华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第三章 多维随机变量及其分布 §2.1 二维随机变量

第三章多维随机变量及其分布例1设某种昆虫产卵的个数服从参数为入的泊松分布，每个卵能孵化成幼虫的概率为p。求一只成虫繁衍出的幼虫只数的分布。X解记X为一只成虫产卵的个数，则X~P(Λ）;记Y为一只成虫繁衍出的幼虫只数，则Y/X=n~B(n,p)1P(Y = k)= P(X = n)P(Y = k / X = n)Y=kn=0(Ap)*-e-+*Chp*(1- p)_ (p)广型。-2 [α(1 - p)]"-2k!k!n=k n!(n-k)!即 Y~P(Λ )82.1二维随机变量二维随机变量定义设为E的样本空间，wX若对Q中的每个样本点W给一对Yw实数(X(の),Y(の))与之对应，则0x(w)称(X(の),Y(の))为二维随机变量。x二、联合分布函数F(x,y)= P(X≤x,Y≤y) ,-8<x,y<+80≤F(x,y)≤1,且1.有界性：F(+0,+8) = 1F(-00, y) = F(x,-00) = 0

第三章 多维随机变量及其分布 例 1 设某种昆虫产卵的个数服从参数为  的泊松分布，每个卵能孵化成幼虫的概 率为 p。求一只成虫繁衍出的幼虫只数的分布。 解 记 X 为一只成虫产卵的个数，则 X~P(λ )； X ：0，1，2，.,n,. 记 Y 为一只成虫繁衍出的幼虫只数，则 Y/X=n~B(n,p)         0 ( ) ( ) ( / ) n P Y k P X n P Y k X n Y  k        n k k k n k n n e C p p n * (1 ) !           n k k n k n k p e k p ( )! [ (1 )] ! ( )   p k e k p   ! ( ) 即 Y~P(λ p) §2.1 二维随机变量 一、二维随机变量 ^定义 设Ω 为 E 的样本空间， y 若对Ω 中的每个样本点ω 给一对 Y(ω ) * 实数 (X(),Y()) 与之对应，则 称 (X(),Y()) 为二维随机变量。 X(ω ) x 二、联合分布函数 F(x, y)  P(X  x,Y  y) ，   x, y   1.有界性： 0≤F(x, y)≤1，且 F(, y)  F(x,)  0 ， F(,) 1 ω Ω

X<x2 = F(xi,J)≤F(x2,J)2.单调性：i<y2 = F(x,y)≤F(x,y2)F(x+o,y)= F(x,y), F(x,y+o) = F(x,y)3.右连续性：4.相容性：对x/≤x2，y/≤y2有F(x2, J2) - F(x1,y2)-F(x2,J)+F(X1,J1) ≥01V2yix1X2三、二维D.R.V.的联合分布P(X =x,Y =y,)= Pui,j=1,2,...XIYy1y2yiPulPujP12P2itP21P22.PilPi2Pu

2.单调性： 1 2 x  x  ( , ) ( , ) 1 2 F x y  F x y 1 2 y  y  ( , ) ( , ) 1 2 F x y  F x y 3.右连续性： F(x o, y)  F(x, y) ， F(x, y o)  F(x, y) 4.相容性：对 x1≤x2，y1≤y2有 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 1 2 2 1 1 1 F x y  F x y  F x y  F x y ≥0 y x 三、二维 D.R.V.的联合分布 i j pij P(X  x ,Y  y )  i, j 1,2,  X \Y y1 y2  yj    i x x x 2 1             i i ij i j p p p p p p p p p 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 x1 x2 y2 y1

1. P,≥0.2. Zp, =1例2（Pz2例3.1）设整数X等可能地在1，2，3，4中取值，另一整数等可能地在1~X中取值，求（X，Y）的联合分布列。解 P(X=1,Y=1)1234= P(X = 1)P(Y = 1/ X = 1)40001x1=1%20044P(X = 2,Y = 1)30= P(X = 2)P(Y = 1/ X = 2)4１１14^2-8四、二维C.R.V.的联合分布F(x, y)=[""f(u,v)dudy00<x，y+0称f(x,y)为(x,y)的联合密度函数。1. (x, ) = "F(x)对(x,y)的连续点成立；axdy2. P(a<X<b,c<Y<d) = "f" f(x, )dxdy一般 P((X,Y) e D) = J], f(x, y)dxdy

1. pij  0 ； 2.   i j pij 1 例 2（P72例 3.1）设整数 X 等可能地在 1，2，3，4 中取值，另一整数等可能地在 1~X 中取值，求（X，Y）的联合分布列。 解 P(X 1,Y 1)  P(X 1)P(Y 1/ X 1) 4 1 1 4 1    P(X  2,Y 1)  P(X  2)P(Y 1/ X  2) 8 1 2 1 4 1    Y X 1 2 3 4 1 4 1 0 0 0 2 8 1 0 0 3 0 4 四、二维 C.R.V.的联合分布    x y F(x, y) f (u,v)dudv -∞<x , y<+∞ 称 f(x,y)为(x,y)的联合密度函数。 1. x y F x y f x y     ( , ) ( , ) 2 对 f(x,y)的连续点成立； 2. P(a  X  b,c  Y  d)    b a d c f (x, y)dxdy 一般 P{(X,Y) D}   D f (x, y)dxdy

3. f(x,y)≥0: f(x,y)dxdy=1例3（Pz4例3.2）设随机变量(X，Y)的联合密度函数为Ax, 0<x<l, 0<y<xf(x,y) =其他0,求（1) 常数 A;（2)P(X>)；（3)P(Y<);（4)P(X<,Y<)：(5)P(X = Y) .Axdy Jd解(1) 1=[个1f4xdx=1A= A=3(2) P(X >)1=P(X >,Y <+00)='tf'3xdy]d =1-() = 3764T101x(3) P(Y <)11= P(X <+0, Y <) = f,[f"3xdx]dy = ["(1- y2)dy =号-116(4) P(X<1,Y<1)=f'tf,3xdbjldt=64(5) P(X =Y)=(6) P(X+Y <1) = J,tf""3xdx]dy1

3. f (x, y)  0 ； ( , ) 1       f x y dxdy 例 3（P74例 3.2）设随机变量(X , Y)的联合密度函数为         0, 其他 , 0 1, 0 ( , ) Ax x y x f x y 求（1）常数 A；（2） ( ) 4 3 P X  ；（3） ( ) 2 1 P Y  ；（4） ( , ) 2 1 4 1 P X  Y  ；（5） P(X  Y) 。 解（1）    1 0 0 1 [ ] x Axdy dx   1 0 2 Ax dx 3 A 1   A  3 （2） ( ) 4 3 P X  ( , ) 4 3  P X  Y      1 0 4 3 [ 3 ] x xdy dx 64 37 1 ( ) 3 4 3    （3） ( ) 2 1 P Y  ( , ) 2 1  P X   Y     2 1 0 1 [ 3 ] y xdx dy    2 1 0 2 2 3 (1 y )dy 16 11 16 1 4 3    （4） ( , ) 2 1 4 1 P X  Y     4 1 0 0 [ 3 ] x xdy dx 64 1  （5） P(X  Y) = （6） P(X Y 1)     2 1 0 1 [ 3 ] y y xdx dy y 0 4 1 x 3 2 1 4 1 y 2 1 2 1

3(1-2y)dby=—-号= 8→114主01xL二维均匀分布C,(x,y)eGf(x,y)=10,其他y其中C=2GKx二维正态分布

   210 23 ( 1 2 y )dy 83 83 43    二维均匀分布    0, 其他 , ( , ) ( , ) C x y G f x y 其中 C = ? 二维正态分布 0 4 1 x 3 21 41 x y z G