作为一个例子，现在用Lagrange乘数法来解决本节开始提出的问题，即求函数F(x,y,2) = x? + y? +2?在约束条件x+y+z=1,x+2y+3z=6下的最小值（最小值的平方根就是距离）。为此，作Lagrange函数L(x, y,z,n,μ)= x2 + y2 +z2 - (x+ y+ z -1)- μ(x+2y+3z-6),在方程组[L,=2x-元-μ=0,L,=2y--2μ=0,L,=2z--3μ=0,x+y+z-1=0,x+2y+3z-6=0中，把方程组中的第一、第二和第三式相加，再利用第四式得3元 +6μ=2
作为一个例子，现在用 Lagrange 乘数法来解决本节开始提出的 问题，即求函数 222 ),( ++= zyxzyxF 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 下的最小值（最小值的平方根就是距离）。为此，作 Lagrange 函数 ),( ( )632()1 222 μλ λ μ zyxzyxzyxzyxL −++−−++−++= ， 在方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =−++ =−−= =−−= =−−= .0632 ,01 ,032 ,022 2 ,0 zyx zyx zL yL xL z y x μλ μλ μλ 中，把方程组中的第一、第二和第三式相加，再利用第四式得 λ + μ = 263
把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加，再利用第五式得6元+14u=12。从以上两个方程解得22357由此可得唯一的可能极值点x33由于点到直线的距离，即这个问题的最小值必定存在，因此这个517唯一的可能极值点必是最小值点，也就是说，原点到直线33°3[x + y+z = l,的距离为[x +2y+3z= 6255132
把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加，再利用第五式得 λ + μ = 12146 。 从以上两个方程解得 4, 3 22 μλ =−= ， 由此可得唯一的可能极值点 3 7 , 3 1 , 3 5 zyx ==−= 。 由于点到直线的距离，即这个问题的最小值必定存在，因此这个 唯一的可能极值点 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 3 7 , 3 1 , 3 5 必是最小值点，也就是说，原点到直线 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 的距离为 3 25 3 7 , 3 1 , 3 5 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ F − = 3 5
-般地，考虑目标函数f(x,xz,,x）在m个约束条件g,(xi,x2,"",x,)=0 (i=1,2,"",m, m<n)下的极值，这里f,g,（i=1,2,,m)具有连续偏导数，且Jacobi矩阵gi0J=axaxax.在满足约束条件的点处是满秩的，即rankJ=m。那么我们有下述类似的结论：定理12.7.1（条件极值的必要条件）若点x。=（x°,x.,x）为函数f(x)满足约束条件的条件极值点，则必存在m个常数元,22,,元m，使得在点成立grad f=a,gradg,+a,gradg2+..+amgradgmo
一般地，考虑目标函数 ),( 21 n " xxxf 在 m 个约束条件 );,2,1(0),( 21 nmmixxxgi " n == " < 下的极值，这里 migf ),2,1(, i = " 具有连续偏导数，且 Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = n m m m n n x g x g x g x g x g x g x g x g x g J " ### " " 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 在满足约束条件的点处是满秩的，即rank = mJ 。那么我们有下述类似 的结论： 定理 12.7.1（条件极值的必要条件）若点 x0 ),( 00 2 0 1 n = " xxx 为函数 f x)( 满足约束条件的条件极值点，则必存在 m 个常数 λλλ m , 21 " ，使 得在 0 x 点成立 m m grad f grad g grad g grad g = λ1 + λ21 2 "++ λ
于是可以将 Lagrange 乘数法推广到一般情形。同样地构造Lagrange函数L(x,x2,-,xn,a,22,,am)= f(x1,X2,*,x.)-Eag(x,x2,.,x),i=l那么条件极值点就在方程组aL_f22ogi=0,(*)(k = 1,2, ,n, 1 = 1,2, ,m)axkxkOxki=l(g, = 0,的所有解(x,x2,,x，,2.)所对应的点(,x2,…x）中
于是可以将 Lagrange 乘数法推广到一般情形。同样地构造 Lagrange 函数 ∑= = − m i n m n ii n xxxL xxxgxxxf 1 21 21 21 21 " " λλλ " λ " ),(),(),( ， 那么条件极值点就在方程组 （ * ） ),2,1;,2,1( ,0 ,0 1 mlnk g x g x f x L l m i k i i kk = " = " ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑= λ 的所有解 ),( 21 n 21 m " xxx λ λ " λ 所对应的点 ),( 21 n " xxx 中
判断如所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件，我们不加证明地给出。定理12.7.2设点x。=(xx,x）及m个常数,2，元m满足方程组（*），则当方阵?L(xo,21,2)ax,ax,为正定（负定）矩阵时，x。为满足约束条件的条件极小（大）值点，f(x。）为满足约束条件的条件极小（大）值
判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件，我们不 加证明地给出。 定理 12.7.2 设点 0 x ),( 00 2 0 1 n = " xxx 及 m 个常数 λ λ λ m , 21 " 满足方 程组（ * ），则当方阵 nn m lk xx L × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ ),( 210 2 x " λλλ 为正定（负定）矩阵时， 0 x 为满足约束条件的条件极小（大）值点， )( 0 f x 为满足约束条件的条件极小（大）值