由于=oo不是f(z)的孤立奇点（是各奇点x=kπ当k→±o时 的极限点)，因此在=o的留数没有意义. 刚3、求)= e 在各奇点上的留数. 解：z=由是fe的单极点，a-,P@=e,Qe=-1 2(z)1 则：f0=即号 e e 或Resf0=liml(e-l)- Resf(-1)=lim e= 2→-12z 2 或R-=e+D 2 z=o是f()的本性奇点，根据留数和定理： Res/(@0)=-[Res(1)+Res(-1)]=-(e-9 )=-shl 22 16
1616 由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 时 的极限点），因此在z=的留数没有意义. k → 例3、求 在各奇点上的留数. 2 ( ) 1 z e f z z = − 1 1 Res ( 1) lim 2 2 z z e e f z − → − − = = − 1 2 1 Res ( 1) lim[( 1) ] 1 2 z z e e f z z − → − − = + = − − 或 则: 1 (1) lim 2 2 z z e e f → z = = 2 1 Res (1) lim[( 1) ] 1 2 z z e e f z → z = − = − 或 z=是f (z)的本性奇点，根据留数和定理: 1 Res ( ) [Res(1) Res( 1)] ( ) sh1 2 2 e e f − = − + − = − − = − 解： 是f (z)的单极点， 2 ( ) ( ) , ( ) , ( ) 1 ( ) P z z f z P z e Q z z Q z = = = − z =±1
例4、求积分：()9-；(2)手 2z-1. 解：（1)|z上r<1内有一单极点0，根据留数定理y 2z-1 dk=2πiResf0) 2z-1 =2πilim =2πi. z>0 z(z-1) (2)z-2内有两个单极点x=0和z1, 根据留数定理： 品 2z-1dz=2zilResf(0)+Resf(D)l 2z-1 =2πiflim[z· -+-8- ]}=2πi(1+1)=4πi 0 该结果于第二章中科希公式求出的结果相同，用留数 定理更加简单
1717 例4、求积分：（1） ；（2） . | | 1 2 1 ( 1) z r z dz z z = − − | | 2 2 1 ( 1) z z dz z z = − − 解：（1） | | 1 z r = 内有一单极点z=0，根据留数定理： | | 1 2 1 2 Res (0) ( 1) z r z dz i f z z = − = − x y o . . 1 2 （2）|z=|2内有两个单极点z=0和z=1， 0 1 2 1 2 1 2 {lim[ ] lim[( 1) ]} 2 (1 1) 4 ( 1) ( 1) z z z z i z z i i z z z z → → − − = + − = + = − − 该结果于第二章中科希公式求出的结果相同，用留数 定理更加简单. 0 2 1 2 lim[ ] 2 . ( 1) z z i z i z z → − = = − | | 2 2 1 2 [Res (0) Res (1)] ( 1) z z dz i f f z z = − = + − 根据留数定理: