第五章均匀平面波在无界空间中的传播 几个重要概念 理想媒质:导电率为零的媒质,也称无耗媒质。 平面波:波阵面为平面的电磁波 均匀平面波:等相面为平面,且在等相面上,电、磁场量的振幅、方向、相位处处相等 的电磁波 、亥姆霍兹方程的平面波解 无源区 0.J=0 均匀、各向同性理想媒质,V2E+k2E=0 OEOE OE +k2E=0 考虑沿z方向传播的均匀平面波 E→E(z)E,(2) H→H2()、H,(=) diE 则 k2E=0 d-e ,2+kE,=0 Ith =o d-H a2+kH,=0 二阶常微分方程,形式相同,解也相同。 其解:E2(x)=Ae+A1e一一解的复数形式 待定常数,由边界条件确定 E,(二,1)=Re(Ae+A2e)e"---瞬时表达式 +p)+E,m cos(at+ k=+,) 解的物理意义: 1)A EIm cos(ot-kz+u) 由图5.1.4可知,随时间t增加,波形向+z方向平移,故为表示向+方向传播的均匀 平面波函数,同理,e向-z方向传播的均匀平面波函数
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播 几个重要概念 理想媒质：导电率为零的媒质，也称无耗媒质。 平面波：波阵面为平面的电磁波。 均匀平面波：等相面为平面，且在等相面上，电、磁场量的振幅、方向、相位处处相等 的电磁波。 一、亥姆霍兹方程的平面波解 无源区 = 0, J = 0 均匀、各向同性理想媒质， 0 2 2 E + k E = 0 2 2 2 2 2 2 2 + = + + k E z E y E x E 考虑沿 z 方向传播的均匀平面波， ( ) ( ) ( ) ( ) H H z H z E E z E z x y x y 、 、 则 0 2 2 2 + x = x k E dz d E 0 2 2 2 + y = y k E dz d E 0 2 2 2 + x = x k H dz d H 0 2 2 2 + y = y k H dz d H 二阶常微分方程，形式相同，解也相同。 其解： jkz jkz x E z A e A e 1 2 ( ) = + − ——解的复数形式 待定常数，由边界条件确定 cos( ) cos( ) ( , ) Re[( ) ] 1 1 2 2 1 2 = − + + + + = + − − − − E t k z E t k z E z t A e A e e m m jkz jkz j t x 瞬时表达式 解的物理意义： 1） cos( ) 1 1 − +1 − A e E t k z m jkz 由图 5.1.4 可知，随时间 t 增加,波形向+z 方向平移,故为表示向+z 方向传播的均匀 平面波函数,同理, jkz e 向-z 方向传播的均匀平面波函数
2)平面波解的物理意义 表示沿Z方向(+Z,-Z)传播的均匀平面波的合成波 传播特性 以+z方向传播的均匀平面波为例 E=ee ee-/(e-ooiE=eE cos(ot-kx+o) r=ex+e, y+e: k=ke 空间任意点矢径 k·F=kz=ke 沿+z方向传播的平面波 波的等相面是垂直于Z轴的平面且为常数。 1、频率:Q=2丌→∫= 周期:7=2x 波数k:k为2丌距离内包含的波长数(相位常数,波传播单位距离的相位变化) 波长:2=2x2 波矢量:k=KR:表示波传播方向的单位矢量。 3、相位速度(波速):波上任一固定点其相位为一恒定值,即o-kz= const dt k 关于相速的说明:1)相位速度仅与媒质特性有关; 2)真空中,y1=3×10(m/s)=光速 logo 4、场量E、H的关系 E=E H=V×(Enek“)=e V×e OB j×Ex
2) 平面波解的物理意义 表示沿 Z 方向(+Z,-Z)传播的均匀平面波的合成波. 二、传播特性 以+z 方向传播的均匀平面波为例 ˆ ˆ cos( ) ( ) = = − + − − E e E ee E e E t k x x xm j kz x xm 或 空间任意点矢径 k r k z ke r 沿 z方向传播的平面波 r e x e y e z k ke z x y z z • = = • + = + + = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 波的等相面是垂直于 Z 轴的平面且为常数。 1、 频率： 2 = 2 f f = 周期： 1 2 = = f T 2、 波数 k ： k为2 距离内包含的波长数（相位常数，波传播单位距离的相位变化） 波长： k f 2 2 1 = = = 波矢量： k kk ˆ = k ˆ ：表示波传播方向的单位矢量。 3、 相位速度（波速）： 波上任一固定点其相位为一恒定值，即 t − kz = const ， 1 = = = dt k dz v p 关于相速的说明：1）相位速度仅与媒质特性有关； 2）真空中， = = 310 ( / ) = 光速 1 8 0 0 0 v m s p r p p v v = r =1 4、 场量 E 、 H 的关系 j B t B e E E e jk r xm = − = − = − • jk r xm y jk r xm jk E e z E j H E e e − • − • − − = = ( ) ˆ H k E ey E ˆ ˆ = =
同理可推得=xk H==kxE →E、H、k三者相互垂直,且满足右手螺旋关系 5、本征阻抗(波阻抗) 均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度之比为一定值,将其定义为媒质的本征阻抗。 7 真空:no o 120r≈377() 10 36丌 结论:在自由空间中传播的电磁波,电场幅度与磁场幅度之比为377。 6、能量密度和能流密度 理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。 电磁波的能量密度:w=wn+n=EE2=h 电磁波的能流密度:S=E×H=E×k×E=团k 7 平均能流密度§。=RExF]=1k 复数形式 讨论 Eoe E=E0co(om-kF+9)--实数形式 般情况:k=enk=e2kx+e,k,+ek=,F=ex+e,y+e k·F=k2x+k,y+k二
同理可推得 E H k ˆ = 说明： = H k E E H k = = ˆ 1 ˆ E H k 、 、ˆ 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。 5、 本征阻抗（波阻抗） 均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度之比为一定值，将其定义为媒质的本征阻抗。 = = () H E 真空： 120 377 ( ) 10 36 1 4 10 9 7 0 0 0 = = = − − 结论：在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场幅度之比为 377。 6、 能量密度和能流密度 e m m e w w w H E E w E = = = = = 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。 电磁波的能量密度： 2 2 w = we +wm = E = H 电磁波的能流密度： S E H E k E E k ˆ 1 ˆ 1 2 = = = 平均能流密度： S E H E k av ˆ 2 1 Re[ ] 2 1 2 * = = 讨论： = − • + − − = − − − • + 实数形式 复数形式 cos( ) 0 0 E E t k r E E e jk r j 一般情况： k e k e k e k e k r e x e y e z n x x y y z z x y z = ˆ = ˆ + ˆ + ˆ , = ˆ + ˆ + ˆ k r k x k y k z = x + y + z •
E=E。-(x+4=)p 沿任意方向传播的电磁波 E= Eo cos[ot-(k x+k,y+k =)+o 传输特性总结 1)E、H、k三者相互垂直,且满足右手螺旋关系; 2)电场、磁场的振幅不随传播距离增加而改变 3)电场、磁场同频率,同相位 4)电磁波的相速与频率无关 5)电场能量密度等于磁场能量密度。 例5.1.1,5.1.4,5.1.3 5.2波的极化 极化的定义 波的极化:指空间某固定位置处电场矢量随时间变化的特性。 极化的描述:用电场强度矢量E终端端点在空间形成的轨迹表示 二、极化的分类 直线极化:电场仅在一个方向振动,即电场强度矢量端点的轨迹是一条直线。 圆极化:电场强度矢量端点的轨迹是一个圆 椭圆极化:电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆。 注意:电磁波的极化方式由辐射源(即天线)的性质决定 三、极化的判断 两个相互正交的线极化波叠加,可得到不同极化方式的合成波。 由电磁波电场场量或磁场场量两个正交分量间的幅度和相位关系,可以判断波的极化 方式 设均匀平面电磁波向+Z方向传播,则一般情况下其电场可以表示为 E=E.E.+、E 式中,E=Ecos(m-kz+9) E=Em cos(ot-k=+,) 由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同,故选取二=0点作为分析点,即 E=Em cos(@t +o,) 合成波的电场 cos(at+ou) 场量表达式中,Em、Em、Q2、9,的取值将决定波的极化方式 1、当92-9,=0或x时, E=E,+,E,=VE2+E,2=√Em2+Em2cos(+g)一振幅随时间变化 电场与x轴的夹角为
= − + + + = − + + + cos[ ( ) ] 0 ( ) 0 E E t k x k y k z E E e x y z j k x k y k z j x y z 沿任意方向传播的电磁波 传输特性总结： 1） E H k 、 、 ˆ 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系； 2）电场、磁场的振幅不随传播距离增加而改变； 3）电场、磁场同频率，同相位； 4）电磁波的相速与频率无关； 5）电场能量密度等于磁场能量密度。 例 5.1.1 ，5.1.4 ，5.1.3 5.2 波的极化 一、极化的定义 波的极化：指空间某固定位置处电场矢量随时间变化的特性。 极化的描述：用电场强度矢量 E 终端端点在空间形成的轨迹表示。 二、极化的分类 直线极化：电场仅在一个方向振动，即电场强度矢量端点的轨迹是一条直线。 圆极化：电场强度矢量端点的轨迹是一个圆。 椭圆极化：电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆。 注意：电磁波的极化方式由辐射源（即天线）的性质决定。 三、极化的判断 两个相互正交的线极化波叠加，可得到不同极化方式的合成波。 由电磁波电场场量或磁场场量两个正交分量间的幅度和相位关系，可以判断波的极化 方式。 设均匀平面电磁波向+Z 方向传播，则一般情况下其电场可以表示为 x x yEy E = e ˆ E + e ˆ 式中， cos( ) cos( ) y ym y x xm x E E t kz E E t kz = − + = − + 由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同，故选取 z = 0 点作为分析点，即 cos( ) cos( ) y ym y x xm x E E t E E t = + = + 合成波的电场 场量表达式中， Exm、Eym、 x、 y 的取值将决定波的极化方式。 1、 当 x − y = 0 或 时， ˆ ˆ cos( ) 2 2 2 2 E = exEx + eyEy = Ex + Ey = Exm + Eym t + ---振幅随时间变化 电场与 x 轴的夹角为：
E E cig Irate 结论:当91-9,=0或z时,电磁波为线极化波。 且E=E时 E q2) E,= E coS(o+q2土)=干EmSm(ot+q2) 合成电场的模及其X轴的夹角为 E=√E2+E,2=|园= = const E 9)(,-9,=%2 +(q,-, 合成电场矢量终端形成轨迹为一圆,电场矢量与X轴夹角随时间变化而改变 当9,-9n=x且En=E时,可以判断出电场矢量终端运动方向与电磁 波传播方向满足左手螺旋关系一一左旋圆极化波。 当q,-,= 且E=E时,电场矢量终端运动方向与电磁波传播 方向满足右手螺旋关系一一右旋圆极化波 说明:上述结论适用于沿+Z方向传播的均匀平面波。 3、其他情形 若令91=0,0,=9则 Er=Emm cos(ot) E,=Eym cos(ot-p)=Eym( cos at cos o+ sin ot sn p) 消去t, EE EE E →(-)2+(2x)2-22·cosg=sin2g EE
− = − = = − = = = ( ) ( 0) x y xm ym x y xm ym x y const E E arctg const E E arctg E E arctg 结论：当 x − y = 0 或 时，电磁波为线极化波。 2、 当 y − x = 且 Exm = Eym 2 时， ) sin( ) 2 cos( cos( ) y ym x ym x x xm x E E t E t E E t = + = + = + 合成电场的模及其 X 轴的夹角为： + − = − − + − = = = = + = = ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2 2 2 x y x x y x x y x y xm t t E E arctg E E E E E const 合成电场矢量终端形成轨迹为一圆，电场矢量与 X 轴夹角随时间变化而改变。 当 2 y x xm ym E E − = = 且 时，可以判断出电场矢量终端运动方向与电磁 波传播方向满足左手螺旋关系——左旋圆极化波。 当 y − x = − 且 Exm = Eym 2 时，电场矢量终端运动方向与电磁波传播 方向满足右手螺旋关系——右旋圆极化波。 说明：上述结论适用于沿+Z 方向传播的均匀平面波。 3、 其他情形 若令 x = 0, y = 则 E E cos(t) E E cos(t ) E (cost cos sin tsin ) x = xm y = ym − = ym + 消去 t, 2 2 2 2 cos 1 ( ) sin ( ) ( ) 2 cos sin y x x ym xm xm y y x x ym xm xm ym E E E E E E E E E E E E E E = + − + − • =