第七章数学物理方程的定解问题 §7.1引言 质点力学研究质点的位移u如何随时间变化，电路问题研究 电流或电压U如何随时间t变化。研究物理量随时间变化往往 导致以时间为自变量的常微分方程。 在科技和生产中还常常要求研究空间连续分布的各种物理场 的状态和物理过程.例如，研究电磁波的电场强度和磁感应强 度在空间和时间中的分布。 研究某个物理量（电场强度、电势、磁感应强度、声压、杂 质浓度)在空间的某个区域的分布情况，以及它如何随时间 而变化，这些问题中的自变量不仅仅是时间，而且还有空间 坐标-偏微分方程
1 第七章 数学物理方程的定解问题 §7.1 引言 质点力学研究质点的位移u如何随时间t变化，电路问题研究 电流I或电压U如何随时间t变化。研究物理量随时间变化往往 导致以时间为自变量的常微分方程。 在科技和生产中还常常要求研究空间连续分布的各种物理场 的状态和物理过程. 例如,研究电磁波的电场强度和磁感应强 度在空间和时间中的分布. 研究某个物理量（电场强度、电势、磁感应强度、声压、杂 质浓度）在空间的某个区域的分布情况，以及它如何随时间 而变化，这些问题中的自变量不仅仅是时间，而且还有空间 坐标 -偏微分方程
边界条件：在研究具体问题时，往往必须考虑所研究的区域 的边界处在怎样的情况下，或者说，必须考虑到研究对象处 手怎样的“环境”中，周围“环境”的影响总是通过边界才 传给对象，周围“环境”的影响体现于边界的物理状况，即 边界条件。 例如：在半导体扩散工艺中有“恒定表面浓度扩散”和“限 定源扩散”。前者是用携带着充足杂质的氮气包围硅片，使 杂质源源不断地通过硅片表面向硅片内部扩散，而硅片表面 的杂质浓度保持一定。后者是只让硅片表层已有的杂质向硅 片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片表面进入硅片。在这 两种情况下，虽然有相同的杂质扩散规律，但由于硅片表面 状况不同，其扩散的结果是不同的。可见边界条件很重要
2 例如：在半导体扩散工艺中有“恒定表面浓度扩散”和“限 定源扩散”。前者是用携带着充足杂质的氮气包围硅片，使 杂质源源不断地通过硅片表面向硅片内部扩散，而硅片表面 的杂质浓度保持一定。后者是只让硅片表层已有的杂质向硅 片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片表面进入硅片。在这 两种情况下，虽然有相同的杂质扩散规律，但由于硅片表面 状况不同，其扩散的结果是不同的。可见边界条件很重要。 边界条件：在研究具体问题时，往往必须考虑所研究的区域 的边界处在怎样的情况下，或者说，必须考虑到研究对象处 于怎样的“环境”中，周围“环境”的影响总是通过边界才 传给对象，周围“环境”的影响体现于边界的物理状况，即 边界条件
初始条件：为了解随着时间而发展变化的问题，还必须 考虑研究对象的“历史”。即它在“初始”时刻的状态 例如，弦乐器中弦的振动问题同样的弦，在薄刀背敲击 下发出的声音比较刺耳，而在宽锤敲击下发出的声音比 较和谐。虽然这两根弦的振动是按照同样的规律进行的 但是由于“历史”不同，即“初始条件”不同，振动 情况就不相同的。 半导体杂质的扩散也是“历史”问题：原来的杂质浓度 分布不同，在同一工艺条件下，扩散结果也不相同
3 初始条件：为了解随着时间而发展变化的问题，还必须 考虑研究对象的“历史”。即它在“初始”时刻的状态 。 例如,弦乐器中弦的振动问题.同样的弦，在薄刀背敲击 下发出的声音比较刺耳，而在宽锤敲击下发出的声音比 较和谐。虽然这两根弦的振动是按照同样的规律进行的 ，但是由于“历史”不同，即“初始条件”不同，振动 情况就不相同的。 半导体杂质的扩散也是“历史”问题：原来的杂质浓度 分布不同，在同一工艺条件下，扩散结果也不相同
完整问题的提出：在给定的边界条件和初始条件下， 根据已知的物理规律，解算某个物理量在给定的区 域内随着空间位置（化，）和时间如何变化，即解算函 数u(化，y,): 数学上，边界条件和初始条件合称定解条件，数学物 理方程本身（不含定解条件）称为泛定方程。定解条 件提出具体问题，泛定方程提供解决问题的依据，作 为一个整体称为定解问题
4 完整问题的提出：在给定的边界条件和初始条件下， 根据已知的物理规律，解算某个物理量u在给定的区 域内随着空间位置(x, y, z)和时间t如何变化，即解算函 数u (x, y, z, t). 数学上，边界条件和初始条件合称定解条件，数学物 理方程本身（不含定解条件）称为泛定方程。定解条 件提出具体问题，泛定方程提供解决问题的依据，作 为一个整体称为定解问题
几种类型方程 1、波动方程（弦的自由横振动、杆的自由纵振动方程） 2∂2u =0,其中u=u(x,t) 推广到三维： O"u 22 =0,其中u=(x,z,t） 是描述振动（或波动）过程的偏微分方程，它很好地 描述了各向同性的弹性体中的振动、声波或电磁波的 传播等的过程
5 几种类型方程 1、波动方程 (弦的自由横振动、杆的自由纵振动方程） 2 2 2 2 2 0, u u a t x − = 其中 u u x t = ( , ) 推广到三维： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0, u u u u a t x y z − + + = 其中 u u x y z t = ( , , , ) 是描述振动（或波动）过程的偏微分方程，它很好地 描述了各向同性的弹性体中的振动、声波或电磁波的 传播等的过程