收敛，所以在P,中（由定理1.1可知）。因此P,CB。由于P,CP, 且Ts,CP,可知B是一个完全的Reinhardt域. 3.设P*=P,其中是对于1如在1)中那样选择的.显然 B=UP,。现在对每个，选择一个具有0<9<1的9，使得 BEB =(1/q):位于B中.·这是可能的，由此可知对于每个1∈B, ()在P*,中一致收敛.如果KCB是紧的，则K能由有限多个 集合P覆盖.所以()在K上一致收敛， ▣ 问题发生在是否每个完全的·Reinhardt域都是某个幂级数 的收敛区域，这是不对的，必须附加必要的性质.：我们这里不再深 究这件事. 由于每个完全的Reinhardt域都是连通的，所以我们能够论 及一个幂级数的收敛域.现在我们返回到全纯的概念 设f是在区域B上全纯的函数，是B中一点。设幂级数 ∑，(8一)》”在和的一个邻域U上收敛于(a),则存在一个 1fU,使得四≠，1≤v≤n,并且P,-()CU。现在令 0<8<min（1四一)，从定理1.1，级数在U()上一致 收敛.对每个”∈马，可以把4，（一）”看作是R2”上的一个复值 函数，这个函数显然在连续，从而极限函数在连继。我们得 到： 定理1.5.设BCC是一个区域，且↑是B上的一个全纯函 数，则↑在B上连续. 52.复可微函数 定义21.设B是一个区域，f:B+C是一个复函数.f称 为在和∈B复可徽的，如果在B上存在复函数A,··,△。，它们在 全都连续，且在B内满足等式 f3)一f()+∑(2，-)A(3. 9●
可微性是一个局部性质。如果存在一个邻域U=U()亡B； 使得1U在点复可微，则升引B在点复可微，因为函数△，(a)能 够延拓到U的外边使得所要求的方程成立 ··在下述定理成立： .定理21.·设BCC”是一个区域，f:B→C在和复可微，则 函数本书，·，△。在加的值唯一确定. )证明：E。={3∈C:,=,1≠}是一个一维复平面. 设B={5∈C:(,….巴，5,9，…，z9)∈E,∩B}. 特(8，）=(，…多，，，09)定义了B,上的一个复 函数.由于十在可微，所以在B,上有 (a,）=扎，39,9,0) .=扎).+《，2）A(9,…9） .点(z)十（2，一)：A( 于是△(a】=△(，·，，名，织，…，9)在z0连续， 因此(z,)在‘zECm复可微，且△*(0)=△，()是唯一确定 的。这对每个都成立：…….…1 月 定22设定义在区域B亡C上的复函数f在和∈B.复可 薇.如果代)一fa)+之(3丛A,()那么我的称△，() ： 为f在和关于云，的偏导数，且可写作 2A(r影，a=f(.: 定理22.设BCC”是一个区域，f在6EB复可微，则子 在连续. 证明： 我们有)-)+另（在，-）4，(，这个 方程的右边显然在连续。 “· 设BCC是一个区域，如果f在B的每一点复可微，则称↑ 在B上复可微。 复可微函数的和，积，商（分母不为0）还是复可微的。证明类 似于实的情况，这里不介绍它了。：： 10
定理23.·设BCC”是-个区域，f在B中全纯，，则f是B 中的复可微函数. 证明：设和∈B,则存在，一个邻域U=U(0)和一个幂级数 ，(6-一动”，它在U中一致收敛于(.不失一毅性，令=0， v0 则 41…+… 21 va>1 现在，这个分解仅有形式的意义.选择一个形如P■U(0)X… ×Ue(0)CU(0)的多圆柱和一点1∈T={∈C:|z|=e东：则 P,一P且1∈U(如果e选择得充分小).因为∑收敛，所 以∑{a,l也收敛.由于1∈心，所以对所有，z!≠0.因 此上面表示式的每个在的子级数在P,的内部也绝对且一致收 敛.其极限函数是连续的，并记为△，·，△由于()中() +1·△()+…十，·△(8)，由此可知.f在复可微.□ 从这个证明，我们可以得到在一点的偏导数的值。因为 f8》=之，(，-(，中9”， 1…0 我们得到 f,(的）=a0r0, f.(o）=aor…0n S3.Cauchy积分 在这一节，我们将寻找全纯函数的另外一些特性。 :3!
设=(，·，)是绝对空间中一点，其中对所有v,≠0. 则P={a∈C":lz,<r,对所有}是二个非退化的关于原点的 多圆柱，T一{8∈C:t()■r}是相应的特征边界。将证明的结 果是P上的任意一个全纯函数，可由它在T上的值所确定. 首先我们必须推广复线积分的概念.设K={x∈C:x一r, ，>0固定，0≤6≤2x}是复平面中的一个圆，↑在K上连续.通 常写作 k)ds=0fre)·tie0. 右边的表示式由定义 dee(de 可简化成实积分 现在设f=(5)在n维环面T■{5∈C:x(5)=r}上连续。 那么h:P×T→C, h(a,5) (5) (5:一1)…(5m一8。） 也是连续的.我们对每个∈P定义 Fo)-（广·，A4(,5)d5…s. -(a5j 5。K5,…,5.) -(22 Xr1…rnei81t+8a)d81…d8. F有意义，甚至在P上连续。 定义31.设P是一个多圆柱，T是相应的维环面.设1是 T上的一个连续函数.则由 c0Xe)-(a·s,-s.-。 f(5)d5 ·12
所定义的连续函数ch(f):P→C,称为f在T上的Cau心hy积 分. 定理31.设BCC是一个区域，P是一个多圆柱，PCB,并 且T是属于P的"维环面.如果f是B上的复可微函数，则川P一 ch(升T). 证明： 这个定理是熟知的一维Cauchy积分公式的一个 推广. 具有f猪(2）=51，…，5m-,8）的函数情在Bn={3,∈ C:(5,…,5n-,)∈E∩B}对于固定的(5，，5m-)∈C-1 是复可微的，其中它n是平面{aEC":=5,1≠n}.但另一方 面，律在B。中全纯，Bm是C中一个开集.Km={5n∈C:5.= t,}包含在B,中，且对于一个单变量的Cauchy积分公式来说 ()=1 培(5）d话m, tr. 2πiJ15nem5n一zm 因此， 5,5,）-.52dn 2xiKm.5n一zn 类似地，对于倒数第二位的变量，我们得到 f5,…,-1n-,）=,.t5…55- 2riK-15-1一8-1 d5a-1 5。一名m 在n步之后得 ·品 =ch(f1T)(&) 0 定理3.2。设PCC”是一个多圆柱，T是相应的环面，且h是 在T上的一个连续函数，则=ch(h)能够展开成一个在所有P 。13·