人教版新课标普通高中◎数学④必修 2.4平面向量的数量积 教案A 第1课时 教学目标 -、知识与技能 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 二、过程与方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识. 三、情慼、态度与价值观 通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养 学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力. 教学重点、难点 教学重点:平面向量数量积的定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学关键:平面向量数量积的定义的理解. 教学方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识. 学习方法 通过类比物理中功的定义,来推导数量积的运算 教学准备 教师准备:多媒体、尺规 学生准备:练习本、尺规 教学过程 创设情境,导入新课 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那 么力F所做的功W可由下式计算: W=I FIIs cose 其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量) 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念 二、主题探究,合作交流 提出问题
人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 1 2.4 平面向量的数量积 教案 A 第 1 课时 教学目标 一、知识与技能 1．掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 二、过程与方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 三、情感、态度与价值观 通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养 学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力． 教学重点、难点 教学重点：平面向量数量积的定义． 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用. 教学关键：平面向量数量积的定义的理解． 教学方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 学习方法 通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算． 教学准备 教师准备: 多媒体、尺规. 学生准备: 练习本、尺规. 教学过程 一、创设情境，导入新课 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那 么力 F 所做的功 W 可由下式计算： W=| F | | s| cosθ， 其中 θ 是 F 与 s 的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量）． 故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念． 二、主题探究，合作交流 提出问题
教师备课系统—一多媒体教案 ①ab的运算结果是向量还是数量?它的名称是什么? ②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的 乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律? 师生活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量叫|bos叫做a与b的数量积(或 内积),记作ab,即 b=d| boost0(0≤0≤π) 其中θ是a与b的夹角, dcose(| boost)叫做向量a在b方向上(b在a方向上) 的投影 在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意 (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向 量夹角的余弦的乘积 (2)零向量与任一向量的数量积为0,即a0=0 (3)符号“”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替 (4)当0≤0<时cos>0,从而ab>0;当<0≤π时,cos0<0,从而ab<0.与学 生共同探究并证明数量积的运算律 已知a、b、c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①abba(交换律) ②(Ma)b=λ(ab)=a(λb)(数乘结合律 ③(a+b)cac+bc(分配律) 特别是:(1)当a≠0时,由ab=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂 直的非零向量b,都有ab=0 注意:已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc→a=c.但对向量的数量积,该推理不 正确,即ab=bc不能推出a=c.由上图很容易看出,虽然abbc,但arc 对于实数a、b、c有(ab)c=a(bc);但对于向量a、b、c,(ab)c=a(bc)不 成立.这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向 量,而c与a不一定共线,所以(ab)ca(bc)不成立 提出问题 ①如何理解向量的投影与数量积?它们与向量之间有什么关系? ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗? 师生活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向 量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结, 提出注意点“投影”的概念,如下图
教师备课系统──多媒体教案 2 ①a·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？ ②由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的 乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？ 师生活动:已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积（或 内积），记作 a·b，即 a·b=|a||b|cosθ（0≤θ≤π）． 其中 θ 是 a 与 b 的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量 a 在 b 方向上（b 在 a 方向上） 的投影． 在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意: （1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向 量夹角的余弦的乘积； （2）零向量与任一向量的数量积为 0，即 a·0=0； （3）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替； （4）当 0≤θ< 2 时 cosθ>0，从而 a·b>0；当 2 <θ≤π 时，cosθ<0，从而 a·b<0．与学 生共同探究并证明数量积的运算律． 已知 a、b、c 和实数 λ，则向量的数量积满足下列运算律: ①a·b=b·a（交换律）； ②（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）（数乘结合律）； ③（a+b）·c=a·c+b·c（分配律）． 特别是:（1）当 a≠0 时，由 a·b=0 不能推出 b 一定是零向量．这是因为任一与 a 垂 直的非零向量 b，都有 a·b=0． 注意：已知实数 a、b、c（b≠0），则 ab=bc a=c．但对向量的数量积，该推理不 正确，即 a·b=b·c 不能推出 a=c．由上图很容易看出，虽然 a·b=b·c，但 a≠c． 对于实数 a、b、c 有（a·b）c=a（b·c）；但对于向量 a、b、c，（a·b）c=a（b·c）不 成立．这是因为（a·b）c 表示一个与 c 共线的向量，而 a（b·c）表示一个与 a 共线的向 量，而 c 与 a 不一定共线，所以（a·b）c=a（b·c）不成立． 提出问题 ①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？ 师生活动:教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向 量的数量积的定义，从数与形两个角度进行探索研究．教师给出图形并作结论性的总结， 提出注意点“投影”的概念，如下图．
人教版新课标普通高中◎数学④必修 4 A 定义:{bco0叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考 A.投影也是一个数量,不是向量 B.当O为锐角时投影为正值:当θ为钝角时投影为负值:当为直角时投影为0 当0=0°时投影为|b;当=180°时投影为-b 教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影bkos的乘积 让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果 是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,O为两向量的夹角,e是与b同向的单位向量 A e Fae=arcos B.a⊥bab=0. C.当a与b同向时,ab=a叫|b;当a与b反向时,ab=-d|b 特别地aaa或l=√a,a E.lab≤叫|b 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提 在推导过程中理解并记忆这些性质 讨论结果 ①略 ②向量的数量积的几何意义为数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|bos 的乘积 三、拓展创新,应用提高 例1已知a=5,|b=4,a与b的夹角为120°,求ab 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解 =5×4×(--) 点评:确定两个向量的夹角,利用数量积的定义求解 例2我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(ab)=a2-b2.对 任意向量a、b,是否也有下面类似的结论?
人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 3 定义：|b|cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影．并引导学生思考. A. 投影也是一个数量，不是向量； B. 当 θ 为锐角时投影为正值；当 θ 为钝角时投影为负值；当 θ 为直角时投影为 0； 当 θ=0°时投影为|b|；当 θ=180°时投影为-|b|． 教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ 的乘积． 让学生思考:这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果 是一个实数．教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量，θ 为两向量的夹角，e 是与 b 同向的单位向量． A. e·a=a·e=|a|cosθ． B. a⊥b a·b=0． C. 当 a 与 b 同向时，a·b=|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b=-|a||b|． 特别地 a·a=|a| 2 或|a|= a a• ． D. cosθ= | || | a b a b • ． E. |a·b|≤|a||b|． 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示， 在推导过程中理解并记忆这些性质． 讨论结果: ①略． ②向量的数量积的几何意义为数量积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ 的乘积． 三、拓展创新，应用提高 例 1 已知|a|=5，|b|=4，a 与 b 的夹角为 120°，求 a·b 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解． 解: a·b=|a||b|cosθ =5×4 ×cos120° =5×4×（ 2 1 − ） =-10． 点评: 确定两个向量的夹角，利用数量积的定义求解． 例 2 我们知道，对任意 a，b∈R，恒有（a+b）2=a 2+2ab+b 2，（a+b）（a-b）=a 2-b 2．对 任意向量 a、b，是否也有下面类似的结论？
教师备课系统—一多媒体教棠 (1)(a+b)2=a2+2ab+b2 (2)(a+b)·(ab)=a2-b2 解:(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b =a b+a b+b- a+b b =a2+2ab+b2 (2)(a+tb).(ab)=a a b+bab-b =a2-b2 例3已知|a=6,b=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)(a-3b) 解:(a+2b)·(a-3b)=aaab6bb 2-6×4cos60°-6×4 例4已知a=3,|b=4,且a与b不共线,当k为何值时,向量a+kb与ak互相垂 ? 解:a与ah互相垂直的条件是(a+b)·(akb)=0, 即a2-k2b2=0 ∴916k2=0 也就是说,当k±二时,a+与a互相垂直 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件 四、小结 先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要 性质,数量积的运算律 2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领 悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多 解 课堂作业 1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为() ab叫|分→a∥b②a与b反向分→ab=lb ③a⊥b分|abab④a=b→ac+|bc B.2 2.有下列四个命题 ①在△ABC中,若AB·BC>0,则△ABC是锐角三角形;
教师备课系统──多媒体教案 4 （1）（a+b）2=a 2+2a·b+b 2 ； （2）（a+b）·（a-b）=a 2-b 2． 解：（1）（a+b）2=（a+b）·（a+b） =a·b+a·b+b·a+b·b =a 2+2a·b+b 2 ； （2）（a+b）·（a-b）=a·a-a·b+b·a-b·b =a 2-b 2． 例 3 已知|a|=6，|b|=4，a 与 b 的夹角为 60°，求（a+2b）·（a-3b）． 解: （a+2b）·（a-3b）=a·a-a·b-6b·b =|a| 2-a·b-6|b| 2 =|a| 2-|a||b|cosθ-6|b| 2 =62-6×4×cos60°-6×42 =-72． 例 4 已知|a|=3，|b|=4，且 a 与 b 不共线，当 k 为何值时，向量 a+kb 与 a-kb 互相垂 直？ 解: a+kb 与 a-kb 互相垂直的条件是（a+kb）·（a-kb）=0， 即 a 2-k 2b 2=0． ∵a 2=32=9，b 2=42=16， ∴9-16k 2=0． ∴k=± 4 3 ． 也就是说，当 k=± 4 3 时，a+kb 与 a-kb 互相垂直． 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件． 四、小结 1．先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、几何意义，数量积的重要 性质，数量积的运算律． 2．教师与学生总结本节学习的数学方法，归纳类比、定义法、数形结合等．在领 悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题，并鼓励学生进行一题多 解． 课堂作业 1．已知 a，b，c 是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为（ ） ①|a·b|=|a||b| a∥b ②a 与 b 反向 a·b=-|a||b| ③a⊥b |a+b|=|a-b| ④|a|=|b| |a·c|=|b·c| A．1 B．2 C．3 D．4 2．有下列四个命题: ①在△ABC 中，若 AB ·BC >0，则△ABC 是锐角三角形；
人教版新课标普通高中◎数学④必修 ②在△ABC中,若ABBC>0,则△ABC为钝角三角形 ③△ABC为直角三角形的充要条件是AB·BC=0 ④△ABC为斜三角形的充要条件是AB·BC≠0. 其中为真命题的是() 3.设a=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为() 4.设a、b、c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题: ①(ab)c-(ca)b=0 ②a+-|b-ab ③(bc)a(ca)b不与c垂直 ④(3a+2b):(3a2b)=9a2-4|bP2 其中正确的是() ② B.②③ C.③④ D.②④ 5.在△ABC中,设AB=b,AC=e,则√b|cp-(bc)2等于() B.-S△ABC △ABC D.2S△ABC 6.设i,j是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量,且 a=(m+1)i5,b=i+(m-1)j 如果(a+b)⊥(ab),则实数m= 7.若向量a、b、c满足a+b+c=0,且l=3,b=1,l4,则ab+bc+ea= 参考答案 1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-13 第2课时 教学目标 、知识与技能 1.掌握平面向量数量积运算规律 2.能利用数量积的性质及数量积运算规律解决有关问题 掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简 单问题. 二、过程与方法 教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示,通过例题
人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 5 ②在△ABC 中，若 AB ·BC >0，则△ABC 为钝角三角形； ③△ABC 为直角三角形的充要条件是 AB ·BC =0； ④△ABC 为斜三角形的充要条件是 AB ·BC ≠0． 其中为真命题的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 3．设|a|=8，e 为单位向量，a 与 e 的夹角为 60°，则 a 在 e 方向上的投影为（ ） A．4 3 B．4 C．42 D．8+ 2 3 4．设 a、b、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题: ①（a·b）c-（c·a）b=0； ②|a|-|b|<|a-b|； ③（b·c）a-（c·a）b 不与 c 垂直； ④（3a+2b）·（3a-2b）=9|a| 2-4|b| 2． 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 5．在△ABC 中，设 AB =b， AC =c，则 2 2 (| | |) ( ) b c b c − • 等于（ ） A．0 B． 2 1 S△ABC C．S△ABC D．2S△ABC 6．设 i，j 是平面直角坐标系中 x 轴、y 轴方向上的单位向量，且 a=（m+1）i-3j，b=i+（m-1）j， 如果（a+b）⊥（a-b），则实数 m=_____________． 7．若向量 a、b、c 满足 a+b+c=0，且|a|=3，|b|=1，|c|=4，则 a·b+b·c +c·a=_________． 参考答案: 1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．-2 7．-13 第 2 课时 教学目标 一、知识与技能 1．掌握平面向量数量积运算规律. 2．能利用数量积的性质及数量积运算规律解决有关问题. 3．掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简 单问题． 二、过程与方法 教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示．通过例题