【证】以各奇点为圆心，以有限小的 半径作圆，把各奇点挖掉，挖掉各奇 点的区域为复连通区域，f(z)在该复连 通区域内解析，根据复通区域的科希 定理： 季e恤-季阳达+季e++fa =2πiResf(b)+2 ni Resf(b,)+.2πiResf(bm) =2πi∑Resf(b) k= 即f(z)沿闭曲线逆时针方向积分之值，等于f(z)在所包围 的区域内各奇点的留数之和乘于2π
66 【证】 以各奇点为圆心，以有限小的 半径作圆，把各奇点挖掉，挖掉各奇 点的区域为复连通区域，f(z)在该复连 通区域内解析，根据复通区域的科希 定理： 1 b 2 b k b m b l 1 l 2 l k l m l 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) l l l lm f z dz f z dz f z dz f z dz = + + + 1 2 2 Res ( ) 2 Res ( ) 2 Res ( ) m = + + i f b i f b i f b 1 2 Res ( ) m k k i f b = = 即f (z)沿闭曲线l逆时针方向积分之值，等于f (z)在l所包围 的区域内各奇点的留数之和乘于2i
三、无限远点为孤立奇点时的留数 仿照有限远奇点上的留数的定义， 可定义无限远点上的留数： Ref))=2元i∮，fad (1为z=∞邻域内任一沿正向绕 =∞的简单闭曲线)，注意绕的 闭曲线的正方向应是顺时针方 向，如图. 在=∞邻域内的罗朗展开式为： )(r:k) 两边沿顺时针方向积分 ∮fe恤=】 a,ft=-立ak=2i
77 三、无限远点为孤立奇点时的留数 o x y l 仿照有限远奇点上的留数的定义， 可定义无限远点上的留数： 1 Res ( ) ( ) 2 l f f z dz i = （l为z=邻域内任一沿正向绕 z=的简单闭曲线），注意绕的 闭曲线的正方向应是顺时针方 向，如图. 在z=邻域内的罗朗展开式为: ( ) , | | ( ) k k k f z a z r z =− = 两边沿顺时针方向积分 1 ( ) 2 k k k k l l l k k f z dz a z dz a z dz a i − =− =− = = − = −
因此f(z)在=o的留数为f(z)在=oo邻域内的罗朗展开式 中z项的系数的a相反数，即 Resf(co)=-a_1 若f(z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项，f()在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时，f()在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Resf(o)一般不为零. 四、推论 若函数f()在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f(a)在各奇点（包括无限远点)上的留数和为零.此 定理称为留数和定理
88 因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z -1项的系数的a-1相反数，即 Res ( ) 1 f a = − − 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时，f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零. 四、推论 若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理
【证】 设闭曲线把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则： ∮，f(z)k=2πi∑Res/(b:) 无限远点的留数为：∮，f(z)k=2πiResf(o) ·b2 b 两式相加，得： ∮，fzk+∮fz)k=2πi∑Res(b:)+Resf(o川 因此 Res()Rev() 若f()在某一奇点上留数不好求，可以先计算其他各点的留 数，再用留数和定理求出该点的留数
99 【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则： m k=1 ( ) 2 Res ( ) k l f z dz i f b = 无限远点的留数为： ( ) 2 Res ( ) l f z dz i f = 两式相加，得： m k=1 ( ) ( ) 2 [ Res ( ) Res ( )] k l l f z dz f z dz i f b f + = + m k=1 Res ( ) Res ( ) 0 k 因此 f b f + = 1 b 2 b 3 b m b l 若f (z)在某一奇点上留数不好求，可以先计算其他各点的留 数，再用留数和定理求出该点的留数
§4.2留数的计算方法 f(亿)在奇点上的留数可根据留数的定义，将函数fz)在奇 点=b邻域内展成罗朗级数： Resf(b)=a_ 41为该罗朗展开式中(ab)项的系数. 如果要求在f(z)无限远点上的留数，可将f(z)在邻域内展 成罗朗级数， Res f(oo)=-a_ 1为该罗朗展开式中z项的系数. 从一般原则来说，只要在以奇点为圆心的圆环域上把函数 展开为罗朗级数，取它的负一次幂项目系数就行了，但如 果能不作罗朗展开而直接算出留数，计算工作量将减轻不 少。在应用留数定理计算回路积分时，往往会遇到在极点 上留数的计算. 10
1010 §4.2 留数的计算方法 f (z)在奇点上的留数可根据留数的定义，将函数f(z)在奇 点z=b邻域内展成罗朗级数: Res ( ) 1 f b a = − a-1为该罗朗展开式中(z-b) -1项的系数. 如果要求在f(z)无限远点上的留数，可将f (z)在邻域内展 成罗朗级数， Res ( ) 1 f a = − − a-1为该罗朗展开式中z -1项的系数. 从一般原则来说，只要在以奇点为圆心的圆环域上把函数 展开为罗朗级数，取它的负一次幂项目系数就行了，但如 果能不作罗朗展开而直接算出留数，计算工作量将减轻不 少。在应用留数定理计算回路积分时，往往会遇到在极点 上留数的计算