，(8一)'在一个区域B内部一致收敛，如果级数在B 速0 的每个紧子集内一致收敛 ·定义14.设BCC”是一个区城，f是B上一个复函数.f 称为在B中全纯，如果对每个∈B,在B中存在一个邻域U= U()和一个在U上收敛于()的幂级数 ∑a,(a-) 注意，并不要求在U上一致收敛。现在我们证阴为什么逐点 收敛就够了. 定义15.点集V={x=(",·,rm)ER:r,≥0,1≤≤ n}称为绝对空间.t:C”→V,(a)=(|,…·,)是C到 V上的一个自然投形 V是R”的一个子集，且本身继承从R到V所诱导的拓扑（相 关拓扑)。所以：C”→V是一个连续满映射。如果BV是开 的，则1(B)CC也是开的。. 定义16.设r∈V+={r=(r1,·,rm)∈R":rk>0},∈ C",那么P(o)={∈C:l8k一|<rk,1≤≤n}称为具 有（多）半径t的关于的多圆柱.T=T(P)={∈C”:|k一 四|=r}称为P的特征边界（见图1）. 图1·多国柱在绝对空间中的像
P=P()是C中一个凸域，它的特征边界是P的拓扑边界 ∂P的一个子集.对于n=2和=0，情况很容易说明：这时V 是？中的一个象限，x(P)是一个开矩形，(T)是(P)的边界 上的一个点.因此 T={a∈C:lal=r,l8!=r} ={a=(r1e8,re8,)∈C:0≤81<2x,0≤62<2x} 是一个二维环面。类似地，在"维情况，我们得到一个”维环面 (n个圆的Descartes积). 如果∈民={8=(a,…,z∈C”:k≠0,1≤≤n}, 则P,={1EC:zl<|z|=rk,】≤饣≤n}是一个具有半径 r■（r,…·,r)的关于0的多圆柱. 定建1.1。设∈已，如果幂级数∑ad在1收敛，则它在 =0 多圆柱P。,的内部一致收敛。 证明： 1.由于级数在1收敛，所以集合{adi:川≥0}有界.选择 MER,使得对所有p,a<M.如果1∈C且0<q<1,则 9·∈心.设p*=Pg,对∈P*,|8|=z…l名，<l9 ·zf型…lg·z1e=qt*a·1z014…z91a一g.l, 即∑1，·1·g是∑，8的一个控制函数，因而 M·29+-w(会(g） (g 重指标的集合9是可数的，所以存在一个双射①：N。→S。令 b.(8)=am)·6rn, 则∑b.(a)在p*绝对且一致收敛.给定e>0,存在一个EN
使得在P*上∑1b.(81<®.令1，-0({0,1,2，…)，如 0+1 果I是-个满足1C1C3的有限集，则{0,1，·，C(I), 因此 36)-3w-2.6)-五.) -∑.()≤之，bl<,对eP* 所以 ad在p*一致收敛。 2.设KCP,是紧的.{Pg:0<9<1)是P,的-个开覆 盖，因而也是K的开覆盖，但另一方面存在一个有限子覆盖{P, P.如果我们置9=max(9,:,9)则K,eP,而 Pg与1)中的P*类似.因此∑6在K上一致收敛，定理得 证. 口 其次，我们将考奈在什么集合上幂级数收敛，为了简单起见， 我们选择。一0作为我们展开的点，相应的结论在一般情况世是 成立的：： .定义17.一个开集BCC:称为Reinhardt城，如果i∈B →T,=x1r(a)CB. 注释，T,是环面{∈C:z={z}。定义17的条件意 味着xlr(B)=B;一个Reinhardt域由它的在绝对空间中的像 x(B)来刻刘. 定理1.2.一个开集BCC是一个Reinhardt域，当且仅当 存在一个开集WCV使得B=x(W) 证明： 1.设B=t(W),WCV是开的.因为eB,()∈功， 因此x1r(a)Cx(W)aB. 1)原文格n∈N一'中-(T)误为n中(1).一一译者注 6·
2.设B是一个Reinhardt域.那么B=xtr(B),并且只 要证明r(B)是V中的开集就够了，假设t(B)不是开的，则存在 一个点∈(B),它不是x(B)的一个内点，因而是V一t(B)的 一个聚点.设()是V一(B)中收敛于的一个序列，存在具 有=t()的∈C,使得对所有和1≤p≤有{川=r9, 由于()收敛，所以存在一个M∈R,使得对所有i和P有|r川 <M.因此，序列()也是有界的.'从而它必有一个聚点和 一个具有im(,)一的子序列'(i,)。因为x是连续的，所以 r(w)一m(,)一im.-.日是一个Reimhardt域，由此 可得出∈x()Cxr(B)=B.B是和的一个开邻域，所以几 乎所有，必须位于B中，从而几乎所有。=(，)必须位于 (B)中.这是一个矛盾，因而(B)是开的： 0 一个Reinhardt域在绝对空间中的象总是一个（任意形式） 开集，且这个集合的逆象还是这个域。 定义l&.设GCC是一个Reinhardt域. 1,G称为正常的，如果， a,.C是连通的； b.0∈G. 2.G称为完全的，如果 a∈GnC→p,CG. “图2说明定义18当？一2时在绝对空闻的情形. t图z.:(ay完全的Reinhardt城5(b)正常的Reinhardt城
当"=1.时，Reinhardt域是开圆环的并，在这种情况下完全 的和正常的Reinhardt域之间无差别. 显然当n>1时，多圆柱和球K={:|a2+··十{.{2< R}都是正常的和完全的.Reinhardt域.通常我们有 定理13，每个完全的Reinhardt域都是正常的 证明：设G是一个完全的Reinhardt域.存在一个点1∈G nC,且由定义QeP,CG.剩下是证明9是连通的. a.设∈G是一个一般位置的点（即1∈GQC),則和0 之间的连接线段整个地位于P,内，因而位于G内. b.:在一个“轴”上。由于G是开的，所以存在一个邻域U。 ()cG,并且我们能找到一个点∈U.(1)AC,因此有一个U。 中的路径连接1和，和G中的一个路径连接2和0，它们一起 就给出G中一条连接和0的路径。”· 从(a)和(b)可得G是连通的. ▣ 设()= a,d是一个关于原点的幂级数.集合MCC, 在其上(a)收敛，则称为$(8)的收敛集.(8)在M中总是收 敛的，而在M之外是发散的.B((8)一M称为幂级数$()的 收敛区域： 定理14设()一会是C内一个形式得级数期 收敛区域BB(B()是一个完全的Reinhardt域。书在B的 内部一致收敛。 证明： 1.设i∈B,`则J()—{a∈C:a一l<e}aU(z和)X ·XU.(9)是一个具有半径(e,,8)的关于1的多圆柱.对 充分小的8，U(1)位于B内.对飞=1，·，n,我们能找到E U.(z),使得>{.设=(，…，)，则∈B, 1∈。对每个点1∈B选择这样一个固定点2。 2.如果∈B，则存在一个具有，的∈B,)在1