若=b为f(z)的单极点，则f(a)在=b邻域内的罗朗展开式为： fa-a(e-=a6ta+ae-+ae-j+ 两边同乘以zb,得： (z-b)f(z)=a1+a(-b)+41(z-b)2+2(z-b)3+. 令z→b,得：Resf(b)=a1=liml(z-b)f(z小. zb 写成：Resf(b)=(z-b)f(z川=b 11
1111 若z=b为f (z)的单极点，则f (z)在z=b邻域内的罗朗展开式为： 2 1 0 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k f z a z b a a a z b a z b z b − = − = − = + + − + − + − 两边同乘以z-b，得： 2 3 1 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . z b f z a a z b a z b a z b − = + − + − + − + − 令z→b，得： Res ( ) lim[( ) ( )]. 1 z b f b a z b f z − → = = − 写成： Res ( ) [( ) ( )] . z b f b z b f z = = −
若行b是f④的单极点，f@)为有理分式，= P(z) 2(z) ,Pa)在 =b解析，且P(b)≠0，而z=b是2(z)的一阶零点，即0(a=0, ()≠0，那么： Resf(b)=lim- P2,或Re6=P :2(z) (z) 【证】Resf(b)=lim(z-b)f(z川=lim (z-b)P(z) 2→ 2(z) 洛必达法则：Resf(b)=im P(z)+(z-b)P(z) =lim P(z) z→b 2(z) →b2'(z) 若z=b为f(z)的阶极点，则在z=b邻域内的罗朗展开式为： f(z)=a_m(亿-b)m+a-m-)(z-b)m-+.+ a1(2-b)+a+41(z-b)+42(z-b)2+.(0z-bkR)
1212 若z=b是f (z)的单极点，f (z)为有理分式， ，P(z)在 ( ) ( ) ( ) P z f z Q z = z=b解析，且P (b)0，而z=b是Q(z)的一阶零点，即 ，那么: ( ) 0, z b Q z = = ' ( ) 0 z b Q z = ' ' ( ) ( ) Res ( ) lim , Res ( ) ( ) ( ) z b z b P z P z f b f b → Q z Q z = = = 或 【证】 ( ) ( ) Res ( ) lim[( ) ( )] lim . ( ) z b z b z b P z f b z b f z → → Q z − = − = 0 0 型 洛必达法则： ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) Res ( ) lim lim ( ) ( ) z b z b P z z b P z P z f b → → Q z Q z + − = = 若z=b为f (z)的m阶极点，则在z=b邻域内的罗朗展开式为： ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) m m m m f z a z b a z b − − − = − + − + + − − − 1 2 1 0 1 2 a z b a a z b a z b ( ) ( ) ( ) − − − + + − + − + (0 | | ) − z b R
上式两边同乘于(z-b)”m得： (z-b)"f(z)=am+am-)(亿-b)+.+a1(z-b)m-+a(z-b)” +a1(-b)m+1+,(z-b)m+2+. 两边对z求导m-1次，令z→b,则： dm-1 ik-z-)f2川=(m-1):a1 Resf(b)=a_= lim (m-1)!→km- (z-b)”f(a】 阶极点的留数的计算公式 13
1313 上式两边同乘于(z-b) m得： 1 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m m z b f z a a z b a z b a z b − − = + − + + − + − − − − − 1 2 1 2 ( ) ( ) m m a z b a z b + + + − + − + 两边对z求导m-1次，令z→b，则： 1 1 1 lim [( ) ( )] ( 1)! m m m z b d z b f z m a dz − − − → − = − 1 1 1 1 Res ( ) lim [( ) ( )] ( 1)! m m m z b d f b a z b f z m dz − − → − = = − − m阶极点的留数的计算公式
例1、求f()= z3(z-2i) 在各奇点上的留数. 解：z=0是fz)的三阶极点，则： 1 1 -10(-2)i 2-0(z-2i)3 8 =2i是f()的单极点，则： Res (2i)(-2i)()8 1 i 1 也可把f(z)写成：fz)= P(z)23 2(z)z-2i 1 P(a 3 lim i Res f(2i)=lim 2i0(2) →2i1 8
1414 例1、求 3 在各奇点上的留数. 1 ( ) ( 2 ) f z z z i = − 解：z=0是f (z)的三阶极点，则: 2 3 2 3 3 0 1 1 1 ( 1)( 2) Res (0) lim [ ] lim . 2! 2 8 ( 2 ) ( 2 ) z b z d i f z → → dz z z i z i − − = = = − − − z=2i是f (z)的单极点 ,则： 3 2 1 Res (2 ) lim[( 2 ) ] z i ( 2 ) 8 i f i z i → z z i = − = − 也可把f (z)写成 : 3 1 ( ) ( ) ( ) 2 P z z f z Q z z i = = − 3 ' 2 2 1 ( ) Res (2 ) lim lim z i z i ( ) 1 8 P z i z f i → → Q z = = =
=o是f()的可去奇点，应用留数和定理，得： Res f(oo)=-Resf(0)+Resf(2i)]=0 也可把f(a)在=oo的邻域展成罗朗级数： (2<zK∞) 显然上式中zl项的系数a1=0,故Rsf(oo)=-a1=0 例2、求fa)= 在各奇点上的留数. sinz 【解】=kπ（k=0,1,2,.)是f()的单极点 f(z)= P3=1 其中P(a)=l,Q(z)=sinz,则： 2(z) sinz 1 Resf(kπ)=lim =1im=(-1)* (k=0,±1，±2，. →kr(sinz） z→kπC0SZ 5
1515 z=是f (z)的可去奇点，应用留数和定理，得： Res ( ) [Res (0) Res (2 )] 0 f f f i = − + = 也可把f(z)在z=的邻域展成罗朗级数: 3 4 4 4 0 0 1 1 1 1 1 2 (2 ) ( ) ( ) 2 2 1 k k k k k i i f z z z z z z i z i z + = = = = = = − − (2 | | ) z 显然上式中z -1项的系数a-1=0，故 Res ( ) 0 1 f a = − = − 例2、求 在各奇点上的留数. 1 ( ) sin f z z = 【解】 z=k（ k = 0, 1, 2, ）是f (z)的单极点 ( ) 1 ( ) ( ) sin P z f z Q z z = = 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则: ' 1 1 Res ( ) lim lim ( 1) (sin ) cos k z k z k f k z z → → = = = − (k = 0, 1, 2, )