第六章 傅立叶展开 在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动. 为了描述周期性的运动方程，数学上是借助某类 函数来描述的.当然这类函数也要体现出周期性， 这类函数称为周期函数， 那么，对于周期函数应采取怎样的分析表示法呢 ?就是本章要讨论的内容
11 第六章 傅立叶展开 在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动. 为了描述周期性的运动方程,数学上是借助某类 函数来描述的.当然这类函数也要体现出周期性. 这类函数称为周期函数. 那么,对于周期函数应采取怎样的分析表示法呢 ?就是本章要讨论的内容
傅立叶展开是一种数学工具，是工程数学中的积分 变换.(1)可作频谱分析，模拟各种声音；(2)数理方程 的解往往不能用初等函数表示，多用傅立叶级数的 形式表示；(3)它可进行近似计算，例如计算π
22 傅立叶展开是一种数学工具,是工程数学中的积分 变换. (1)可作频谱分析,模拟各种声音; (2)数理方程 的解往往不能用初等函数表示,多用傅立叶级数的 形式表示; (3)它可进行近似计算,例如计算π
§6.1以2为周期的函数的傅立叶展开 若fx+20=fx),x∈(oo,o),则f)是以T=21为周期的周期 函数。 例如三角西数：om”xa=2)的周期均为4 （+20-=wf+2灯小-w n（(x+2刘=sn(7x+2s7x 我们自然联想到周期为2的函数能否展开为 cas7x咖7x(k=1,2) kπ kπ 的线性迭加
33 §6.1 以2l为周期的函数的傅立叶展开 若 f (x+2l)=f (x)，x(-,)，则f (x) 是以T=2l为周期的周期 函数。 cos , sin , 1,2,. ( ) k k x x k l l 例如三角函数： = 的周期均为2l. ( ) ( ) cos 2 cos 2 cos , sin 2 sin 2 sin , k k k x l x k x l l l k k k x l x k x l l l + = + = + = + = 我们自然联想到周期为2l的函数能否展开为 cos , sin , 1,2,. ( ) k k x x k l l = 的线性迭加
基本函数系（基本函数族）： kπ 2π x,sin x,.si kπ、 构成周期函数的基本函数系。 一因=a+停r4m努 展开的任务在于求系数ao、ak、bk 正交性： ∫1cos ∫1sin"=0 nπ 奇函数对称区 间积分为零
44 基本函数系（基本函数族）： 2 2 1,cos ,cos , cos , ,sin ,sin , sin , k k x x x x x x l l l l l l 构成周期函数的基本函数系。 ( ) 0 1 cos sin k k k k k f x a a x b x l l = = + + 展开的任务在于求系数a0、ak、bk . 正交性： 1 cos sin 0, 0 l l l l n l n xdx x n l n l − − = = 1 sin 0 l l n xdx l − = 奇函数对称区 间积分为零
∫1Pk=2弘，(n=0) m≠n 奇函数对称区 间积分为零 s=1+ws2T =(+m (m=0)
55 ( ) 2 1 2 , 0 l l dx l n − = = 1 ( ) ( ) cos cos cos cos 2 l l l l m n m n m n x xdx x x dx l l l l − − − + = + ( ) ( ) ( ) 1 ( ) sin sin 0 2 l l l l m n m n x x m n l m n l − − + = + = − + (m n ) cos sin 0 l l m n x xdx l l − = 奇函数对称区 间积分为零 2 1 2 cos 1 cos 2 l l l l n n xdx x dx l l − − = + 1 2 sin 2 2 l l l n x x l n l − = + = (m n = )