法线方向静力平衡方程,确定MN"(参见图3.1) △N"=△H(cosa- r. seco) (3.1) (2)通过整体对圆心的力矩平衡确定安全系数: (-△T+△ y sina+R△Q)=0 Rd 式中:h为水平地震力和圆心的垂直距离。土条总数为N AU 图3.1边坡稳定分析的简化方法 3.2.2安全系数计算公式 将式(24)和式(31)代入式(3.2)可得 △(cosa-: sec a)-△ Osina tan o'+c△ r sec a} ∑[△ w sina+△QR 3.3毕肖普简化法 3.3.1筒化条件 1.滑面形状 毕肖普简化法使用圆弧滑裂面。 2.对多余未知力的假定 该法假定X=0(图22),或B=0,即土条两侧作用力均为水平 3.静力平衡 (1)建立垂直方向静力平衡方程,解得AN(参见图3.1)

68 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 (1) 建立土条底面法线方向静力平衡方程 确定∆N' 参见图 3.1 (cosα secα) (3.1) u ∆N′ = ∆W − r (2) 通过整体对圆心的力矩平衡确定安全系数 ∑ (3.2) = −∆ + ∆ + ∆ = N n T W Rd Q 1 ( sinα ) 0 R h R Q d = (3.3) 式中 hQ为水平地震力和圆心的垂直距离 土条总数为 N 图 3. 1 边坡稳定分析的简化方法 3. 2. 2 安全系数计算公式 将式(2.4)和式(3.1)代入式(3.2)可得 { } ∑ ∑ = = ∆ + ∆ ∆ − − ∆ ′ + ′∆ = N n d N n u W QR W r Q c x F 1 1 [ sin ] [ (cos sec )] sin tan sec α α α α φ α (3.4) 3. 3 毕肖普简化法 3. 3. 1 简化条件 1. 滑面形状 毕肖普简化法使用圆弧滑裂面 2. 对多余未知力的假定 该法假定 X= 0(图 2.2 或β = 0 即土条两侧作用力均为水平 3. 静力平衡 (1) 建立垂直方向静力平衡方程 解得∆N' 参见图 3.1

第3章边坡德定分析的简化方法69 △ Ncos o+△ Tsin o=△W (3.5) (2)通过整体对圆心的力矩平衡解得安全系数。平衡方程式同式(3.2) 3.3.2安全系数计算公式 将式(24)和式(35代入式(32)得 ∑AW(1-rn)an"+c△/cosa1 tan a tan g/F (3.6) y 使用毕肖普法计算安全系数,需要通过迭代求解 3.3.3与通用条分法的关系 如果把毕肖普法所包含的假定条件纳入通用条分法力矩平衡方程式(2.24,通过适当推 导,则该式就可回归为传统毕肖普法的计算公式(36)。详细推导参见本章附录381节 3.4滑楔法 341简化条件 1.滑面形状 滑楔法适用于任意形状滑裂面。 2.对多余未知力的假定 对土条侧向力的倾角β作假定 (1)陆军工程师团法(U.S.Amy, Corps of Engineers,1967):假定β为常数,等于边坡的 平均坡度%,即 (2)罗厄法(Low,J,Ⅲ and Katafiath,1960):假定β等于该土条底面倾角a和顶面倾角y的 平均值,即 B=B=la+r) (3)简化 Janbu法( Janbu,1954):为陆军工程师团法的特例,假定B=0. (4)传递系数法:假定β等于该土条条底面倾角,即 (3.9) 3.静力平衡 要求每个土条和滑坡体整体力的平衡得到充分满足,但力矩平衡不满足。 3.4.2安全系数计算方法 假定F为某一数值,从右端第一个土条开始,通过静力平衡确定每个土条左侧条间力

第 3 章 边坡稳定分析的简化方法 69 ∆N cosα + ∆T sinα = ∆W (3.5) (2) 通过整体对圆心的力矩平衡解得安全系数 平衡方程式同式(3.2) 3. 3. 2 安全系数计算公式 将式(2.4)和式(3.5)代入式(3.2)得 ∑ ∑ = = ∆ + ∆ ∆ − ′ + ′∆ + ′ = N n d N n u W QR W r c x F F 1 1 [ sin ] [ (1 ) tan ]/[cos (1 tan tan / )] α φ α α φ (3.6) 使用毕肖普法计算安全系数 需要通过迭代求解 3. 3. 3 与通用条分法的关系 如果把毕肖普法所包含的假定条件纳入通用条分法力矩平衡方程式(2.24) 通过适当推 导 则该式就可回归为传统毕肖普法的计算公式(3.6) 详细推导参见本章附录 3.8.1 节 3. 4 滑楔法 3. 4. 1 简化条件 1. 滑面形状 滑楔法适用于任意形状滑裂面 2. 对多余未知力的假定 对土条侧向力的倾角β 作假定 (1) 陆军工程师团法(U. S. Army, Corps of Engineers, 1967) 假定β为常数 等于边坡的 平均坡度γa 即 (3.7) a β = γ (2) 罗厄法(Low, J. III and Katafiath, 1960) 假定β 等于该土条底面倾角α和顶面倾角γ 的 平均值 即 2 (α γ ) β β + = ′ = (3.8) (3) 简化 Janbu 法(Janbu, 1954) 为陆军工程师团法的特例 假定β= 0. (4) 传递系数法 假定β 等于该土条条底面倾角 即 β = α (3.9) 3. 静力平衡 要求每个土条和滑坡体整体力的平衡得到充分满足 但力矩平衡不满足 3. 4. 2 安全系数计算方法 假定 F 为某一数值 从右端第一个土条开始 通过静力平衡确定每个土条左侧条间力

土质边坡穗定分析一原理方法程序 (也就是下一个土条右侧条间力),到最后一个土条,即左端部的土条,其左侧向力应为零。 如不闭合,需修正F值,直至收敛。 土石坝设计规范提供以下公式进行这一计算步骤。 c(-a+B1) GRoS(-a+BR)-(△W-△)sin +usec a sin d r-ce sec a cos Ax+AO cos(ee -a) 式中:下标R和L分别代表土条右和左侧面相应物理量。 对于一个宽度Ax的微小土条,可视a为常量,式(2.12)可写成 即可方便地导出式(3.10)。 如用计算机,则常采用解析法。此时可把本法看作第一章介绍的通用条分法中只满足 力平衡方程式(223)舶的特例。STAB程序提供了一个入口,如果使用陆军工程师团法或简化 Janbu法,则输入一个β值,如果使用罗厄法,输入一个控制码,即可实现滑楔法的功能。 3.4.3双折线滑面的计算方法 滑楔法中有一个滑裂面为双折线形的特殊情况,如图32所示滑面。在C点滑面有 个突然转折,通常一部分滑面为两种土的接触面和软弱夹层。在对多余未知数的假定、静 力平衡和安全系数的计算方法上,双折线滑面与滑楔法完全一致。因此,可以直接推导出 双折线滑面安全系数的计算公式。 图3.2双折线滑动计算简图 从式(221)知,当滑面为直线,即a为常数时,s(x)=sec(p2-a+几),式(223)可变为 p(x)·Kdx=0 (3.12) a<X≤c C<x≤b (3.14) cos(中-a1 : 下标r和l分别代表在转折点C左右侧相应的数值,β为左、右楔块界面处作用力的倾 角。可知,安全系数决定于对的假定值

70 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 (也就是下一个土条右侧条间力) 到最后一个土条 即左端部的土条 其左侧向力应为零 如不闭合 需修正 F 值 直至收敛 土石坝设计规范提供以下公式进行这一计算步骤 (3.10) sec sin sec cos cos( )] sec( )[ cos( ) ( )sin( ) α φ α φ φ α φ α β φ α β φ α + ′∆ − ′ ′∆ + ∆ ′ − = ′ − + ′ − + − ∆ − ∆ ′ − e e e e L e L R e R e u x c x Q G G W V 式中 下标 R 和 L 分别代表土条右和左侧面相应物理量 对于一个宽度∆x 的微小土条 可视α为常量 式(2.12)可写成 G p x x (3.11) ∆[ cos(φ e ′ −α + β)] = − ( )∆ 即可方便地导出式(3.10) 如用计算机 则常采用解析法 此时可把本法看作第一章介绍的通用条分法中只满足 力平衡方程式(2.23)的特例 STAB 程序提供了一个入口 如果使用陆军工程师团法或简化 Janbu 法 则输入一个β 值 如果使用罗厄法 输入一个控制码 即可实现滑楔法的功能 3. 4. 3 双折线滑面的计算方法 滑楔法中有一个滑裂面为双折线形的特殊情况 如图 3.2 所示滑面 在 C 点滑面有一 个突然转折 通常一部分滑面为两种土的接触面和软弱夹层 在对多余未知数的假定 静 力平衡和安全系数的计算方法上 双折线滑面与滑楔法完全一致 因此 可以直接推导出 双折线滑面安全系数的计算公式 图 3. 2 双折线滑动计算简图 从式(2.21)知 当滑面为直线 即α 为常数时 ( ) sec( ) e a s x = φ′ −α + β 式(2.23)可变为 ( )⋅ d = 0 (3.12) ∫ p x K x b a K = 1, a < x ≤ c (3.13) K c x b l c l e r c r e < ≤ − + − + = cos( ) cos( ) φ α β φ α β (3.14) 下标 r 和 l 分别代表在转折点 C 左右侧相应的数值 βc为左 右楔块界面处作用力的倾 角 可知 安全系数决定于对βc的假定值

第3章边坡稳定分析的简化方法 35斯宾塞法( Spencer法) Spencer法是 Morgenstern-Price法的一个特例。它假定土条侧向力的倾角为一常数,即 取∫(x)=1和(x)=0,如图2.1(b所示,也就是第2.52节中介绍的对侧向力的假定1。在 很多情况下,采用该法所得的安全系数从工程角度来看已足够精确。因此,在使用STAB 程序进行通用条分法计算时, Spencer法是作为默认的功能向读者提供的。 3.6简化法 3.6.1概述 本节介绍由作者提出的两个简化方法。提出这两个方法的目的是为第2章介绍的边坡 稳定通用条分法的迭代过程提供一个安全系数的初值(233节),同时也为将在第4章介绍 的计算最小安全系数的随机搜索提供一个简捷省时的方法。此法在第2章介绍通用条分法 时建立(Chen& Morgenstern,1983),后在作者论述随机搜索方法的论文hen,1992)中作了全 面介绍。关于本法的计算精度,将在3.7.3节中讨论。 3.6.2简化法1 假定β=a且假定水平地震力作用于土条底,即h=0,则力矩平衡方程式(224)可以自 动得到满足。解式(223),可得到一个计算安全系数的公式 A- exp[-( (3.15) F (cosa-Fr sec a)tang+c'seca-n-,sina tang+ g cosa tang](3.16) dx +gsin a+n-cos a] [tan or aI K是一个考虑滑面上a和φ突然变化影响的系数。如果某段滑面是光滑的、均匀的, 则K就是一个常数。在积分过程中,当某一土条的的值或条底倾角G出现突变时,K就要 增加一个值[ana(方括号内的变量在突变点右侧和左侧的差值,x轴向左为正),这里 a以弧度计 通过进一步简化(参见382节),可以得到一个不需迭代求解的计算安全系数的公式 3.19)

第 3 章 边坡稳定分析的简化方法 71 3. 5 斯宾塞法(Spencer 法) Spencer 法是 Morgenstern-Price 法的一个特例 它假定土条侧向力的倾角为一常数 即 取 f (x) = 1 和 f0(x) = 0 如图 2.1(b)所示 也就是第 2.5.2 节中介绍的对侧向力的假定 1 在 很多情况下 采用该法所得的安全系数从工程角度来看已足够精确 因此 在使用 STAB 程序进行通用条分法计算时 Spencer 法是作为默认的功能向读者提供的 3. 6 简化法 3. 6. 1 概述 本节介绍由作者提出的两个简化方法 提出这两个方法的目的是为第 2 章介绍的边坡 稳定通用条分法的迭代过程提供一个安全系数的初值(2.3.3 节) 同时也为将在第 4 章介绍 的计算最小安全系数的随机搜索提供一个简捷省时的方法 此法在第 2 章介绍通用条分法 时建立(Chen & Morgenstern, 1983) 后在作者论述随机搜索方法的论文(Chen, 1992)中作了全 面介绍 关于本法的计算精度 将在 3.7.3 节中讨论 3. 6. 2 简化法 1 假定 β =α 且假定水平地震力作用于土条底 即 he= 0 则力矩平衡方程式(2.24)可以自 动得到满足 解式(2.23) 可得到一个计算安全系数的公式 ∫ ∫ α + φ′ ⋅ − α + φ′ ⋅ − = b a i b a i x F K F B x F K F A F )]d tan exp[ ( )]d tan exp[ ( (3.15) sin tan cos tan ] d d (cos sec )tan sec d d = [ α − α φ′ + ′ α −η α φ′ + q α φ′ x W r c x W A u (3.16) cos ] d d )sin d d [( α η α x W q x W B = + + (3.17) ∑ (3.18) = = ′ ⋅ s i r Ki i i i 1 [tanφ α ] Ki是一个考虑滑面上α 和 φ′ 突然变化影响的系数 如果某段滑面是光滑的 均匀的 则 Ki就是一个常数 在积分过程中 当某一土条的φ i ′ 值或条底倾角 αi 出现突变时 Ki就要 增加一个值[tan φ′ i ⋅αi]l r (方括号内的变量在突变点右侧和左侧的差值 x 轴向左为正) 这里 α 以弧度计 通过进一步简化(参见 3.8.2 节) 可以得到一个不需迭代求解的计算安全系数的公式 k k k k B C A B F = − (3.19)