福州大学：《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第九章 傅立叶积分法

第九章 傅立叶积分法 有界空间 傅立叶级数 无界空间 傅立叶积分 §9.1无界弦的自由振动 un -a'uss =0, 4,=p(x),4l。=y(x) (-o<x<+o,t>0) 令：u(x,)=X(x)T()代入泛定方程 >X(x)T"(t)-ax"(x)T()=0= >X"+X=0;T”+a2T=0. 由于无界空间，没有边界条件，入为连续值.对分立值的求和 应该转变为连续参量的积分

1 第九章 傅立叶积分法 有界空间 傅立叶级数 无界空间 傅立叶积分 §9.1 无界弦的自由振动 ( ) ( ) 2 0 0 0, , . tt xx t t t u u u x u x    = =  − =   = =  (−   +  x t , 0) ( ) ( ) ( ) ( ) '' 2 '' X x T t X x T t − =  0 2 X T '' '' X  T = '' '' 2 X X T T + = + =   0; 0. 令：u x t X x T t ( , ) = ( ) ( ) 代入泛定方程 = -  由于无界空间，没有边界条件，为连续值. 对分立值的求和 应该转变为连续参量的积分

讨论： ①当入<0时，→X(x)=ceFx+c,ea: 由于Xm=有界，→G=c,=0,→排除入<0. ②当入=0时，>X(x)=Gx+G 由于Xkn=有界，→c=0,X=G T"=0,T=c3t+C4: →u=A,+B,t ③ 当x>0时， 令：2=02，X+元x=0→X+m2X=0 X(x)=ceiox+ce-io,(@>0) →X(x)=Ceox,（o可正可负) 由于没有边界，O不再限制只能是一些分立值（本征值） 可取任意的实数值

2 讨论： ① 当 < 0时， ② 当 ＝ 0时， ( ) 1 2 x x X x c e c e − − −   = + ( ) X x c x c = + 1 2 由于 X x→ = 有界 ， 1 2 c c = = 0, 排除 < 0. 由于 X x→ = 有界 ， 1 2 c X c = = 0, ; " T = 0, 3 4 T c t c = + . u A B t = +o o ③ 当 > 0时，   , 令： 2 = '' X X + =  0 '' 2 X X + =  0 ( ) ( ) 1 2 , 0 i x i x X x c e c e    − = +  ( ) , i x X x Ce  = （可正可负） 由于没有边界，不再限制只能是一些分立值（本征值）， 可取任意的实数值

T"+2a2T=0 →T"+o'a27=0→T(t)=Aec+Be-ia 分离变数形式的解：u(x,t,o)=A(o)e+a+B(o)e-a叫 一般解：a(,)=[4(o)e+B(o)ea 由初始条件，4，。=p(x,4,l。=(x) [A(@)+B(@)]emd@=p(x) [-ioa[A(@)-B(0)Jemdo=v(x) 将上面式子的右边也展开成傅立叶积分，比较系数，得： A(w)+B(w)-p(w) )-()+i() oy-oaao p(o),v(o)分别是p(x),v(x)傅立叶的变换式. 3

3 '' 2 0 T T + =  '' 2 2 0 T T + =   ( ) i t i t T t Ae Be   − = + 分离变数形式的解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , i x t i x t u x t A e B e        + − = + 一般解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , i x t i x t u x t A e B e d         + − − = +      由初始条件， ( ) ( ) 0 0 , t t t u x u x   = = = = ( ) ( ) ( ) i x A B e d x       −   + =    ( ) ( ) ( ) i x i A B e d x        −   − =    将上面式子的右边也展开成傅立叶积分，比较系数，得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 A B A B i           + =    − =      ( ), ( ) 分别是  ( x x ), ( ) 傅立叶的变换式. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , 2 2 1 1 1 . 2 2 A i B i                = +    = − 

(x)-()d.()-()do. ()(a)edo)v( ((a)e +oeaa-上高ojaa 延迟定理： ∫p(o)e+mdo=p(x+ai） 第一、三项 ∫p(o）et-do=p(x-ar） 令：g(x)=∫y(5)5=g(o)earo 傅立叶变换 g(x)=y(x)=[iog(o】emdo=∫y(o)ed@ →8o)-a(o) 4

4 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) , 2 2 i x t i x t u x t e d e d i               + + − − = +   ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 2 2 i x t i x t e d e d i               − − − − + −   延迟定理： ( ) ( ) ( ) i x t e d x t         + − = +  ( ) ( ) ( ) i x t e d x t         − − = −  第一、三项 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , . 2 i x i x x e d x e d              − − − = =   ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , . 2 i x i x x e d x e d              − − − = =   ( ) ( ) ( ) 0 x i x x g x d g e d        − = = 令：   ( ) ( ) ( ) ( ) ' i x i x g x x i g e d e d            − − = = =       傅立叶变换 ( ) ( ) 1 g i     =

() →」[ao小产e-v( →二(o)emae=y()s m(x02(c+n）+aJ”y()a5+2e(e-am）-2an w(5)d5 -(x+at)+(x-a)]+(5)d5 无界弦（杆）振动的达朗贝尔公式 5

5 ( ) ( ) ( ) i x i x 1 g x g e d e d i           − −   = =       ( ) ( ) 0 1 x i x x e d d i          −   =       ( ) ( ) ( ) 0 1 x t i x t x e d d i            + + − =   ( ) ( ) ( ) 0 1 x t i x t x e d d i            − − − =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 , 2 2 2 2 x t x t x x u x t x t d x t d               + − = + + + − −   ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x t x t x t x t d          +− = + + − +      无界弦（杆）振动的达朗贝尔公式