第2章边坡稳定分析的通用条分法 2.1边坡稳定分析极限平衡法的基本原理 2.1.1基本原则 建立在极限平衡原理基础上的边坡稳定分析方法包含有以下几条基本原则 关于安全系数的定义 土坡沿着某一滑裂面滑动的安全系数F是这样定义的,将土的抗剪强度指标降低为c/F 和tan,则土体沿着此滑裂面处处达到极限平衡,即 t=C.+d·tan (2.2) tand tanφ 上述将强度指标的储备作为安全系数定义的方法是经过多年的实践被工程界广泛承认 的一种作法。采用这一定义,在数值计算方面,会增加一些迭代、收敛方面的问题。 2.摩尔-库仑强度准则 设想土体的一部分沿着某一滑裂面滑动。在这个滑裂面上,土体处处达到极限平衡,即 正应力σ〃和剪应力τ满足摩尔-库伦强度准则。设土条底的法向力和切向力分别为N和T, 则有 △T=c△xeca+△N-a△ x seca)tan 式中:α为土条底倾角,tan=dy/dx;u为孔隙水压力,通常定义孔隙水压力系数 dw/dx 3.静力平衡条件 将滑动土体分成若干土条(图2.1),每个土条和整个滑动土体都要满足力和力矩平衡条 件。在静力平衡方程组中,未知数的数目超过了方程式的数目,解决这一静不定问题的办法 是对多余未知数作假定,使剩下的未知数和方程数目相等,从而解出安全系数的值 2.1.2合理性要求 上述对多余未知数进行假定的具体方案可以是多种多样的,但是,也并不是完全任意的 它必须使获得的解符合土和岩石的力学特性。目前,被普遍接受的合理性条件是( Morgenstern &Pice,1967年; Janbu,1973年)
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 2. 1 边坡稳定分析极限平衡法的基本原理 2. 1. 1 基本原则 建立在极限平衡原理基础上的边坡稳定分析方法包含有以下几条基本原则 1. 关于安全系数的定义 土坡沿着某一滑裂面滑动的安全系数 F 是这样定义的 将土的抗剪强度指标降低为 c'/F 和 tanφ'/F 则土体沿着此滑裂面处处达到极限平衡 即 (2.1) e n e τ = c′ +σ ′ ⋅ tanφ′ F c ce ′ ′ = (2.2) F e φ φ ′ ′ = tan tan (2.3) 上述将强度指标的储备作为安全系数定义的方法是经过多年的实践被工程界广泛承认 的一种作法 采用这一定义 在数值计算方面 会增加一些迭代 收敛方面的问题 2. 摩尔−库仑强度准则 设想土体的一部分沿着某一滑裂面滑动 在这个滑裂面上 土体处处达到极限平衡 即 正应力σn' 和剪应力 τ 满足摩尔−库伦强度准则 设土条底的法向力和切向力分别为 N 和 T 则有 (2.4) e e ∆T = c′∆x secα + (∆N − u∆x secα)tanφ′ 式中 α为土条底倾角 tanα=dy/dx u 为孔隙水压力 通常定义孔隙水压力系数 W x u ru d / d = (2.5) 3. 静力平衡条件 将滑动土体分成若干土条 图 2.1 每个土条和整个滑动土体都要满足力和力矩平衡条 件 在静力平衡方程组中 未知数的数目超过了方程式的数目 解决这一静不定问题的办法 是对多余未知数作假定 使剩下的未知数和方程数目相等 从而解出安全系数的值 2. 1. 2 合理性要求 上述对多余未知数进行假定的具体方案可以是多种多样的 但是 也并不是完全任意的 它必须使获得的解符合土和岩石的力学特性 目前 被普遍接受的合理性条件是 Morgenstern & Price, 1967 年 Janbu, 1973 年
24土质边坡稳定分析一原理·方法程序 fu(r) f(x)=sin(b=a 图2.1边坡稳定的条分法 (a)滑坡体;(b)侧向力假定1:(c)侧向力假定2 (1)沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不能超过在这个面上所能发挥的抗剪能力 (参见图22),即 F Ia>>> (26) N 图2.2作用在土条上的力
24 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 图 2. 1 边坡稳定的条分法 (a) 滑坡体 (b) 侧向力假定 1 (c) 侧向力假定 2 (1) 沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不能超过在这个面上所能发挥的抗剪能力 参见图 2.2 即 F X E c y z F av av v > ′ ′ + ′ − = [ tanφ ( )] (2.6) 图 2. 2 作用在土条上的力
第2章边坡穗定分析的通用条分法25 或 X 上二式中:F为沿着土条垂直面的安全系数;F为使用经过按式(2,2)和式(2.3)缩减后垂 直面的安全系数;E为作用在土条垂直面的法向有效压力;X为作用在土条垂直面的剪力 tanp'a为土条垂直面的有效平均摩擦系数;c'a为土条垂直面的有效平均粘聚力;tanφm为 tand 'av被F值除后的值;c如m为cam被F值除后的值;y为滑裂面的纵坐标值;二为土坡表 面的纵坐标值。 (2)为保证在土条接触面上不产生拉力,作用在土条上的有效力的合力作用点不应落在 土条垂直面的外面(参考图22)。 0<4<1 (2.9) 式中:y为作用在土条垂直面上的有效法向力的作用点的纵坐标值 2.2静力平衡方程的普遍形式及其解 2.2.1作用在土条上的力 设想某一边坡的滑动土体沿滑裂面y=y(x)下滑,见图22。此时,根据安全系数的定义, 土体和滑裂面上的抗剪强度指标均已缩减为c'、tanφ'。在滑动土体中切出一垂直土条,分 析作用在其上的力,计有 1)土条重量△,浸润线上为天然容重,浸润线下为饱和容重 2)坡表面垂直荷重q△x 3)地震力,水平地震力△Q=n△W,其作用点与土条底距离为he; 4)作用在土条垂直边上的总作用力G(即土骨架间的法向有效作用力和水压力之和), 与水平线的夹角为β,其作用点的纵坐标值为y。 2.2.2静力平衡微分方程及其解 对土条建立x和y方向的静力平衡方程 Q-△(Gcos阝)=0 △ Cosa-△ Tsina+(△W+q△x)-△(Gsinβ)=0 (2.11) 将式(24)代入式(2.10)、式(2.11),消去△N,令△x→0,得到静力平衡的微分方程 cos(e-a+P)G sin(e-a+阝)+G=-p(x)
第 2 章 边坡稳定分析的通用条分法 25 或 1 [ tan ( )] > ′ ′ + ′ − = X E c y z F ave ave ve φ (2.7) 上二式中 Fv 为沿着土条垂直面的安全系数 Fve 为使用经过按式(2.2)和式(2.3)缩减后垂 直面的安全系数 E'为作用在土条垂直面的法向有效压力 X 为作用在土条垂直面的剪力 tanφ'av为土条垂直面的有效平均摩擦系数 c'av 为土条垂直面的有效平均粘聚力 tanφ'ave 为 tanφ'av被 F 值除后的值 c'ave 为 c'av被 F 值除后的值 y 为滑裂面的纵坐标值 z 为土坡表 面的纵坐标值 (2) 为保证在土条接触面上不产生拉力 作用在土条上的有效力的合力作用点不应落在 土条垂直面的外面 参考图 2.2 0 < ′ < 1 (2.8) Ac y z y z A t c − ′ − ′ = (2.9) 式中 y′t为作用在土条垂直面上的有效法向力的作用点的纵坐标值 2. 2 静力平衡方程的普遍形式及其解 2. 2. 1 作用在土条上的力 设想某一边坡的滑动土体沿滑裂面 y = y(x)下滑 见图 2.2 此时 根据安全系数的定义 土体和滑裂面上的抗剪强度指标均已缩减为 c'e tanφ'e 在滑动土体中切出一垂直土条 分 析作用在其上的力 计有 1) 土条重量∆W 浸润线上为天然容重 浸润线下为饱和容重 2) 坡表面垂直荷重 q∆x 3) 地震力 水平地震力∆Q =η∆W 其作用点与土条底距离为 he 4) 作用在土条垂直边上的总作用力 G 即土骨架间的法向有效作用力和水压力之和 它与水平线的夹角为β 其作用点的纵坐标值为 yt 2. 2. 2 静力平衡微分方程及其解 对土条建立 x 和 y 方向的静力平衡方程 ∆N sinα −∆T cosα +∆Q −∆(G cos β) = 0 (2.10) − β ∆N cosα −∆T sinα + (∆W + q∆x) −∆(G sin ) = 0 (2.11) 将式(2.4)代入式(2.10) 式(2.11) 消去∆N 令∆x 0 得到静力平衡的微分方程 ( ) d d sin( ) d d cos( ) G p x x x G e ′ − + − e ′ − + = − β φ α β φ α β (2.12)
26土质边坡稳定分析一原理·方法·程序 P(x)=(+q)sin(e-a)-r (2.13) + C seca costφ!-n-,cos(φ-a) 同时,将作用在土条上的力对土条底中点取矩,建立力矩平衡方程: (G+△Gcos(阝+△β)(y+△y)-(y2+△y)-=△yl 其中h为水平地震力作用点距条底的垂直距离,当Ax→0时,可得 Gsin B=-ydr (G cos p)dr G cos B)+n dr he 式(212)也可通过将作用在条块上的力投影图22中线AA方向获得。AA与土条底切 线方向夹角为φ,土条底的法向力N与由其贡献的切向抗力Ntan!的合力因与AA垂直 故不出现 223静力平衡方程的解 微分方程组式(212)和式(2.15)的边界条件是 G(b)=0 yt y,(b)=y(b) 式中:a和b为滑体左、右端点的x坐标。 式(212)是一个一阶非线性常微分方程,它的积分形式是 s(x)=sec(e-a+B)exp)- tan(e-a+B)rds 式(2.15)的积分形式是 GmB-cpa0d=∫n出h+ [CosbY (222) 令x=b,并使用式(216)至式(219)的边界条件,应用分部积分法,式(2.20)和式(222) 可化为 (223) p(x)s(x)r(x)dx-Me =0 (224)
26 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 cos( ) d d sec cos sec sin d d )sin( ) d d ( ) ( α φ η φ α φ α α φ + ′ ′ − ′ − = + ′ − − ′ e e e e u e x W c x W q r x W p x (2.13) 同时 将作用在土条上的力对土条底中点取矩 建立力矩平衡方程 0 d d ∆ ) sin ∆ 2 1 cos ( ∆ ] 2 1 ( ∆ ) cos( ∆ )[( ∆ ) ( ∆ ) − − + + − = + + + − + − t e t t h x W G y y y G x G G y y y y y β β η β β (2.14) 其中 he为水平地震力作用点距条底的垂直距离 当∆x 0 时 可得 t e h x W y G x G x G y d d ( cos ) d d ( cos ) d d sin β = − β + β +η (2.15) 式(2.12)也可通过将作用在条块上的力投影图 2.2 中线 AA' 方向获得 AA' 与土条底切 线方向夹角为φ'e 土条底的法向力 N′与由其贡献的切向抗力 N' tanφ'e 的合力因与 AA' 垂直 故不出现 2. 2. 3 静力平衡方程的解 微分方程组式(2.12)和式(2.15)的边界条件是 G(a) = 0 (2.16) G(b) = 0 (2.17) y (a) y(a) (2.18) t = y (b) y(b) (2.19) t = 式中 a 和 b 为滑体左 右端点的 x 坐标 式(2.12)是一个一阶非线性常微分方程 它的积分形式是 (2.20) = − ′ − + − ∫ − x a G x e s x p s G a 1 ( ) sec(φ α β ) ( ) (ζ ) (ζ )dζ ( ) = ′ − + − ′ − + ∫ x a e e s x d d d ( ) sec( ) exp tan( ) ζ ζ β φ α β φ α β (2.21) 式(2.15)的积分形式是 [ ∫ ∫ − = + − x a x a x e t a h x G y y x W G x d cos ( ) d d (sin β cos β tanα)d η β ] (2.22) 令 x = b 并使用式(2.16)至式(2.19)的边界条件 应用分部积分法 式(2.20)和式(2.22) 可化为 (2.23) ∫ = b a p(x)s(x)dx 0 (2.24) ∫ − = b a Me p(x)s(x)t(x)dx 0
第2章边坡穗定分析的通用条分法27 m自pmm+ b dn h.dx (2.26) 在获得式(2.24)时应用了式(223)和下面的关系式 Ip(r)s(x)r(x)dx 注意式(227)右侧第一项由式(223)可知为零。式(223)和式(224)分别反映滑动土体力和 力矩平衡要求。这两个方程中包含一个未知数,即安全系数F,它隐含在中和c2中[式(22) 和式(23),另外还包含一个变量β(x)。 Morgenstern和 Price假定其符合某一分布形状,留 下一个待定常数λ和F一起求解,即假定 tan阝=2f(x) (228) f(x)旦确定,稳定分析就具体化为求解联立方程式(223)和式(2.24)中包含的两个未知 数F和λ的问题 对式(215)积分可获得使用式(29)需知的y的计算公式 ∫ G(sin B- cosp tana)dr.-∫ Gcos阝 (229) f(x)可假定为1,即假定各土条的β(x)为一常数;也可假定为其它函数。每一组解都要 通过式(25)和式(27)的合理性要求检验 在大部分的计算中,我们令∫(x)=常数=1,如图2.1(b)示。这种特例称 Spencer法。在 STAB程序中,提供给用户的默认的功能也是这一处理方式,因为大量的计算实例说明,f(x) 的形状对安全系数F值的影响并不大。 但是在一些特殊条件下,使用 Spencer法可能导致较大的误差。从严格的理论意义上讲, 为了保证在x=a和x=b处剪应力成对原理不被破坏,要求β(x)在该两端为指定值。因此 假定 tan阝=f0(x)+f(x) (2.30) f6(x)在x=a和x=b处为指定值,f(x)在x=a和x=b处为零,如图2.l(c所示。使 用这一规定,可以进一步限制对未知函数β(x)作假定的随意性。将在252节中详细讨论这 问题 2.3静力平衡方程的数值解 23.1 Newton- Raphson选代法 通常采用 Newton- Raphson迭代法求解下列静力平衡方程中的F和λ
第 2 章 边坡稳定分析的通用条分法 27 ∫ ∫ = − ′ − + x a a e t x d ]d d d ( ) (sin cos tan ) exp [tan( ) ξ ζ ξ ζ β β β α φ α β (2.25) ∫ = b a e e h x x W M d d d η (2.26) 在获得式(2.24)时应用了式(2.23)和下面的关系式 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = + − = − = − b a b a b a b a b a a a p x s x t x x G x p s t t p s p x s x t x x ( ) ( ) ( )d (sin cos tan )d ( ) ( )d d ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d ξ ξ β β α ζ ζ ζ ζ ζ ζ (2.27) 注意式(2.27)右侧第一项由式(2.23)可知为零 式(2.23)和式(2.24)分别反映滑动土体力和 力矩平衡要求 这两个方程中包含一个未知数 即安全系数 F 它隐含在φ′e中和 c'e中[式(2.2) 和式(2.3)] 另外还包含一个变量β (x) Morgenstern 和 Price 假定其符合某一分布形状 留 下一个待定常数λ和 F 一起求解 即假定 tan β = λf (x) (2.28) f (x)一旦确定 稳定分析就具体化为求解联立方程式(2.23)和式(2.24)中包含的两个未知 数 F 和λ的问题 对式(2.15)积分可获得使用式(2.9)需知的 yt的计算公式 a x a x a e t y G h x x w G x y + − − = ∫ ∫ β β β α η cos d d d (sin cos tan )d (2.29) f (x)可假定为 1 即假定各土条的β (x)为一常数 也可假定为其它函数 每一组解都要 通过式(2.5)和式(2.7)的合理性要求检验 在大部分的计算中 我们令 f (x)=常数=1 如图 2.1(b)示 这种特例称 Spencer 法 在 STAB 程序中 提供给用户的默认的功能也是这一处理方式 因为大量的计算实例说明 f(x) 的形状对安全系数 F 值的影响并不大 但是在一些特殊条件下 使用 Spencer 法可能导致较大的误差 从严格的理论意义上讲 为了保证在 x = a 和 x = b 处剪应力成对原理不被破坏 要求β (x)在该两端为指定值 因此 假定 tan ( ) ( ) (2.30) 0 β = f x + λf x f0(x)在 x = a 和 x = b 处为指定值 f(x)在 x = a 和 x = b 处为零 如图 2.1(c)所示 使 用这一规定 可以进一步限制对未知函数β (x)作假定的随意性 将在 2.5.2 节中详细讨论这 一问题 2. 3 静力平衡方程的数值解 2. 3. 1 Newton−Raphson 迭代法 通常采用 Newton−Raphson 迭代法求解下列静力平衡方程中的 F 和λ