例1.证明等式 元 arcsin x arccosx ,x∈[-1,1] 2 证：设f(x)=arcsinx+arccosx,则在(-l,1)上 '()=1-x21-x2 三 由推论可知 f(x)=arcsinx+arccosx=C(常数) π 令x=0,得C= 又f±1)=故所证等式在定义域[-1,1]上成立 2 经验：欲证x∈I时f(x)=C,只需证在I上f'(x)≡0， 且3x∈I,使f(xo)=Co 自证：arctanx+arccotx= X∈(-0，+0) 2 机动 下 返回
例1. 证明等式 , [ 1,1]. 2 arcsin x arccos x x 证: 设 f (x) arcsin x arccos x , 则在(1,1)上 f (x) 由推论可知 f (x) arcsin x arccos x C (常数) 令 x = 0 , 得 . 2 C 又 , 2 ( 1) f 故所证等式在定义域 [1,1]上成立. 自证: , x(, ) 2 arctan arccot x x 2 1 1 x 2 1 1 x 0 经验: 欲证 x I 时 ( ) , C0 f x 只需证在 I 上 f (x) 0, , 0 且 x I ( ) . 0 C0 使 f x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.证明不等式 <ln(1+x)<x(x>0) 1+x 证：设f(t)=ln(1+t),则f(t)在[0，x]上满足拉格朗日 中值定理条件，因此应有 f(x)-f(0)=f'(5)x-0),0<5<x 即 m0+g 0<5<x 因为 X 人 X <X 1+x 1+5 故 x<In(1+x)<x (x>0) 1+x Qa9g⑧
例2. 证明不等式 证: 设 f (t) ln(1 t) , 则 f (t)在[0, x]上满足拉格朗日 中值定理条件, 即 因为 故 ln(1 ) ( 0). 1 x x x x x f (x) f (0) ln(1 x) x x , 0 1 1 x x x 1 x ln(1 ) ( 0) 1 x x x x x f ( )(x 0), 0 x 因此应有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.1.3 柯西中值定理 作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理： 定理3设函数fx)和g(c)满足条件： (1)在闭区间a,b上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)g'(x)≠0 则在(4，b)内至少存在一点，使得 f(b)-f(a)f(5) (a<5<b) g(b)-8(a) g'(5) 证 先用反证法证明g(b)一g(a)≠0，若不然，即有g(b)=g(a) 则由罗尔定理知，至少存在一点x∈(4，b),使得g'(x。)=0,此与条 件(3)矛盾，故有g(b)一g(@≠0
3.1.3 柯 西 中 值 定 理 定理3 设函数 f (x) 和 g(x) 满足条件： 作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理： (3) g ( x) 0 则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得 证 先用反证法证明g(b) － g(a)≠0，若不然，即有g(b) = g(a). 则由罗尔定理知，至少存在一点x0∈ (a,b)，使得 ，此与条 件(3)矛盾，故有g(b) － g(a)≠0。 ( ) 0 g x 0 （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b g f g b g a f b f a
为证明等式成立，我们作辅助函数 F(x)=f(x)-f(a)- f(b)-f(a) [g(x)-g(a)] g(b)-g(a) 显然Fx)满足罗尔定理的三个条件，因此，在(4，b)内至少存在一点 5,使得F'(5)=0即 f(5)- f(b)-f(a) g'(5)=0(a<5<b) g(b)-8(a) 即 f(b)-f(a)=f'(5) (a<5<x) g(b)-g(a)g'(5) 注容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当g心)=x时的 一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则
注 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当 g (x) = x时的 一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。 即 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x g a g b g a f b f a F x f x f a 显然F (x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得 F ( ) 0，即 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g a b g b g a f b f a f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a x g f g b g a f b f a 为证明等式成立，我们作辅助函数
费马(1601-665) 法国数学家，他是一位律师，数学 只是他的业余爱好.他兴趣广泛，博 览群书并善于思考，在数学上有许多 重大贡献.他特别爱好数论，他提出 费马，P.de 的费马大定理 当n>2时，方程xn+y”=zn无整数解" 至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的
法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的费马大定理: "当 2时,方程 无整数解 " n n n n x y z 至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的