中收敛的幂级数， 证明： 为简单起见，我们只考虑两个变量的情况。设T {(5,5)∈C:5=r,|5rz,固定=(1，)∈P那么 lz<r,{2<r2,因而9一(|8/r)<1,i1,2.因此 的整制会(，i-1,2,并且 i=0 (5-)(5一）。5·5 (4--〉 (②（会(） 对(5,5)∈T绝对且一致收敛.特别是允许任意置换各项，所以 话(”)” 在T上也一致且绝对收敛.因为h在T上是连续的，T是紧的，所 以h在T上是一致有界的，|h≤M.从而，对固定的(a,)EP, 5,-立5，)(( (51一a1)(52-a2)552 在I'上绝对且一致收敛.并且我们能够交换求和及求积分的次 序： -(》a-4522司 h(5,5】 d5d5 -点（品·56 h,2=0 =∑ae路， 12=0 其中 w-(a》·25a 对于每个=(1,2)∈P,这个级数收敛、 定理3.3.设BCC”是一个区域，f在B复可微.则f在B ·14·
中全纯。 证明： 设和∈B.为了简单起见我们假设和=0。则存在 一个关于和的多圆柱P,使得PCB.设T是P的特征边界.从 定理3.1，川P=ch(川T)。因为‖T是连续的，所以从定理3.2f 在0是全纯的. 口 定理34.设BCC是一个区域.1在B中全纯，和是B中 一个点，如果PCB是一个关于0的多圆柱，PCB,那么存在一 个幂级数8()=∑4，（一）'，它在整个P上收敛于1. 证明：如果f全纯于B中，则引Pch(f引T),其中T表示 P的特征边界。从定理3.2，刊P在所有P上能够被展开成为一个 幂级数。 □ 定理35。设函数序列(，)在区域B上一致收敛于1，且所 有，在B中全纯.则f在B.中全纯 .·证明：设飞B又，我们假设0。设P是一个关于 的多圆柱，其中产CB.令&=(1，·，名.)∈P.N(5)=(一8) (5m一zm)在T上连续且N(5)≠0，因此，1/N(5)也在T上 连续，且存在一个MER,使得在T上1/N(5)川<M.因为() 在T上一致收敛于f,所以对每个B>0存在一个=1(8)，使 得对任何v≥o在整个T上有If。一升<8/M.但另一方面 医-k-1<, 因此，f,/N在T上一致收敛于/N,且能够交换积分和极限的次 序。 、 fP=.lim(fP)=limch(fIT)=ch(lim(fT)) =ch(f升T). 由于所有f,在T上连续，所以f在T上连续。从定理3.2可知f 在原点全纯 口 定理3.6。设8()-∑，8是一个形式幂级数，G是8() ·150
的收敛域。则f,f()=8()在G中全纯. 证明： 设3是所有重指标v=(1,:…,v)的集合，1oC9 是一个有限子集.显然，多项式∑a,d'在整个C上全纯. 设点和∈G,P是一个关于0的多圆柱，pCG.8()在P上 一致收敛于().如果令8k=1/飞，kEN,则在每种情况，都存 在一个有限集1C3,使得对任何满足1C1CS的有限集7，在 P的所有点上，有 ”-< 对于.fk一∑g3',我们得知f是全纯的并且对每个∈N,在P 。 的所有点上，f一刊<1/k.因此(f)在P上一致收敛于f.从 定理35知，寸在P中全纯，特别地在和全纯.·“.··口 定理3.7.设f在区域B上全纯。则所有偏导数f.,1≤H ≤，也在B内全纯。如果PCB是一个中心在原点的多圆柱，且 在P上f(a)=∑a,2,则在P上 证明： 1.设PCB,1∈P∩C.则存在一个，MER,使得对所有， la,dl<M,其中∑a6'是f在P内的幂级数展开.如果0<q <1,=9·,则∑a,被M·∑g所控制.王 现在融. (1,·,m),其中gk≠0，=1，·，n,由此可得 |a·y·2效…路1.…2=1·1adi引 iM·q. 形式地 ◆16·
”-(②（②小（客* 对：≠，∑g是一个几何级数，因而收敛对“一i,由比值 判别法： 5n(+1)g-g·imy+1-g<1 "i*。‘”,*9 i*影 可纪之，9产是收敛的。因此级数 e0 收敛。由比较判别法，级数∑a,,…在点和也收敛，因而 V0 在P,收敛.因为P是全部P,的并，所以级数在P的所有点收敛 于一个全纯函数8. 2.设 0)-0,,5,4,,s +f(8,…,0,…,z）. 并选择；平面内连结0到；的线段为积分路径.于是*定义在 P上. 对于(3)=a6',我们有(6)=∑，()，g(8)一 r n 习（伍，）。积分路径是P的-个紧子集，且这级数在那里 致收敛.因而可以交换求和和求积分的次序，而得到 f8)-2(0(4,4(e-52)d5 +(4,…,0,…2） ∑h(3)=f8). 0.17●…
因此，f8)=(8)mg(). 我们以归纳我们的结果来结束这一节 定理3.8.设BCC是一个区域，f是B上一个复函数。关 于十的下列陈述是等价的： a.f在B内复可微， b.f在B内任意多次复可微， c.f在B内全纯.对每个和EB,存在个邻域U,使得在U 内f()=∑a,(a一的).这里，是“Taylor级数展开式的系 0 数”： 1 0tt(）, v!…v！司z0z”n d.对每个适合PcB的多圆柱P,f引T连续，且 fIT=ch(T). 证明：，上述结果差不多都已证明，但我们还必须计算系数 4,.为简单起见，令和=0和ne2在定理3.2的证明中，我们已 得到： i 虹d 从关于一个变量的Cauchy积分公式可知 w一k品a 3+1 -LL84(,0) va!2wi JK 8 灯 0+对 (0,0). w4!y2l、0zi6 54.恒等定理 与单复变理论不同，下面的定理在C中不成立：“设G是一 个域，MCG在G中有一个聚点，且f,在G上全纯，在M上= ,那么在G内=”， 018·