而曲线弧AB与弦AB的纵坐标之差为 f(x)-J(a)-f(b)-J(a)(x-a) b-a 它是x的函数，将其记为p(x),x∈[a,b]，显然函数满足罗尔定理的 条件。 证 作辅助函数 -a)--(s-a b-a (x∈[a,b] 显然p(x)在上Ia,b连续，在(a,b)可导，且 p(a)=p(b)=0 于是由罗尔定理，至少存在一点∈(4，b),使得 o'5)=(5)-)-fa=0 b-a 即 f(b)-fa)=f(5) (5∈(a,b) b-a
证 作辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a f x f a 即 而曲线弧 AB 与弦 AB 的纵坐标之差为 它是 x 的函数，将其记为 ，显然函数满足罗尔定理的 条件。 ( x), x [a, b] ( ) ( [ , ]) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a b b a f b f a x f x f a 0 ( ) ( ) ( ) ( ) b a f b f a f 显然(x) 在上[a,b]连续，在(a,b)可导，且 (a) (b) 0 于是由罗尔定理，至少存在一点ξ ∈ (a,b) ，使得 ( ) ( ( , )) . ( ) ( ) f a b b a f b f a
中雀凳滩韵演示 已知条件是y=f(x)，x∈[a,b].因此，可得到一条过曲线两个端点的直线 l:y-M(a)+(b)-f(a(x-a). b-a 而与曲线有关的直线应该是每点处的切线.我们来看看曲线的切线与直线1 存在什么样的关系？ 17 T与I平行 (b,f(b)) =f(x) y-M(a)+()x-a) 这样的ξ可能有好多 b-a (a,f(a)) a 5 b X Made by Huilai Li
? . ( ). ( ) ( ) ( ) [ , ]. 存在什么样的关系 而与曲线有关的直线应该是每点处的切线 我们来看看曲线的切线与直线 ： 已知条件是 （ ）， 因此，可得到一条过曲线两个端点的直线 l x a b a f b f a l y f a y f x x a b y f (x) (a, f (a)) (b, f (b)) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a O a b x y T l T 与 l 平行 这样的可能有好多
fb)-f(a=f'(5) (ξ∈(a,b). b-a f(b)-f(a)=f'(5)(b-a) 在区间[x,x+△x]上应用拉各朗日中值定理时， 结论可以写成 f(x+△x)-f(x)=f'(5)△x (x<5<x+△x)
f (b) f (a ) f ( )(b a ) ( ) ( ( , )) . ( ) ( ) f a b b a f b f a f ( x x ) f ( x ) f ( )x ( x x x ) 在区间 上应用拉各朗日中值定理时， 结论可以写成 [ x, x x ]
由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。 推论1 若函数fx)在(a,b)内任意点的导数f'(x)=0,则fx) 在(a,b)内是一个常数。 证 在(a,b)内任意取两点x1,x2,不妨设x1≤x2,显然fx)在 [a,上连续，在化1，x)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一 点∈(c1,2),使得 f(x2)-f(x)=f'(5)x2-x) 由条件知f'(5)=0,从而fc2)一f(x)=0。即f2)=fc)。由x1,x2 是(a,b)内的任意两点，于是我们就证明了fc)在(a,b)内恒为一个常数。 推论2 若函数fe),gc)在(a,b)内可导，且 f'(x)≡g'(x), tx∈(a,b) 则在(a,b)内，fc)与gc)最多相差一个常数，即 f(x)=g(x)+c,x∈(a,b)
由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。 证 在(a,b)内任意取两点 x1，x2，不妨设 x1< x2，显然 f (x)在 [a,b]上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一 点ξ∈ (x1，x2) ，使得 推论2 若函数 f (x)， g(x)在(a,b)内可导，且 推论1 若函数 f (x)在(a,b)内任意点的导数 ，则 f (x) 在(a,b)内是一个常数。 f ( x) 0 ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 f x f x f x x 由条件知 ，从而f (x2) － f (x1) = 0。即 f (x2) = f (x1)。由 x1，x2 是(a,b)内的任意两点，于是我们就证明了 f (x)在(a,b)内恒为一个常数。 f ( ) 0 f (x) g (x), x (a,b) f (x) g(x) c, x(a,b) 则在(a,b)内， f (x)与g(x)最多相差一个常数，即
其中c为常数。 事实上，因为[f(x)-g(x]'=f"(x)-g'(x)=0,x∈(a,b),由 推论1可知 f(x)-g(x)=c,x∈(a,b) f(x)=8(x)+C,x∈(a,b) 应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式
其中c为常数。 f (x) g(x) c, x(a,b) 事实上，因为 ，由 推论1可知 [ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) 0, x (a, b) f (x) g(x) c, x(a,b) 应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式