第四章 留数定理及其应用
11 第四章 留数定理及其应用
§4.1留数留数定理 一、留数 根据单通区的科希定理，若f(z)在点x-b解析，为完全在 2-b<R内任意绕的简单闭合曲线，则： ∮，f恤=0 如果z=b是f(☑)的孤立奇点，为完全在z=b邻域0<z-b<R 内的任一绕的简单曲线，则： ∮nf(2)k≠0 留数定理将给处此积分的值， 若=b是函数f(z)的孤立奇点，则f(z)可在=b邻域内展成 罗朗级数： fa=2a,e-,0-bkR侧
22 §4.1 留数 留数定理 一、留数 ( ) 0 l f z dz = 如果z=b是f (z)的孤立奇点，l为完全在z=b邻域0<|z-b|<R 内的任一绕的简单曲线，则: 留数定理将给处此积分的值. 根据单通区的科希定理，若f(z)在点z=b解析，l为完全在 |z-b|<R内任意绕的简单闭合曲线，则: ( ) 0 l f z dz 若z=b是函数f (z)的孤立奇点，则f(z)可在z=b邻域内展成 罗朗级数: ( ) ( ) , (0 | | ) k k k f z a z b z b R =− = − −
设1为0<k-b<R内任一绕z=b的简单曲线，将上式两边沿逆 时针方向积分 ∮falk=a∮z-b血 根据第二章的讨论： k≠-1 9k=-1 ∮，f(z)=2mia1 定义：f(a在孤立奇点=b邻域内的罗朗展开式中(？-b)项的系 数叫做函数f②)在b的留数，记为： Ry6=ai∮dt=a (为邻域内任一沿正向绕的闭合曲线)
33 设l为0<|z-b|<R内任一绕z=b的简单曲线，将上式两边沿l逆 时针方向积分 b R l ( ) ( )k k l l k f z dz a z b dz =− = − 根据第二章的讨论： 0 1 ( ) 2 1 k l k z b dz i k − − = = − 1 ( ) 2 l f z dz ia = − 定义: f (z)在孤立奇点z=b邻域内的罗朗展开式中(z-b) -1项的系 数叫做函数f(z)在z=b的留数，记为: （为邻域内任一沿正向绕的闭合曲线） 1 1 Res ( ) ( ) 2 l f b f z dz a i = = −
1 例求函数f(z)= z3(z-2i) 在奇点z=0和z=2i上的留数. 解：f(z)把在=0邻域内展成罗朗级数 1111 f(z)= az-2i-2i 2i z3-2i0 (0<zk2) →Resf0)=a1=2i 8
44 例 求函数 3 在奇点z=0和z=2i上的留数. 1 ( ) ( 2 ) f z z z i = − 解：f (z)把在z=0邻域内展成罗朗级数 3 3 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 1 2 f z z z z i i z i = = − − − 3 3 1 0 0 1 1 ( ) 2 2 (2 ) k k k k k z z z i i i − + = = = = − − (0 | | 2) z 1 3 1 Res (0) (2 ) 8 i f a i = = − = − −
把f()在-2邻域内展成罗朗级数，由于3在=2解析，所 以可在展成泰勒级数。 f(z)= 111 2-2i2=z-2e,+c(-20+c,亿-202+l (0<z-2ik2) →Resf2)=a1=c%=3 。8 二、留数定理 设区域G的边界C为一分段光滑的简单闭合曲线.若除有限 个孤立奇点b,=1,2,3,.,外，函数在G内单值解析则： ∮fa)k=2π>Resf(b,)
55 把f (z)在z=2i邻域内展成罗朗级数，由于 在z=2i解析，所 以可在展成泰勒级数. 3 1 z 2 3 0 1 2 1 1 1 ( ) [ ( 2 ) ( 2 ) ] 2 2 f z c c z i c z i z i z i z = = + − + − + − − (0 | 2 | 2) − z i 1 0 3 2 1 Res (2 ) z i 8 i f i a c z − = = = = = 二、留数定理 设区域G的边界C为一分段光滑的简单闭合曲线. 若除有限 个孤立奇点bk，k=1,2,3,.,m外，函数在G内单值解析. 则： 1 ( ) 2 Res ( ) m k l k f z dz i f b = =