实验11动态法测量固体材料的杨氏模量 【教学目的】 1.理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2.掌握动态法测量杨氏模量的基本方法,学会用动态法测量杨氏模量。 3.了解压电陶瓷换能器的功能,熟悉信号源和示波器的使用 4.培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力 教学要求】 1.了解测量杨氏模量的主要方法,理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 掌握动态法测量杨氏模量的基本方法,学会用动态法测量杨氏模量 3.了解压电换能器的功能,学习信号源和数字存储示波器的使用 4.理解共振频率的基本概念,掌握利用示波器观测共振频率的基本方法 5.了解基频共振的基本概念,学会判断基频共振的基本方法。 6.理解外延法测量物理量的基本思想,掌握外延法测量基频共振频率的基本原理和实现方法。 7.学会直接测量量和间接测量量不确定度的估算,完整表示实验结果。 【实验设计思想与实现方法】 1.杨氏模量 杨氏模量的定义与物理意义,测量杨氏模量的理论硏究和工程应用意义,测量杨氏模量的基本 方法一一静态法和动态法。 静态法的基本原理,拉伸法测量钢材的杨氏模量,压缩法测量金属材料的杨氏模量。静态法的 优缺点,为什么要用动态法? 2.动态法的基本思想 动态法一一动—一振动,振动规律,数学语言描述,四阶偏微分方程,求解出杨氏模量与样品 参数和振动频率的关系,对圆棒试样,直径与长度满足d<L时E=1.6067-f2,测量杨氏模量, 需要测量直径d、长度L、质量m和振动频率等4个物理量 直径d、长度L、质量m的测量,分别提供了直尺、游标卡尺、千分尺和电子天平。实验的关键 是测量振动频率。即如何使样品振动,怎样检测振动状态是基频振动,测出基频共振频率。 动态法的实现 功率函数信号发生器作为激励振动的电源,采用压电换能器实现试样的振动和振动状态的接收, 通过数字存储示波器观测共振状态,鉴定基频共振,测量共振频率。 4.实验装置与使用 【课堂讨论问题】 1.掌握杨氏模量的基本概念,了解测量杨氏模量的主要方法
1 实验 11 动态法测量固体材料的杨氏模量 【教学目的】 1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3．了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。 4．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 【教学要求】 1．了解测量杨氏模量的主要方法，理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3．了解压电换能器的功能，学习信号源和数字存储示波器的使用。 4．理解共振频率的基本概念，掌握利用示波器观测共振频率的基本方法。 5．了解基频共振的基本概念，学会判断基频共振的基本方法。 6．理解外延法测量物理量的基本思想，掌握外延法测量基频共振频率的基本原理和实现方法。 7．学会直接测量量和间接测量量不确定度的估算，完整表示实验结果。 【实验设计思想与实现方法】 1．杨氏模量 杨氏模量的定义与物理意义，测量杨氏模量的理论研究和工程应用意义，测量杨氏模量的基本 方法――静态法和动态法。 静态法的基本原理，拉伸法测量钢材的杨氏模量，压缩法测量金属材料的杨氏模量。静态法的 优缺点，为什么要用动态法？ 2．动态法的基本思想 动态法――动――振动，振动规律，数学语言描述，四阶偏微分方程，求解出杨氏模量与样品 参数和振动频率的关系，对圆棒试样，直径与长度满足d<<L时 2 4 3 1.6067 f d L m E = ，测量杨氏模量， 需要测量直径d、长度L、质量m和振动频率f等4个物理量。 直径d、长度L、质量m的测量，分别提供了直尺、游标卡尺、千分尺和电子天平。实验的关键 是测量振动频率。即如何使样品振动，怎样检测振动状态是基频振动，测出基频共振频率。 3．动态法的实现 功率函数信号发生器作为激励振动的电源，采用压电换能器实现试样的振动和振动状态的接收， 通过数字存储示波器观测共振状态，鉴定基频共振，测量共振频率。 4．实验装置与使用 【课堂讨论问题】 1．掌握杨氏模量的基本概念，了解测量杨氏模量的主要方法
2.掌握固有频率和共振频率的概念,了解用示波器观察共振现象的基本方法 3.了解外延测量法及其适用条件。 4.了解动态法测量杨氏模量的基本原理。 5.了解动态法测量杨氏模量的基本过程及其注意事项。 【注意事项】 千万不能用力拉悬丝,否则会损坏膜片或换能器。悬挂试样或移动悬丝位置时,应轻放轻动, 不能给予悬丝冲击力 2.换能器由厚度约为0.1~0.3mm的压电晶体用胶粘接在olmm左右的黄铜片上构成,故极其脆 弱。测定时一定要轻拿轻放,不能用力,也不能敲打。 3.试样棒不能随处乱放,要保持清洁:拿放时应特别小心,避免弄断悬丝摔坏试样棒。 4.安装试样棒时,应先移动支架到既定位置后再悬挂试样棒 5.实验时,悬丝必须捆紧,不能松动,且在通过试样轴线的同一截面上,一定要等试样稳定之 后才可正式测量。 6.尽可能采用较小的信号激发,激振器所加正弦信号的峰一峰值幅度限制在6V内,这时发生 虚假信号的可能性较小。 7.信号源、换能器、放大器、示波器等测试仪器均应共“地”。 8.悬挂点或支撑点如在节点时极难进行测量:全放在端点,测量虽很方便但易引入系统误差。 9.如试样材质不均匀或呈椭圆形,就会有多个共振频率出现,这时只能通过更换合格试样来解
2 2．掌握固有频率和共振频率的概念，了解用示波器观察共振现象的基本方法。 3．了解外延测量法及其适用条件。 4．了解动态法测量杨氏模量的基本原理。 5．了解动态法测量杨氏模量的基本过程及其注意事项。 【注意事项】 1．千万不能用力拉悬丝，否则会损坏膜片或换能器。悬挂试样或移动悬丝位置时，应轻放轻动， 不能给予悬丝冲击力。 2．换能器由厚度约为0.1～0.3mm的压电晶体用胶粘接在0.1mm左右的黄铜片上构成，故极其脆 弱。测定时一定要轻拿轻放，不能用力，也不能敲打。 3．试样棒不能随处乱放，要保持清洁；拿放时应特别小心，避免弄断悬丝摔坏试样棒。 4．安装试样棒时，应先移动支架到既定位置后再悬挂试样棒。 5．实验时，悬丝必须捆紧，不能松动，且在通过试样轴线的同一截面上，一定要等试样稳定之 后才可正式测量。 6．尽可能采用较小的信号激发，激振器所加正弦信号的峰－峰值幅度限制在6V内，这时发生 虚假信号的可能性较小。 7．信号源、换能器、放大器、示波器等测试仪器均应共“地”。 8．悬挂点或支撑点如在节点时极难进行测量；全放在端点，测量虽很方便但易引入系统误差。 9．如试样材质不均匀或呈椭圆形，就会有多个共振频率出现，这时只能通过更换合格试样来解 决
(二)实验报告 弹性模量包括杨氏模量(E)和切变模量(G),是表征固体材料弹性性质的重要力学参数,反 映了固体材料抵抗外力产生形变的能力。弹性模量也是进行热应力计算、防热与隔热层计算、选用 机械构件材料的主要依据之一。因此,精确测量弹性模量对理论研究和工程技术都具有重要意义 杨氏模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变的比值,其数值的大小与材料的结 构、化学成分和加工制造方法等因素有关 杨氏模量的测量是物理学的基本测量之一,属于力学的范围。测量杨氏模量有多种方法,可分 为静态法、动态法和波传播法三类。静态法(包括拉伸法、扭转法和弯曲法)通常适用于在大形变 及常温下测量金属试样。静态法测量载荷大、加载速度慢并伴有弛豫过程,对脆性材料(如石墨、 玻璃、陶瓷等)不适用,也不能在高温状态下测量。波传播法(包括连续波法和脉冲波法)所用设 备复杂、换能器转变温度低且价格昂贵,普遍应用受到限制。动态法(又称共振法或声频法)包括 弯曲(横向)共振法、纵向共振法和扭转共振法,其中弯曲共振法所用设备精确易得,理论同实验 吻合度妤,适用于各种金属及非金属(脆性〕材料的测量,测定的温度范围极广,可从液氮温度至 3000℃左右。由于在测量上的优越性,动态法在实际应用中已经被广泛采用,也是国家标准 (GB2105-91)推荐使用的测量杨氏弹性模量的一种方法。本实验就是采用动态弯曲共振法测定常 温条件下固体材料的杨氏弹性模量 【实验目的】 1.理解动态法测量杨氏模量的基本原理 2.掌握动态法测量杨氏模量的基本方法,学会用动态法测量杨氏模量 3.了解压电陶瓷换能器的功能,熟悉信号源和示波器的使用。 4.培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力 【实验原理】 如图1所示,长度L远远大于直径d(L>>d)的一细长棒,作微小横振动(弯曲振动)时满足的 动力学方程(横振动方程)为 any SOy=0 y ax4 EJat2 棒的轴线沿x方向,式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移, E为杨氏模量,单位为Pa或Nm2;p为材料密度;S为截面积:图1细长棒的弯曲振动 某一截面的转动惯量,J=,y2ds 横振动方程的边界条件为:棒的两端(x=0、L)是自由端,端点既不受正应力也不受切向力。用 分离变量法求解方程(1),令yx,1)=X(x)T(t),则有 dex 1 d-t dx A T
3 （二）实验报告 弹性模量包括杨氏模量（E）和切变模量（G），是表征固体材料弹性性质的重要力学参数，反 映了固体材料抵抗外力产生形变的能力。弹性模量也是进行热应力计算、防热与隔热层计算、选用 机械构件材料的主要依据之一。因此，精确测量弹性模量对理论研究和工程技术都具有重要意义。 杨氏模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变的比值，其数值的大小与材料的结 构、化学成分和加工制造方法等因素有关。 杨氏模量的测量是物理学的基本测量之一，属于力学的范围。测量杨氏模量有多种方法，可分 为静态法、动态法和波传播法三类。静态法（包括拉伸法、扭转法和弯曲法）通常适用于在大形变 及常温下测量金属试样。静态法测量载荷大、加载速度慢并伴有弛豫过程，对脆性材料（如石墨、 玻璃、陶瓷等）不适用，也不能在高温状态下测量。波传播法（包括连续波法和脉冲波法）所用设 备复杂、换能器转变温度低且价格昂贵，普遍应用受到限制。动态法（又称共振法或声频法）包括 弯曲（横向）共振法、纵向共振法和扭转共振法，其中弯曲共振法所用设备精确易得，理论同实验 吻合度好，适用于各种金属及非金属（脆性）材料的测量，测定的温度范围极广，可从液氮温度至 3000℃左右。由于在测量上的优越性，动态法在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准 （GB/T2105-91）推荐使用的测量杨氏弹性模量的一种方法。本实验就是采用动态弯曲共振法测定常 温条件下固体材料的杨氏弹性模量。 【实验目的】 1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3．了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。 4．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 【实验原理】 如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的 动力学方程（横振动方程）为 0 2 2 4 4 = + EJ t S y x y （1） 棒的轴线沿x方向，式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移， E为杨氏模量，单位为Pa或N/m2；ρ为材料密度；S为截面积；J为 某一截面的转动惯量， = s J y ds 2 。 横振动方程的边界条件为：棒的两端(x=0、L)是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用 分离变量法求解方程（1），令 y(x,t) = X(x)T(t) ，则有 2 2 4 4 1 1 dt d T EJ T S dx d X X = − • （2） y x x O 图 1 细长棒的弯曲振动 y x x L
由于等式两边分别是两个变量x和r的函数,所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成 立。假设此常数为K4,则可得到下列两个方程 dtx -K4X=0 (3) d- K 如果棒中每点都作简谐振动,则上述两方程的通解分别为 jX(x)=a chK'x+a2shKx+ a3 cos Kx+a4 sin Kx IT(=bcos(ot+) 于是可以得出 y(x, t=(a,chKx+a2shKx+a3 cos Kx+a4 sin Kr). bcos(ot +o) 式中 KEJ 式(7)称为频率公式,适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点(或支撑 点)在试样的节点,则根据边界条件可以得到 采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系 KnL=0,4.730,7.853,10.996,14.137 其中第一个根KL=0对应试样静止状态:第二个根记为KL=4730,所对应的试样振动频率称为基振 频率(基频)或称固有频率,此时的振动状态如图2(a)所示;第三个根K2L=7.853所对应的振动状 态如图2(b)所示,称为一次谐波。由此可知,试样在作基频振动时存在两个节点,它们的位置分 别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K值代入频率公式,可得到杨氏模量为 0.776L 0.224L K1L=4.730 K2L=7853 (a)n=1 2 图2两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形 E=1978×10-325/2-7870×04m, (10) 如果试样为圆棒(d<L,则/≈a,所以式(10)可改写为 64 L3 E=1.6067 (11) 同样,对于矩形棒试样则有
4 由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成 立。假设此常数为K 4，则可得到下列两个方程 0 4 4 4 − K X = dx d X （3） 0 4 2 2 + T = S K EJ dt d T （4） 如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为 = + = + + + ( ) cos( ) ( ) 1 2 3 cos 4 sin T t b t X x a chKx a shKx a Kx a Kx （5） 于是可以得出 ( , ) ( cos sin ) cos( ) y x t = a1 chKx + a2 shKx + a3 Kx + a4 Kx • b t + （6） 式中 2 1 4 = S K EJ （7） 式（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑 点）在试样的节点，则根据边界条件可以得到 cosKL • chKL = 1 (8) 采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系 KnL=0，4.730，7.853，10.996，14.137，…… (9) 其中第一个根K0L=0对应试样静止状态；第二个根记为K1L=4.730，所对应的试样振动频率称为基振 频率（基频）或称固有频率，此时的振动状态如图2（a）所示；第三个根K2L=7.853所对应的振动状 态如图2（b）所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分 别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K1值代入频率公式，可得到杨氏模量为 2 3 2 2 4 3 1.9978 10 7.8870 10 f J L m J L S E − − = = （10） 如果试样为圆棒(d<<L)，则 64 4 d J = ，所以式（10）可改写为 2 4 3 1.6067 f d L m E = （11） 同样，对于矩形棒试样则有 (a) n=1 (b) n=2 图 2 两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形
E矩=694642m2 (12) 式中m为棒的质量,/为基频振动的固有频率,d为圆棒直径,b和h分别为矩形棒的宽度和高度。 如果圆棒试样不能满足d<<L时,式(11)应乘上一个修正系数T1,即 E=16067 (13) 上式中的修正系数T1可以根据径长比dL的泊松比查表1得到 表1径长比与修正系数的对应关系 径长比ML 0.01 0.02 0.03 0.05 0.060.080.10 修正系数11.0011.002 0051.00810141019 033 1.055 由式(10)~(12)可知,对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨 氏模量,所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率 本实验只能测出试样的共振频率,物体固有频率/和共振频率是相关的两个不同概念,二者之 间的关系为 上式中Q为试样的机械品质因数。一般Q值远大于50,共振频率和固有频率相比只偏低0.005%,二者 相差很小,通常忽略二者的差别,用共振频率代替固有频率。 1.杨氏模量的测量 信号发生器换能器 换能器 示波器 动态法测量杨氏模量的实验装置如图3所 由信号源1输出的等幅正弦波信号加在发 -3被测件 射换能器(激振器)2上,使电信号变成机械 振动,再由试样一端的悬丝或支撑点将机械振 动传给试样3,使试样受迫作横振动,机械振 图3动态法测量杨氏模量实验原理图 动沿试样以及另一端的悬丝或支撑点传送给 接收换能器(拾振器)4,这时机械振动又转变成电信号,该信号经放大处理后送示波器5显示。当 信号源的频率不等于试样的固有频率时,试样不发生共振,示波器上几乎没有电信号波形或波形很 小,只有试样发生共振时,示波器上的电信号突然增大,这时通过频率计读出信号源的频率即为试 样的共振频率 测出共振频率,由上述相应的公式可以计算出材料的杨氏模量。这一实验装置还可以测量不同 温度下材料的杨氏模量,通过可控温加热炉可以改变试样的温度 2.李萨如图法观测共振频率 实验时也可采用李萨如图法测量共振频率。激振器和拾振器的信号分别输入示波器的X和Y通 道,示波器处于观察李萨如图形状态,从小到大调节信号发生器的频率,直到出现稳定的正椭圆时 即达到共振状态。这是因为,拾振器和激振器的振动频率虽然相同,但是当激振器的振动频率不是
5 2 3 3 6.9464 f bh L m E矩 = （12） 式中m为棒的质量，f为基频振动的固有频率，d为圆棒直径，b和h分别为矩形棒的宽度和高度。 如果圆棒试样不能满足d<<L时，式（11）应乘上一个修正系数T1，即 1 2 4 3 1.6067 f T d L m E = （13） 上式中的修正系数T1可以根据径长比d/L的泊松比查表1得到。 表1 径长比与修正系数的对应关系 径长比d/L 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.10 修正系数T1 1.001 1.002 1.005 1.008 1.014 1.019 1.033 1.055 由式（10）～（12）可知，对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨 氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。 本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率f固和共振频率f共是相关的两个不同概念，二者之 间的关系为 2 4 1 1 Q f固 = f共 + （14） 上式中Q为试样的机械品质因数。一般Q值远大于50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，二者 相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频率。 1．杨氏模量的测量 动态法测量杨氏模量的实验装置如图3所 示。由信号源1输出的等幅正弦波信号加在发 射换能器（激振器）2上，使电信号变成机械 振动，再由试样一端的悬丝或支撑点将机械振 动传给试样3，使试样受迫作横振动，机械振 动沿试样以及另一端的悬丝或支撑点传送给 接收换能器（拾振器）4，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大处理后送示波器5显示。当 信号源的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有电信号波形或波形很 小，只有试样发生共振时，示波器上的电信号突然增大，这时通过频率计读出信号源的频率即为试 样的共振频率。 测出共振频率，由上述相应的公式可以计算出材料的杨氏模量。这一实验装置还可以测量不同 温度下材料的杨氏模量，通过可控温加热炉可以改变试样的温度。 2．李萨如图法观测共振频率 实验时也可采用李萨如图法测量共振频率。激振器和拾振器的信号分别输入示波器的X和Y通 道，示波器处于观察李萨如图形状态，从小到大调节信号发生器的频率，直到出现稳定的正椭圆时， 即达到共振状态。这是因为，拾振器和激振器的振动频率虽然相同，但是当激振器的振动频率不是 图 3 动态法测量杨氏模量实验原理图