注当定理中的方阵为不定时，并不能说明f(x。）不是极值。例如，在求函数f(x,y,2)=x2+y-z在约束条件z=0下的极值时，构造Lagrange函数L(xy,=)=x?+y?-z?-2z，并解方程组L,= 2x= 0,L, = 2y= 0,L, =-2z-1=0,z= 0得x=y=z=元=0。而在(0,0,0,0)点，方阵(Lx200LxyLx0Lyx02LyLy一Lx(0 0 -2)LeyL.-是不定的。但在约束条件z=0下，f(x,y,2)=x2+y2≥f(0,0,0)=0，即f(0,0,0)是条件极小值
注 当定理中的方阵为不定时，并不能说明 )(x0 f 不是极值。例 如，在求函数 222 ),( −+= zyxzyxf 在约束条件 z = 0下的极值时，构造 Lagrange 函数 −−+= λzzyxzyxL 222 ),( ，并解方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = =−−= == == 0 ,02 ,02 ,02 z zL yL xL z y x λ 得 = zyx λ === 0。而在 )0,0,0,0( 点，方阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 020 002 zzzyzx yzyyyx xzxyxx LLL LLL LLL 是不定的。但在约束条件 z = 0下， ),( 0)0,0,0( 22 fyxzyxf =≥+= ，即 f )0,0,0( 是条件极小值
在实际问题中往往遇到的是求最值问题，这时可以根据问题本身的性质判定最值的存在性。这样的话，只要把用Lagrange乘数法所解得的点的函数值加以比较，最大的（最小的）就是所考虑问题的最大值（最小值）。例12.7.1要制造一个容积为α立方米的无盖长方形水箱，问这个水箱的长、宽、高为多少米时，用料最省？解设水箱的长为x、宽为V、高为z（单位：米），那么问题就变成在水箱容积xyz= a的约束条件下，求水箱的表面积S(x, y,z) = xy + 2xz +2yz的最小值
在实际问题中往往遇到的是求最值问题，这时可以根据问题本身 的性质判定最值的存在性。这样的话，只要把用 Lagrange 乘数法所解 得的点的函数值加以比较，最大的（最小的）就是所考虑问题的最大 值（最小值） 。 例 12.7.1 要制造一个容积为 a立方米的无盖长方形水箱，问这 个水箱的长、宽、高为多少米时，用料最省？ 解 设水箱的长为 x、宽为 y 、高为 z（单位：米），那么问题就变 成在水箱容积 = axyz 的约束条件下，求水箱的表面积 = + + 22),( yzxzxyzyxS 的最小值