1.1微积分内容回顾 13 c.用x0=1,重做分题(a)。 d.用分题(c)得到的多项式，重做分题(b)。 8.对于函数f(x)=√x+I在x。=0求出三阶Taylor多项式P,(x)。用P,(x)来通近√0.5、√0.7乃、 √个.2巧和√个.5，并求出实际误差。 9.对于函数f(x)=e"cos在x。=0求出二阶Taylor多项式P2(x)。 a.利用P2(0.5)来逼近f(0.5)。利用误差公式求出误差|f(0.5)-P2(0.5)川的上界，并将其与实际误差 进行比较。 b.求出在区间[0,1]用P2(x)来逼近f(x)时，误差|f(x)）-P2(x)川的界限。 c.用P,(x)dx来近似计算f(x)dx。 d.用[|R,(x)dx找出在分题(c)中误差的上界，并将其与实际误差进行比较。 10.用x。=x/6,重做第9题。 11.对于函数(x)=(x-1)nx在x。=1,求出三阶Taylor多项式P(x)。 a.用P,(0.5)来通近f(0.5)。利用误差公式求出误差|f(0.5)-P,(0.5)川的上界，并将其与实际误整进 行比较。 b.求出在区间[0.5,1.5]用P,(x)来通近f(x)时，误差|f(x)-P(x)川的界值。 c.用：P,(x)dr来近似计算：f代xdr d.用心R,(:山求出在分题(。)中误差的上界，并将其与实际误差进行比较。 12.设f(x)=2xcs(2x)-(x-2)2和x0=0。 a.找出三阶Taylor多项式P,(x),并用它来逼近f(0.4)。 b.利用Taylor定理中的误差公式来求出误差|f(0.4)-P(0.4)|的上界。计算实际误差。 c.求出四阶Taylor多项式P,(x),并用它来通近f(0.4)。 d.利用Taylor定理中的误差公式来求出误差|f(0.4)-P,(0.4)川的上界。计算实际误差。 13.对于函数f(x)=xe在r=0求出四阶Taylor多项式P,(x)。 8.对于0≤x≤0.4，求出f（x)-P,(x)川的上界。 b.利用R.(x)近似计算fx)dr。 d.利用P(0.2)来近似计算f(0.2),并且找出误差。 14.使用Taylor多项式的误差项来估计在用sinx≈x近似计算sin1'时所产生的误差。 15.使用Taylor多项式在x/4处近似计算cos42',要求精度为10。 l6.设f(x)=esin(x/3)。使用Maple来确定下述问题。 a.三阶Maclaurin多项式P,(x)。 b.(x)和[0,1]上误差|f(x)-P,(x)川的界值
14 第一章数学基础 17.设f(x)=h(x2+2)。使用Maple来确定下述问题。 a.∫在x。=1展开的Taylor多项式P,(x)。 b.对于0≤x≤1，最大误差|f(x)-P,(x)川。 c.f的Maclaurin多项式P,(x)。 d.对于0≤x≤1，最大误差|f(x)-P,(x)川。 e.P,(0)近似代替f(0)比户，(1)近似代替f1)更好吗？ 18.设f(x)=(1-x)和xo=0。求出f八x)在x的n阶Taylor多项式P,(x)。在[0,0.5]上，为使 P.(x)通近f(x)到精度10，求出必需的n值。 19,设f(x）=e和x。=0。求出f(x)在x。的n阶Taylor多项式Pn(x)。在[0,0.5]上，为使P,(x)通近 f(x)到精度106，求出必需的n值。 20.对于f(x)=arctan x,找出n阶Maclaurin多项式P.(x)。 21.多项式B,(:)1-分2用于在[-号，之]近似计算八x)=60sx。求出最大误差界。 22,∫在x。的n阶Taylor多项式有时被称为在x。附近“最佳”通近∫的次数至多为n的多项式。 a.解释为何这种叙述是准确的。 b.如果f在xo=1处的切线是方程y=4x-1,且(1)=6，求出在x=1附近最佳通近函数f的二次多 项式 23.。的Macurin多项式用于给出e的近似值2.5。在这个近似计算中的误差界确定为E=名。找出E 的误差界。 24,由。：)-层。a所定义的误差函数给出了在假定试酸具有平均值为0和标准差厄八的正态 分布下，试验序列中的任一试验位于平均值x单位内的概率。这个积分不能按照基本函戴来求值，所以必须使 用近似方法。 a.结合e子的Maclaurin级数来证明 b.误差函数也可表示为下面的形式 24, 验证两个级数对于k=1,2,3,4是一致的。[提示：应用e的Maclaurin级数。] c.用分题(a)中的级数来逼近erf(1)到精度10-”。 d.对于分题(b)中的级数，用和分题(c)中同样多的项数来近似计算erf(1) e,解释为什么在用分题(b)中的级数来近似计算ef(x)时会有困难出现。 25.函数f:[a,b]-+R称为在[a,b]上满足具有Lipschitz常数L的Lipschitz条件，如果对于每一个x,y∈ [a,],都有|f(x)-f(y)川≤Llx-yl。 a.证明如果f在区间[a,b]上满足具有Lipschitz常数L的Lipschitz条件，则f∈C[a,b]。 b.证明如果∫具有在[a,b]上以L为界的导数，则∫在[a,b]上满足具有Lipschit常数L的Lipechitz条件
1.2舍入误差和计算机算术 15 c.给出一个在闭区间上是连续的，但是在此区间上不满足Lipschitz条件的函数的例子。 26.假设f∈C[a,b],x,和x2在[a,b]内，c1和c2是正常数。证明在x1和x1之间存在一点使得 f()=/x)tf) CI十C1 27.设f∈C[a,b],且p在开区间(a,b)内。 a.假设f(p)≠0，证明存在6>0，使得f(x)≠0，对[a,b]的子区间[p-8,p+8]内的所有x成立。 b.假设f(p)=0,k>0是给定的数，证明存在8>0使得|f(x)川≤k,对[a,b]的子区间[p-6,p+6]内 的所有x成立。 1.2舍入误差和计算机算术 由计算器或计算机所完成的算术运算不同于代数和微积分课程中的算术运算。根据你过去 的经验，可能期望总有像2+2=4,4·4=16和（√3）2=3这样的正确算术运算语句。在标准的计 算算术中前面两个是对的，但第三个并不总是正确。为了理解为何如此，需要探讨有限位数字算 术的领域。 在传统的数学领域，允许数值具有无限位数字。此领域中所使用的算术将√3定义为当和自 身相乘时产生整数3的那个唯一正数。可是，在计算领域每一个可表示的数仅有固定的、有限的 位数。例如，这意味着仅是有理数- 一甚至并非所有的有理数 一可被准确地表示出来。因为 √3不是有理数，所以它用近似表示式来表示。这个近似表示式的平方虽然在大多数情况下可能 足以接近3直到可接受的程度，但不是准确地为3。在多数情况下，这种机器算术是满意的，且 在使用中并不为人注意即可获得通过，但有时由于这种差异的存在会有问题出现。 舍入误差是计算器或计算机进行实数计算时所产生的。之所以产生舍人误差是因为机器中 进行的算术运算所涉及的数是有限位的，从而导致计算只能用实际数值的近似表示式来完成。 在典型的计算机中，仅实数系统的一个相对小的子集用于表示所有的实数。这个子集仅包含了 正/负有理数，且存储了小数部分和指数部分。 l985年，IEEE(Institute for Electrical and Electronic Engineers,.电气和电子工程师学会)出版 了名为二进制浮点运算标准754-1985的报告。标准中规定了单精度、双精度和扩展精度的格 式，使用浮点硬件的微机生产商一般都遵循这些标准。例如，P℃机的数值协处理器对实数实行 了64bit(二进制数字)表示，这种表示称为长实数。第一位是符号指示位，记为s。紧接着是称 为指数(characteristic)的11bit的指数部分c以及称为尾数(mantissa)的52bit的二进制小数部 分f。指数的基是2。 因为52位的二进制数字对应于16位至17位的十进制数字，所以可以假定在这个系统中所 代表的数字至少具有16位十进制数的精度。11位二进制数字所表示的指数部分给出0到2” 1=2047的范围。可是，指数部分仅使用正整数可能不足以用来表示绝对值较小的数。为了保 证绝对值较小的数能够同样地表示出来，从指数部分减去1023，这样指数部分的范围实际上是
16 第一章数学基础 从-1023到1024。 为了节省存储空间并对每一个浮点数提供唯一的表示，规格化是必须的。使用这个系统给 出了下面形式的浮点数 (-1)2-123(1+f） 例如，考虑机器数 0100000000111011100100010000000000000000000000000000000000000000 最左边的位是0，表明这个数是正数。下面指数部分的11位(10000000011)等价于十进制数 c=120+02°+.+022+12+12°=1024+2+1=1027 从而，数的指数部分是271=2'。最后的52位数表明尾数是 f=1(5)+1小(3》+1（分）+1(3)5+1（号）+1（号） 所以，这个机器数准确地表示了十进制数 （-1)2-1m（1+D=(-1°2m-1(1+(2+8+6+2+2点+406) =27.56640625 可是，下一个最小的机器数是 0100000000111011100100001111111111111111111111111111111111111111 下一个最大的机器数是 0100000000111011100100010000000000000000000000000000000000000001 这意昧着原来的机器数不仅代表了27.56640625，而且代表了在27.56640625和它的最相邻 的两个机器数之间的所有实数的一半。精确地讲，它代表了位于区间 [27.5664062499999982236431605997495353221893310546875, 27.5664062500000017763568394002504646778106689453125) 内的所有实数。 可以表示的最小规格化正数其最右边的位是1且其余各位是0，即等于 21023.(1+22)≈1030 最大的数其首位是0且其余各位是1，即等于 2024.(2-22)≈1008 在计算中生成的量值小于21四(1+2”)的数导致下溢，通常将其置为0。大于2·(2- 2)的数导致溢出，通常引起计算停止。 使用二进制数易于隐藏当用有限的机器数的集合去表示所有实数时所产生的计算困难。为 了检查这些问题，简单起见可以假设机器数以规格化的十进制浮点形式表示为 ±0.d1d2.d×10°，1≤d1≤9,0≤d,≤9 其中，i=2,.,k。这种形式的数称作k位十进制机器数 在机器数值范围内的任何正实数可以规格化为形式
1.2舍入误差和计算机算术 y=0.d1d2.dd1d+2.×10 y的浮点形式记为(y),可以通过在k十进制位舍去y的尾数而得到。有两种进行这类舍去的 方法。一种方法称作截断法，是简单地截去数字d+1d+2.而得到 f(y)=0.d1d2.da×10 另一种方法称作舍入法，它是先加5×10-+》到y,然后截去结果，最后得到形式如下的数 f(y)=0.8162.6×10 所以，当舍人时，如果d+1≥5，把d加1得到(y),即向上舍入。当d1<5时，仅需保留前 面k位而截去其他位，即向下舍去。如果进行向下舍去，则6，=d,(i=1,2,.,k)。可是，如果 进行向上舍人，则数字可能有变化。 例1数π具有无穷十进制展开式形式π=3.14159265.。写成规格化的十进制形式， 则为 π=0.314159265.×10 使用5位向下舍去，π的浮点数形式为 f(π)=0.31415×10'=3.1415 因为x的十进制展开式的第6位数字是9，所以使用5位向上舍人的π的浮点数形式为 f(x)=(0.31415+0.00001)×10=3.1416 用一个数的浮点形式代替这个数所产生的误差称作舍入误差（不论是使用舍入法还是截断 法)。下面的定义描述了度量逼近误差的两种方法。 定义115如果》是力的近似数，则绝对误卷是p-p1,相对误差是，前提 条件是p≠0。 考虑在下面的例子中用中'代替力所产生的绝对误差和相对误差。 例2a.如果p=0.3000×10',p·=0.3100×10',则绝对误差是0.1，相对误差是 0.3333×10-1。 b.如果p=0.3000×10-3,p·=0.3100×10-3,则绝对误差是0.1×104，相对误差是 0.3333×101。 c.如果p=0.3000×10°，p·=0.3100×10°，则绝对误差是0.1×103，相对误差还是 0.3333×10-1。 这个例子说明绝对误差确有较大变化时，相对误差0.3333×10'相同。作为精确性的度 量，绝对误差可能引起误解，而相对误差由于考虑到了值的大小而更有意义。 ■ 下面的定义使用相对误差给出了近似值精度的有效数字的度量。 定义1.16数力“称为逼近力到t位有效数字，如果t是最大的非负整数使得