斯 -ft)+2(g,-4(g) +(G,-)A(. 题纯1 其中△(8)△(a),A'()一0，因而f,()=0,1≤y≤n. 2.设f是实可微的，且f,()一0,1≤v≤%.则 fa)=1)+之(，-m)A()+∑（元，-）A'(6, 其中△'()■0,1≤”≤。 我们定义 09 如果名，一”， (）= -碧.△)， 如果，卡 一 因为三一恐除在”外有界，且m△(8)-0.由此可得a, 2,一20 在0连续。但一方面 f(8)-()+2(,-)△a)+方(a,-)A(6), f()+.∑(2-)(A+,6. 所以f在和复可微.' .下面我们叙述其它的微分公式 1.如果1在加实可微。则在和有 a.f,a-(f)2a,1≤μ≤m. b.fn一(f),1≤u≤a. 2.如果1在和的一个邻域内两次实可微.则在)对全部” 和4，有 a.? b.Iatn- ·29●
。f,a■fanr 定理63.（链式法则)设B,B2分别是C",Cm中的区域. g=(（g,·,gm):B,→C是满足g(B)CB,的一个映射。设 飞B,=g(0)且f是B,中的一个复函数.如果所有8u,1≤ 4≤m都在0实可微且f在实可微，则fg在的实可微且 og),)-2f.(mo)·(g() +2(y(a(》. (og),()=∑(f.()(g),(6n).： +2,(m）(a,01. 证明： 象在实的情况那样，证明可从定义得出. 0 设BCC是一个区域，f=(,…,f):B→C是一个实可 微映射。则我们定义的复函数矩阵： v=1,·…,0 y.1,···,n 4=1,…·,n 4=1,…n m1,··, 1,···,n} 象在实情况中众所周知的那样，我们断言，A:dt与通常 的函数行列式相一致。一系列行与列的变换对于证明是必要的。 我们有 in-子你n-动wa)为 2 i-是乐+ 如果加第n十4列到第“列上去，则得 ·30●
（合i+乐刃 Ay det )(经.+》 所以 △m2ndet e+i） (）(不+年)》 从第n十4列减去第“列，得出 A=2-idet( 》 因此 f)(,八 A-2rwin0aa3 因为一名，十h,所以 fnn=8ru十汤不na-ga一h4 f,a-gn十h,不a名n4一h,w 将第”十”行加到第行上去，得到 △y-2 idet (2g*r)(2gw） idet 再由第n十v行减去第v行，给出 A-idet '(g）(g) (-）（-hw det 这恰好是实映射F=(g1,…。B,h,…,h,)的函数行列式 det Jr .31◆
57.全纯映射1 定义7.1.设BCC"是一个区域，g1,·,gm是B上的复函 数.g=（g1,·,gm):B→C”称为全纯映射，如果所有分量函数 Ba在B中全纯. 定理71。设BCC,BCC是区域，g=（g1,·,gm): B,→B,是一个映射.则g是全纯的，当且仅当对B,上的每个全 纯函数f,°g是B.上的一个全纯函数. 证明：设阜是一个全纯映射，“则所有分量函数g是全纯 的，即.对全部”和“，(ga),一0。如果f是全纯的，则对全部 4,4一0，和g是实可微的，并且从链式法则，立即可得 0-2t.h+2(a-0, y=1,…·,n. 反之，置(m)三wu,如果条件满足，则和g()=ga(). 从这个定理可知，如果g:B,→B,是一个全纯映射，且f:B,→ C心是一个全纯映射，则和g:B,→C是一个全纯映射. 定义72.设BCC是一个区域，g=（g1,,gm)是一个 从B到C的全纯映射，我们称 为g的全纯函数矩阵。 定理7.2.设0∈B,mu=g(和)，f和g如上述.则 现o（)=沈(mo)ong(). 证明： (现ot)u=(,og）n-∑fw1·8n (9叽yo现g),4 口 定义7.3。设BCC"是一个区域，g=(gi,··,gm):B→C 是一个全纯映射、Mgdt肌g称为g的金纯函数行列式，· ，32
定瑾7.2蕴含： 定理73。设记号如上述，且令m"=1.则M1og=M Mi. 一个全纯映射的复函数行列式有下列形式： 4》-如】 =det(g,a)·det(ga) -det((g)).det((g))-Idet((g)) m1M.2, 即，它们是实的且非负。这意味着全纯映射是保持定向的： 定义74。设B,B2是C中区域.，映射g:B:→B,称为双 全纳的（双方可逆全纯的）如果 a.g是双射的，且 b.g和g是全纯的. 定理74。设BCC”是一个区域，·g:B→C”是一个全纯映 射.令∈B耳一g(动).则有开邻域U=U()CB和V= V(po)CC”,当且仅当M.(a)+0使得g:U→V是双全纯 的。 证明： 1.有开邻域U,V,使得g:U→V是双全纯的、则 1=M2,(的)=Mg-1(Do)·Mg(a0), 因而M:(0)≠0. 2.g是连续可微的，且函数行列式Mg是连续的.如果 M。'0）*0则存在一个开邻域㎡：形（的）CB使MlW≠0. 于是△.W≠0且8在0是正则的（在实的意义下）。： 有开邻域UU()CW,V=V(w),使得g:U→V是双 射的且g1=(总，·，a)是连续可微的.g°g|V=idv是一个 全纯映射。由此可得 。33·