引P,=ch(f扑Tn)且u=(1,…,l1)位于B中. (1)和(2)蕴含着BGo. 口 定54.设GCC是一个正常的Reinhardt域，f在G内 全纯。则存在一个在G内收敛的幂级数8(8)=∑，d满足f(8) =8(),&∈G. 证明：如果动∈G,则存在一个满足」9「<{细I,i1, ·,n的1∈G。所以∈P,对a∈P,令 chfT,)()∑，d, 系数a,是关于0的Taylor级数的系数，它们不依赖于1.由于 的是任意的，由此可知f关于0的Taylor级数在整个G中收敛. 它定义一个全纯函数g,g与↑在原点附近重合.由唯一性定理， 在G上1=G. 定义5.1.如果'GCC是一个正常的Reinhardt域，则G= UR称为G的完全包. .chce 腑注 1.G是开的. 2.GCG.如果和∈G,则存在，∈G∩C,使得和∈P,CG. 3.G是一个Reinhardt域.设0∈G,∈G∩C,前∈P, 则TcP,cG. 4.G是完全的.设0∈G∩C,1∈G∩C,和e户，则P.C P.CO. 5.由性质(1)到(4)，G是最小的.设GCG1,G:是个完 全的Reinhardt域。如檗EGnCn,则P,CG.因此，GCG. G是包含G的最小的完全域，且有下述重要的定理 定量5.5，设G是一个正常的Reinhardt域，f在G内全纯， 则恰有一个在G中的全纯函数，满足FG=f. 证明： 由定理54，在中我们能写作 。24·
3)=∑ 这个级数仍然在G上收敛，且实际上收敛于一个全纯函数F。显 然F|G一f.延拓的唯一性，可从恒等定理得出。 口 对于m≥2，可以在C中选择集合G和G,使得G≠G.这 构成一个与单复变函数论的重大差别，在那里对每个域G,存在G 上的一个全纯函数，它不能延拓到任何正常的上域(superdomain) 中去 在结束这一章之前，我们举一个关于"一2的具有G≠G的 这样一对集合(G,G)的重要例子， 设Pm{8∈C:l「<1}是关于原点的单位多圆柱，且 D={a∈C:4,≤ll<1,lal≤q},0<9:<1,0<9<1. 则H=P一D是一个正常Reinhardt.域，且A=UP,=P. EHo 留对(P,H)称为一个Euclid Hartogs困.它们在绝对空 阅中的像见下图. 这里单复变和多复变函数论之间的基本区别是这样一个Har H 图5.在C中的Euchd Hartogs图 …
togs图在C中不存在.我们已经注意到，在C中Reinhardt域 是开圆盘和圆环，所以C.中的正常Reinhardt域是一个开圆盘， 即是，个完全的Reinhardt域。，因此C不是G的一个正常上集 合（超集）。 §6.实和复可微性 设MCC是一个集合，f是M上的一个复函数.在每一点 动∈M有一个唯一的表示()=Re()十Imf(o).所以能够 由 g(E,9)=Re f(8), (,)Im f(8) 定义M上的实函数g和h,其中=：+西，因而我们写作： t=g+h。 定义61.设BCC是一个区域，f=g十边是B上的一个 复函数，和是B的一个点。十称为在实可徽的，如果g和本金 是（实）可微的. 实可微性意味着什么？如果g和h都是可微的，则 g(,9)=g(0,)+∑(x,-)(,) +∑(.-9)a(,, (1) (怎，）-(，%)+∑(x,-m)(g） +∑(y,-)脖*(s,); 其中c,*,脖，胖率都是B上的实函数，它们在(0，如)连续而 且 c(0,90)=gx,(的，%)， c**(o3%)agy,（,%）, ”26·
.(，o)h(o,0), 辣*(o,0)=hy,(o,6). 综合这些方程有： (2)3)-)+会(，-9△(6) +∑(y,-)△*)， 这里△=十暗，△*一a率+设*在动连续，且其中 △(）=g,(）十h,()-f(）, △*().=g,()+ih,()=f,(y 定理61.设BCC是一个区域，和∈B是一个点，f是B上 一个复函数.则f在和是实可微的，当且仅当存在B上的函数 △，△'，它们在和连续，且在B中满足下述方程： (3f6)-)+∑(，-zm)Aa) 会（属，-）A】. 证明： 1.设f在0实可微，利用方程 ,一0=1【(，一)+（盆，一）] 2 和 %9-2-9)-(点，-01，° 则有 f(a)-)+∑(，-24)△(a)-△( 张2 +(属-测)》+*. 2 茹果我们定义 ◆27●
么一一和白+， 刘(3)式成立. 2.设1)-)+会（一9A(a) +2.-0)A, A,A在连续.。方程A一（△下*）/2，A”=(△等+ △**)12以矩阵形式表示成 （)-( -() 则dtA一2i中0.，这表示方程关于a事和，4**可解.：这个解函 数满足(2)；(1)可从分解(2)成实部和虚部得出。因为函数， **,摩，*在点加是唯一确定的，所以对于函数△，△'来说同 样也是成立的。 现在我们记： f)-()-,()=弟1. ,()-A(-2[f,(z）+i,w)1. 定理6.2、设BCC是一个区域，EB,f是B上一个复函 数.则十在加是复可微的，当且仅当f在o是实可微的且f,(的) -0,1≤v≤n.(这意味着Cauchy-Riemann微分方程组必须 满足：·。 gr,hy,hsw=-gy,)1≤y≤n.) 证明： 1.设fa)=()+∑(，-9)a(,A()在连鳞 28