《电动力学》课程教学资源（习题解答）第一章 电磁现象的普遍规律

动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 1.根据算符Ⅴ的微分性与矢量性,推导下列公式 V(AB)=B×(V×A)+(B.V)A+Ax(V×B)+(AV) X(VX V)A 解:1)V(A.B)=Bx(V×A)+(B.V)A+Ax(V×B)+(AV)B 首先,算符V是一个微分算符,其具有对其后所有表达式起微分的作用,对于本题, V将作用于A和B。 又V是一个矢量算符,具有矢量的所有性质。 因此,利用公式×(axb)=a·(a·b)-(·a)b可得上式,其中右边前两项是V作用于 A,后两项是V作用于B 2)根据第一个公式,令A=B可得证。 2.设u是空间坐标x,y,z的函数,证明 f(udu df A(u)= A(u)=Vux 证明 1) V(a)=200a1+9(0a1+y()a2=.a1+f.aan+f.ama2=“vn VAu= 0A(u), aAy(u)aA-E(u) dA,(u)Ou dA, (u) Ou, dA=(u) Ou_vtdu A dA V×A() )e+( A A A

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 1 - 1. 根据算符∇ 的微分性与矢量性 推导下列公式 A B B A B A A B A B r r r r r r r r r r ∇( ⋅ ) = × (∇ × ) + ( ⋅∇) + × (∇ × ) + ( ⋅∇) A A A A A r r r r r ( ) 2 1 ( ) 2 × ∇ × = ∇ − ⋅∇ 解 1 A B B A B A A B A B v v v v v v v v v v ∇( ⋅ ) = × (∇ × ) + ( ⋅∇) + × (∇ × ) + ( ⋅∇) 首先 算符∇ 是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 ∇ 将作用于 A B v v 和 又∇ 是一个矢量算符 具有矢量的所有性质 因此 利用公式 c a b a c b c a b v v v v v v v v v × ( × ) = ⋅( ⋅ ) − ( ⋅ ) 可得上式 其中右边前两项是 ∇ 作用于 A v 后两项是∇ 作用于 B v 2 根据第一个公式 令 A v B v 可得证 2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明 ( ) . ( ) ( ) du dA A u u du dA A u u u du df f u r r r r ∇ × = ∇ × ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ 证明 1 u du df e z u du df e y u du df e du df e z f u e y f u e x f u f u x y z x u x y z = ∇ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = ∂ ∂ ( ) r ( ) r ( ) r r r r ( ) 2 du dA u z u dz dA u y u du dA u x u du dA u z A z u y A u x A u A u x y z x y z r r r r r r r r = ∇ ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ = ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ × = z y x y x z x z y x u y z x y z e y A x A e x A z A e z A y A A A u A u x y z e e e A u r r r r r r r r r r r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 De, De=Vux du ay du az du az du ax 3.设r=√x-x)2+(y-y)2+(2-=2)2为源点x到场点x的距离,r的方向规定为从 源点指向场点。 1)证明下列结果,并体会对源变数求微商(V80+22)与对场变数求 微商(V=Ex+,+2)的关系 Vr=-V=-V-=-V-= 0.V V3=0(F≠0) (最后一式在人r=0点不成立,见第二章第五节)。 2)求 V·F,V×F,(a·V,V(a·P)V[ E. sin(k,)及V×[Esin(k·F),其中ak及E均为常矢量。 证明;V·r= a(x-x),a(y-y),a(=-2) az V×F 0 ax ay GaV)=(a2x+a1,+a:e1)(x+p,+:)x-x)x+(y-y)e,+(2-2)] (a1x+a,+a2(x-x)e+(y-y)e,+(2-2)e2] ae ta V(a·F)=a×(V×F)+(a·V)+rx(Vxa)+(F,V)·a =(aV)+F×(V×a)+(Fa)a =a+F×(V×a)+(V)·a V[ E sin(k,F)=(sin(k·F)E。+sin(k·F(v·E)

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 2 - du dA e u y u du dA x u du dA e x u du dA z u du dA e z u du dA y u du dA z y x y x z x y z r r r r r r r r r r = ∇ × ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ( ) ( ) ( ) 3. 设 ' 2 ' 2 ' 2 r = (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) 为源点 ' x 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从 源点指向场点 1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 ( ) ' ' ' ' z e y e x ex y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = r r r 与对场变数求 微商( ) z e y e x ex y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = r r r 的关系 , 0, 0.( 0) 1 1 , 3 ' 3 3 3 ' ' ∇ = −∇ = ∇ = −∇ = − ∇ × = ∇ ⋅ = −∇ = r ≠ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r (最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节) 2 求 r, r,(a )r, (a r), [E0 sin(k r)]及 [E0 sin(k r)],其中a, k及E0均为常矢量 r r r r r r r r r r r r r r r ∇ ⋅ ∇ × ⋅∇ ∇ ⋅ ∇ ⋅ ⋅ ∇ × ⋅ 证明 3 ( ) ( ) ( ) ' ' ' = ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ∇ ⋅ = z z z y y y x x x r r 0 ' ' ' = − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ × = x x y y z z x y z e e e r x y z r r r r ( ) [( ) ( )][( ') ( ') ( ') ] x x y y z z x y z x y z e x x e y y e z z e z e y e x a r a e a e a e v r v v v v v v v r v − + − + − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∇ = + + ⋅ ( )[( ') ( ') ( ') ] x y z x y z x x e y y e z z e z a y a x a v r v − + − + − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = a e a e a e a x x y y z z v v v v = + + = a r a r a r r a r a v v v v v v r v v v ∇( ⋅ ) = × (∇ × ) + ( ⋅∇) + × (∇ × ) + ( ⋅∇)⋅ a r r a r a a v v v v v r v = ( ⋅∇) + ×(∇× ) + ( ⋅ )⋅ a r a r a v v v v v = + × (∇ × ) + ( ⋅∇)⋅ [ sin( )] [ (sin( )] sin( )( ) 0 0 E0 E k r k r E k r r r r r r r r r r ∇ ⋅ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅ + ⋅ ∇ ⋅

动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 [ sin(k r)e,+sin(k- r)e,+o sin(k r)e Ec cos(k·F)(k,ex+k,e,+k2e:)E0=cos(k,F)k·E) V×[Esin(k·P=[sin(kf×E+sin(k·P)V×E 4.应用高斯定理证明 dV×∫=dS 应用斯托克斯( Stokes)定理证明 Vφ=dp 证明:1)由高斯定理 dv·g=9ds·g ag r. ag,, ag )dv=p g, dS, +8, dS, +g 而[Vxf f-f)i+( -fj+(f -)k]dI j[a(k-f万)+(7-k)+G1-f 又:55×7=dS,-f4S+(45:-45,)+(,46,-dS,) =4(k-f)4S+(7-/416,+(1-f1)dS 若令H=J,k-f1,H,=J1-fk,Hz=Jx-f,1 则上式就是: v,d=as.,高斯定理,则证毕 2)由斯托克斯公式有 乐d=v×7 乐/:d=(an+,d,+/) f·dS f--f ds+(f-f , -f)ds 而=乐(,+d,+9m)

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 3 - 0 [ sin( ) sin( ) sin(k r)e ]E z k r e y k r e x x y z r r r r r r r r r ⋅ ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ = cos( )( ) cos( )( ) k r kx ex k y ey kzez E0 k r k E r r r r r r r r r r = ⋅ + + = ⋅ ⋅ 0 0 0 [E sin(k r)] [ sin(k r)] E sin(k r) E r r r r r r r r r ∇ × ⋅ = ∇ ⋅ × + ⋅ ∇ × 4. 应用高斯定理证明 ∫ ∫ ∇ × = × V S dV f dS f r r r 应用斯托克斯 Stokes 定理证明 ∫ ∫ ×∇ = S L dS φ dl φ r r 证明 1)由高斯定理 ∫ ∫ ∇ ⋅ = ⋅ V S dV g dS g r r r 即 ∫ ∫ = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ S x x y y z z V x y z dV g dS g dS g dS z g y g x g ( ) 而 f k dV y f x f j x f z f i z f y fdV z y x z y x V [( ) ( ) ( ) ] r r r r ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ × = ∫ ∫ ∫ − ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + ∂ ∂ = f j f i dV z f i f k y f k f j x y z z x x y [ ( ) ( ) ( )] r r r r r r 又 dS f [( f dS f dS )i ( f dS f dS ) j ( f dS f dS )k ] y S z y y z x z z x y x x S r r r r r ∫ ∫ × = − + − + − ∫ = y − z x + z − x y + x − y dSz ( f k f j)dS ( f i f k )dS ( f j f i ) r r r r r r 若令 H f k f j H f i f k H f j f i x y z y z x Z x y r r r r r r = − , = − , = − 则上式就是 ∫ ∫ ∇ ⋅ = ⋅ V S HdV dS H r r r ,高斯定理 则证毕 2)由斯托克斯公式有 ∫ ∫ ⋅ = ∇ × ⋅ l S f dl f dS r r r r ∫ ∫ ⋅ = + + l x x y y z z l f dl ( f dl f dl f dl ) r r ∫ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ × ⋅ = S z y x x z y y x z S f dS y f x f dS x f z f dS z f y f dS ( ) ( ) ( ) r r 而 ∫ ∫ = + + l i x j y k z l dl φ (φ dl φ dl φ dl ) r

动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 529(2△)+19单,图心,从 k-opD) Dds ay 若令x=中,,=,厂=9 则证毕 5已知一个电荷系统的偶极矩定义为 P()=p(x,0)d 利用电荷守恒定律V.7+9=0证明P的变化率为: =[J(x,1)d 证明:OP xdv 2.=x=-()x),M=J(-V(x万M d 若S→,则(x)d5=0.(=0) ,=J,(P)= dP 即 dt j(, t di 6.若m是常矢量,证明除R=0点以外,矢量Asm×R 的旋度等于标量q= m·R 的梯 度的负值,即 其中R为坐标原点到场点的距离,方向由原点指向场点 m×R) V×A=XR-V×[m×(V=(Vm+(mV-V(-(V)V示

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 4 - ∫ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ×∇ = S y z z x x y S dS k x dS y dS j z dS x dS i y dS z dS r r r r ( ) ( ) ( ) φ φ φ φ φ φ φ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = x y z i dS y j x k dS x i z j dS z k y ( ) ( ) ( ) φ r φ r φ r φ r φ r φ r 若令 x i y j z k f = φ , f = φ , f = φ 则证毕 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ( ) ( , ) , ' ' ' ∫ = V P t x t x dV r r r ρ 利用电荷守恒定律 = 0 ∂ ∂ ∇ ⋅ + t J r ρ 证明 P r 的变化率为 ∫ = V J x t dV dt dP ' ' ( , ) r r r 证明 ∫ ∫ = − ∇ ∂ ∂ = ∂ ∂ V V x dV j x dV t t P ' ' ' ' ' ' ' r r r r r ρ ∫ ∫ ∫ = − ∇ = − ∇ ⋅ − ∇ ⋅ = − ∇ ⋅ ∂ ∂ V x V x j x dV x j x j dV j x j dV t P ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( ) [ ( ) ( ) ] ( ( ) r r r r r ∫ ∫ = − ⋅ S j xdV xj dS r r ' 若 → ∞, ( )⋅ = 0,( = 0) ∫ S S xj dS j r r r 则 同理 ∫ ∫ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ' ' ( ) ,( ) j dV t j dV t y y z z ρ ρ r r 即 ∫ = V j x t dV dt dP ' ' ( , ) r r r 6. 若 m r 是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量 3 R m R A r r r × = 的旋度等于标量 3 R m R r r ⋅ ϕ = 的梯 度的负值 即 ∇ × A = −∇ϕ r 其中 R 为坐标原点到场点的距离 方向由原点指向场点 证明 m r m r r m r m R m R m R A v v v v v v v v ) ] 1 )] [( 1 [ ( 1 ( ) 1 )] ( ) 1 [ ( ) ( 3 = −∇ × × ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅∇ ∇ − ∇ ⋅ ∇ − ∇ ⋅∇ × ∇ × = ∇ ×

动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 mV)V-,(r≠0) m·R Vo=V(R2)=-Vm. (VP=-mxlVX(P-(VP)x(VXm)-(m v)vr [(V-)m=-(m V)V 7.有一内外半径分别为r1和n2的空心介质球,介质的电容率为E,使介质内均匀带静止自 由电荷pr,求 (1)空间各点的电场 (2)极化体电荷和极化面电荷分布 解:1)5D54s=Jd,G>b) 即:D.4m2=2(r3-n3 E (<t<)4d(-g 由 (3-3)pr,(r>n2) PF,(r>2) r<n时,E=0 2)P=ExE E DE p=-p=(-60E=(-=)7p门=-5p(-5 Eo Pr(3-0) 考虑外球壳时,r=2,n从介质1指向介质2(介质指向真空),P2n=0

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 5 - ,( 0) 1 = ( ⋅∇)∇ r ≠ r m v r m m r r m r m R m R 1 ) ( ) ( ) 1 )] ( 1 )] [ ( 1 ( ) [ ( 3 = −∇ ⋅ ∇ = − × ∇ × ∇ − ∇ × ∇ × − ⋅∇ ∇ ⋅ ∇ = ∇ v v v v v v ϕ r m m r 1 ) ] ( ) 1 −[(∇ ⋅∇ = − ⋅∇ ∇ v v ∴∇ × A = −∇ϕ v 7 有一内外半径分别为 r1和 r2的空心介质球 介质的电容率为ε 使介质内均匀带静止自 由电荷 ρ f 求 1 空间各点的电场 2 极化体电荷和极化面电荷分布 解 1 ∫ ∫ D ⋅ dS = f dV S ρ r r , (r2>r>r1) f D r r r ρ π π ( ) 3 4 4 3 1 2 3 即 ⋅ = − ,( ) 3 ( ) 2 1 3 3 1 3 r r r r r r r E f > > − ∴ = r r ε ρ 由 ( ) ,( ) 3 4 2 3 1 3 2 0 0 r r r r Q E dS f f S ⋅ = = − > ∫ ρ ε π ε r r ,( ) 3 ( ) 2 3 0 3 1 3 2 r r r r r r E f > − ∴ = r r ρ ε r r1时 E 0 r < 2) P eE E E r r r r ( ) 0 0 0 0 0 ε ε ε ε ε ε χ ε = − − = ( ) 3 ] 3 ( ) ( ) ( ) [ 3 3 0 1 3 3 1 3 0 0 r r r r r r r r P P E f f r r r r r ∇ ⋅ − − = − − ∴ = −∇ ⋅ = − − ∇ ⋅ = − − ∇ ⋅ ρ ε ε ε ρ ε ρ ε ε ε ε f ρ f ε ε ε ρ ε ε ε (3 0) ( ) 3 0 − 0 − = − − = − σ P = P1n − P2n 考虑外球壳时 r r2 n 从介质 1 指向介质 2 介质指向真空 2 = 0 P n