在零假设下(没有对称要求)：1P(Ri = k) =k = 1...., N;.N1k≠l,N(N-I)P(Ri=k,Ri=l):0,k=l.可以验证N2-1N+1E(R) :Var(R,) :212N+1Cov(Ri, R,) =(i≠j),12而Wy=Zn1Ri因此,mn(N +1)n(N +1)E(Wy) =Var(Wy) =212mn(N+1)mnVar(Wxy) =E(Wxy)212
• 在零假设下(没有对称要求): 可以验证 而 因此,
在m=n=2情况得到Wy和WxY的分布秩X和Y的6种组合YYXxx1Y2YXXYYxxYxYxY34xxYxYY022134WxY322410WYX55367Wy476553Wx4116216116-161-6概率Wilcoxon(Mann-Whitney)秩和统计量分布密度dwilc0x(0:4,2,2):0.167 0.167 0.333 0.167 0.167
在 情况得到 和 的分布 Wilcoxon(Mann-Whitney) 秩和统计量分布密度 dwilcox(0:4,2,2): 0.167 0.167 0.333 0.167 0.167
，大样本时，在零假设下Wxy-mn/2Z→ N(0, 1).Vmn(N+1)/12Wy -n(N +1)/2Z→ N(0, 1),Vmn(N+1)/12有打结情况下，下面统计量近似正态分布Wxy-mn/2Z=mn(Zi-1 t? - Di-1 ti)mn(N +1)1212(m+n)(m+n-1)
• 大样本时, 在零假设下 有打结情况下, 下面统计量近似正态分布