第五章拉普拉斯变换 >Laplace变换（简称拉氏变换）是常用的 一种积分变换。在数学、物理及工程科学 中有广泛的应用. >本章介绍Laplace变换的定义及其基本性 质，以及它的简单应用
11 第五章 拉普拉斯变换 ➢ Laplace变换（简称拉氏变换）是常用的 一种积分变换. 在数学、物理及工程科学 中有广泛的应用. ➢ 本章介绍Laplace变换的定义及其基本性 质，以及它的简单应用
§5.1拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换是一种积分变换，它把f)变换为F(p) F(p)=∫emf)t 这里是实数，p是复数，p=S+io,Fp)称为f)的 Laplace换式，ept是Laplace变换的核。 通常把Laplace变换简写为： F(p)=L{f()} 或F(p)=f(t) 拉氏变换把实变量空间 转换到复变量p的空间 f(t)={F(p)}或f()=F(p) f()和Fp)分别称为拉氏变换的原函数和象函数.靠 原函数的点在上方，靠象函数的点在下方
22 §5.1 拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换是一种积分变换，它把f(t)变换为 F (p). 0 ( ) ( ) pt F p e f t dt − = 这里t是实数，p是复数， ，F (p)称为f (t)的 Laplace换式， 是Laplace变换的核。 p s i = + pt e − 通常把Laplace变换简写为： f (t)和F (p)分别称为拉氏变换的原函数和象函数. 靠 原函数的点在上方，靠象函数的点在下方. . F p L f t ( ) = ( ) 或 F p( ) =. f t( ) . ( ) ( ) f t( ) =. F p( ) 1 f t L F p − = 或 拉氏变换把实变量t空间 转换到复变量p的空间
注意：对许多实际问题，一般只研究≥0情形，因此约定： f0=0 例1、函数f)=1的Laplace换式为： 【解】=小e=-e=方 Rep>0 D 其中条件Rp>0是为了保证积分收敛，或者说是 Laplace?变换存在的条件， 例2、函数f(t)=em的拉氏换式为： 【解】 De]=d=ed -e-(p-ar6= Rep>Rea p- D-a
33 注意：对许多实际问题，一般只研究t 0情形，因此约定： ( ) 0, ( ) 0 0, f t t f t t = 例1、函数f(t)=1的Laplace换式为： 其中条件 是为了保证积分收敛，或者说是 Laplace变换存在的条件. Re 0 p 0 0 1 1 1 , Re 0 pt pt L e dt e p p p − − = = − = 【解】 例2、函数 f t e ( ) = t 的拉氏换式为： 【解】 ( ) 0 0 ( ) 0 [ ] 1 1 | , Re Re t t pt p t p t L e e e dt e dt e p p p − − − − − = = = − = − −
这里的限制Rep>Rea也是为了保证积分收敛，即Laplace 变换存在的条件. 从例1、例2可以看出，由于Laplace变换的核是ept,所以对 于相当广泛的函数拉氏换式都存在；甚至当t→o时，f)的 拉氏换式也可能存在.这就是为什么要乘上的缘故. Laplace变换存在的条件，也就是e"f)t收敛的条件： ①f()在区间0≤t<∞中除了第一类间断点（在断点处左右 极限都存在)外都是连续的，而且有连续导数，在任何有 限区间中这种间断点的数目都是有限的 ② f(①)有有限的增长指数，即存在正数M>0和s>0,使对 于任何值（实际上，只要对于足够大的t值)If()KM 这是Laplace变换存在的充要条件.在很多情况下，该条 件都能满足
44 这里的限制 也是为了保证积分收敛，即Laplace 变换存在的条件. Re Re p 从例1、例2可以看出，由于Laplace变换的核是e -pt，所以对 于相当广泛的函数拉氏换式都存在；甚至当t→时，f(t)的 拉氏换式也可能存在. 这就是为什么要乘上的缘故. Laplace变换存在的条件，也就是 收敛的条件: 0 ( ) pt e f t dt − ① f (t)在区间0 t 中除了第一类间断点（在断点处左右 极限都存在)外都是连续的，而且有连续导数，在任何有 限区间中这种间断点的数目都是有限的 ② f (t)有有限的增长指数，即存在正数M >0和s >0，使对 于任何t值（实际上，只要对于足够大的t值） | ( ) | st f t Me 这是Laplace变换存在的充要条件. 在很多情况下，该条 件都能满足
如果存在的话，它一定不是唯一的，因为比s大的任何 正数也符合要求，s的下界称为收敛横标，记为5 常用函数的拉氏变换： (Rep>0) 4l-e"h=- D J e () -eca- (Rep>0) 1+1
55 如果s存在的话，它一定不是唯一的，因为比s大的任何 正数也符合要求，s的下界称为收敛横标，记为so . 常用函数的拉氏变换: ( ) 0 0 1 1 [1] , Re 0 pt pt L e dt e p p p − − = = − = ( ) 2 0 0 0 0 1 1 1 1 [ ] , Re 0 pt pt pt pt L t te dt tde te e dt p p p p p − − − − = = − = − + = 2 2 2 2 3 0 0 0 0 1 1 2 2! [ ] pt pt pt pt L t t e dt t de t e te dt p p p p − − − − = = − = − + = . (Re 0 p ) 1 ! [ ] n n n L t p + =