第十章线性常微分方程的级数解法 我们常常会遇到这样的二阶线性常微分方程： y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0p(x),q(x)一方程系数 级数解法：把方程的解表为待定系数的级数，代入方程确定系数。 p(x),q(x)→p(3),9(z) 若zo点是p(小、q()的常点（解析点），解可表成泰勒级数： -2.(x-广 若zo点是p(、q(的奇点，解可表成罗朗级数： 10.1常点邻域的级数解法 例1、在xp=0邻域上求解y+y=0. 解：p(x)=0,(x)=1,x=0(z=0)是方程的解析点
1 第十章 线性常微分方程的级数解法 我们常常会遇到这样的二阶线性常微分方程： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) " ' y x p x y x q x y x + + = 0 p x q x ( ), ( ) ——方程系数 级数解法：把方程的解表为待定系数的级数，代入方程确定系数。 p x q x p z q z ( ), , ( ) → ( ) ( ) 若z0点是p (z)、q (z)的常点（解析点），解可表成泰勒级数： ( ) ( ) 0 k k o k y x c x x = = − 若z0点是p (z)、q (z)的奇点，解可表成罗朗级数： §10.1 常点邻域的级数解法 例1、在x0 = 0邻域上求解 " y y + = 0. 解：p x q x x z ( ) = = = = 0, 1, 0 0 ( ) ( ) 是方程的解析点
()-2x 带入方程，得： 2-e+2cr=言46-0e+2x 20+20+4+2r=0 2[(k+2k+c+c]x=0 系数递推公式 (k+2(k+1)c+2+C=0 Ck+2 (k+2)(k+1) 实际上，我们只要比较某一幂次项（例如项）的系数，即 可得到系数递推公式，对y(x)求导二次，用ck+2x+2代入求导 后幂次仍为k,对y(x)则用cx代入，则： (k+2)0k+)+c=0→c*=k+20k+)9
2 ( ) 0 k k k y x c x = = 带入方程，得： ( ) 2 0 0 1 0, k k k k k k k k c x c x − = = − + = ( ) 2 2 0 1 0, k k k k k k k k c x c x − = = − + = ( )( ) 2 0 0 2 1 0, k k k k k k k k c x c x + = = + + + = ( )( ) 2 0 2 1 0, k k k k k k c c x + = + + + = ( )( ) 2 2 1 0 k k k k c c + + + = + ( )( ) 2 1 2 1 k k c c k k + = − + + 系数递推公式 实际上，我们只要比较某一幂次项（例如x k项）的系数，即 可得到系数递推公式，对y ’’(x)求导二次，用ck+2x k+2代入求导 后幂次仍为k，对y (x)则用ckx k代入，则： ( )( ) 2 2 1 0 k k k k c c + + + = + ( )( ) 2 1 2 1 k k c c k k + = − + +
C2= 2.1 0= 2,0=43=(-） C3= 3.2 C1= 7:6=( 709, 可从方程中直接求出 Co cosx+c sinx
3 2 0 0 1 1 , 2 1 2! c c c = − = − ( ) 2 4 2 0 1 1 , 4 3 4! c c c = − = − ( ) 3 6 4 0 1 1 , 6 5 6! c c c = − = − ( ) ( ) 2 0 1 , 2 ! k k c c k = − 3 1 1 1 1 , 3 2 3! c c c = − = − ( ) 2 5 3 1 1 1 , 5 4 5! c c c = − = − ( ) 3 7 5 1 1 1 , 7 6 7! c c c = − = − ( ) ( ) 2 1 1 1 , 2 1 ! k k c c k + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 2 ! 2 1 ! k k k k k k y x c x c x k k + = = − − = + + 0 1 = + c x c x cos sin 可从方程中直接求出
例2、在xo=0邻域上求解y”-2y(x)+6y(x)=0. 解：p(x)=-2x,(x)=6,x=0为方程的常点. 2 比较x项的系数： 2(k-3) k+2k+105n-2c,+6c,=0c-k+20k+可 2! -g-。-站a3 4.3 4 6! =er2gse到 (2k)I
4 例2、在x0 = 0邻域上求解 ( ) ( ) " ' y xy x y x − + = 2 6 0. 解： p x x q x ( ) = − = 2 , 6, ( ) x = 0为方程的常点. ( ) 0 k k k y x c x = = 比较x k项的系数： ( )( ) 2 2 1 2 6 0 k k k k k c kc c + + − + = + ( ) ( )( ) 2 2 3 2 1 k k k c c k k + − = + + ( ) ( ) 200 2 3 2 3 , 2 1 2! c c c − − = = ( ) ( )( ) 2 4 0 0 2 1 2 3 1 , 4 3 4! c c c − − − = = ( ) 3 ( )( ) 6 4 0 2 1 3 1 1 2 , 6 5 6! c c c − − = = ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 0 3 1 1 3 2 5 2 , 2 ! k k k c c k − − + = (k 1)
2(-2)。2 C3= 2(k-3) 32 C1=- 3 en(k+2)0k+0 C5=0,→C7=Cg=C1=.=0 )=6+2+23。+23-1+ 2! 41 6 (2k)1 例3、在x。=0邻域上求勒让德方程的解 勒让德方程(1-x)y(x)-2y()+2y(x)=0.为常数 解，p-):子x=0为方程的解折点 y(x)=∑cx 比较x*项的系数：(k+2(k+)cx+2-k(k-1)c-2kc,+Cx=0
5 ( ) ( )( ) 2 2 3 2 1 k k k c c k k + − = + + ( ) 3 1 1 2 2 2 , 3 2 3 c c c − = = − 5 c = 0, 7 9 11 c c c = = = = 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 6 0 4 2 3 2 3 1 2 3 1 1 [1 2! 4! 6! y x c x c x − − − − − = + + + + ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 3 1 3 1 1 3 2 5 2 2 ] 2 ! 3 k k k x c x x k − − + + + + − 例3、在x0= 0邻域上求勒让德方程的解. 勒让德方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 " ' 1 2 0. − − + = x y x xy x y x 为常数 解： ( ) ( ) 2 2 2 , , 1 1 x p x q x x x = − = − − x = 0 为方程的解析点. ( ) 0 k k k y x c x = = 比较x k项的系数：( )( ) ( ) 2 2 1 1 2 0, k k k k k k c k k c kc c + + − − − + = +