局部截断误差 定义在假设y=y(x),即第i步计算是精确的前提下, 考虑的截断误差R1=y(x)-y称为局部截断误差/ local truncation error * 对于数值方法 Vil=Vi+ ho(i,vi, h) 局部截断误差定义为: ei1=y(x+)-[y(x)+h(x1,y(x),h) 假定“y1=y(x)称为局部化假定
局部截断误差 1 1 ( , , ), ( ) [ ( ) ( , ( ), )] i i i i i i i i y y h x y h y x y x h x y x h + + = + i+1 = − + 对于数值方法 局部截断误差定义为: e 定义 在假设 yi = y(xi )，即第 i 步计算是精确的前提下， 考虑的截断误差 Ri = y(xi+1 ) − yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。 假定“yi = y(xi )”称为局部化假定
定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1),则称该 算法有阶精度。 估计局部截断误差的主要方法是 Taylor展开法
估计局部截断误差的主要方法是Taylor展开法 定义 若某算法的局部截断误差为O(h p+1 )，则称该 算法有p 阶精度
Euler方法的局部截断误差 y(x1)=y(x)+by(x)+y"(x)+hy”(1)x<5<x1 yx 1=y(x)+hf(x, y(x,))+y(x)+O(h') y(x+1-y i+1 [vl)+hy()+y(x,)+O(h)]-[ +hf (y) =2y(x)+O(h)欧拉法具有1阶精度
Euler方法的局部截断误差 2 2 3 1 1 2 3 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 3! ( ) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) h i i i i i i i i h i i i i i y x y x hy x y x h y x x y x y x hf x y x y x O h + + + = + + + = + + + 2 1 1 1 3 2 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( , )] i i i h i i i i i i e y x y y x hy x y x O h y hf x y + + + = − = + + + − + ( ) ( ) 3 2 2 y xi O h h = + 欧拉法具有 1 阶精度
二改进的 Euler方法 因为y(x+)=y(x)+∫"(x,y(x)x h f(x;,y(x))+∫( i+15 y(x+1))] +1=y1+hf(x1,v), h 得到{y+=y+[f(x,y)+f(x+1,y+) 2 0.1.∴.N-1
二.改进的Euler方法 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ( )) [ ( , ( )) ( , ( ))] 2 ( , ), [ ( , ) ( , ), 2 0,1, , 1 i i x i i x i i i i i i i i i i i i i i y x y x f x y x dx h f x y x f x y x y y hf x y h y y f x y f x y i N + + + + + + + + = + + = + = + + = − 因为 得到