《电动力学》课程教学资源（习题解答）第三章 静磁场

电动力学习题解答参考 第三章静磁场 1.试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B0,写出A的两种不同表示式,证明两者之 差是无旋场。 解:B是沿z方向的均匀的恒定磁场,即B=BE:,且B0=VxA 在直角坐标系中,V×A=( aA dA OA aA aA aA aA Oy 0z 如果用在直角坐标系中表示瓦,即:{24-0=0 aA, aAx=0 由此组方程,可看出A有多组解,如: 解1:A,=Az=0,41=-B0y+f(x) 即:A=[-B0y+f(x)]l Rf 2: A=A=0, A= Box+g() 即:A=[B0x+g(y), 解1和解2之差为:△A=[-B0y+f(x)-[B0x+g()l 则 V×(△4) △A)2O(△4 +[ a(△A)2O(△) l+(△A),_c(△) ay az 这说明两者之差是无旋场。 2.均匀无穷长直圆柱形螺线管,每单位长度线圈匝数为n,电流强度为I,试用唯一性定 理求管内外磁感应强度B 解:根据题意,得右图,取螺线管的中轴线为z轴 本题给定了空间中的电流分布,故可由B=0rJ×F d求解磁场分布,又J在导 线上,所以B=M×F 1)螺线管内:由于螺线管是无限长理想螺线管,故,由电磁学的有关知识知,其内部磁

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 1 - 1. 试用 A r 表示一个沿 z 方向的均匀恒定磁场 B0 r 写出 A r 的两种不同表示式 证明两者之 差是无旋场 解 B0 r 是沿 z 方向的均匀的恒定磁场 即 z B Be r r 0 = 且 B A r r 0 = ∇ × 在直角坐标系中 z y x y x z x z y e y A x A e x A z A e z A y A A r r r r ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ × = 如果用 A r 在直角坐标系中表示 B0 r 即          = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 0 0 0 y A x A x A z A z A y A y x x z y z 由此组方程 可看出 A r 有多组解 如 解 1 0, ( ) 0 A A A B y f x y = Z = x = − + 即 x A B y f x e r r [ ( )] = − 0 + 解 2 0, ( ) 0 A A A B x g y x = z = Y = + 即 y A B x g y e r r [ ( )] = 0 + 解 1 和解 2 之差为 x y A B y f x e B x g y e r r r [ ( )] [ ( )] ∆ = − 0 + − 0 + 则 z y x y x z x z y e y A x A e x A z A e z A y A A r r r r ] ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) [ ∂ ∂ ∆ − ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ − ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ − ∂ ∂ ∆ ∇ × ∆ = 0 这说明两者之差是无旋场 2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管 每单位长度线圈匝数为 n 电流强度为 I 试用唯一性定 理求管内外磁感应强度 B 解 根据题意 得右图 取螺线管的中轴线为 z 轴 本题给定了空间中的电流分布 故可由 ∫ × = ' 4 3 0 dV r J r B r r r π µ 求解磁场分布 又 J r 在导 线上 所以 ∫ × = 3 0 4 r Jdl r B r r r π µ 1 螺线管内 由于螺线管是无限长理想螺线管 故 由电磁学的有关知识知 其内部磁

电动力学习题解答参考 第三章静磁场 场是均匀强磁场,故只须求出其中轴线上的磁感应强度,即可知道管内磁场 由其无限长的特性,不妨取场点为零点,以柱坐标计算 r=-acosper -asinpe-=e d=-ado'sin o'er + ado cos o'e dl xr=(adpsin'e, ado cos 'enx( -, -a'e -azr'coso'do' e, -az'sino'dp' e, +a'do'e 取由z-2+dz'的以小段,此段上分布有电流nld B=rnd(-az'coso'dp'e,-ar'sin o'do'e, +a'd.) a2+(-)y d nle +(c2)3 2)螺线管外部:由于是无限长螺线管,不妨就在ⅹoy平面上任取一点P(p,Q.0)为场点 (p>a) I=li-x=V(pcos o' )2+(psin")2+. +a ap cos(o-) r=x-x=(pcos -acos o')e+(psin p-asin )e-ae =-ado'sin o'e +ado cos 'e dl xr=-az'cos 'do'e-ar'sin o' 'e+la'-apcos(o-o)ldo'e B=0·n[d arcos 'de e d=+do az Sin do d'e. 由于磁场分布在本题中有轴对称性,而螺线管内部又是匀强磁场,且螺线管又是无限 长,故不会有磁力线穿出螺线管,上述积分为0,所以B=0

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 2 - 场是均匀强磁场 故只须求出其中轴线上的磁感应强度 即可知道管内磁场 由其无限长的特性 不妨取场点为零点 以柱坐标计算 x y x r a e a e z e r r r r = − cosϕ' − sinϕ' − ' x y dl ad e ad e r r r = − ϕ'⋅sinϕ' + ϕ'⋅cosϕ' ( ' sin ' ' cos ' ) ( cos ' sin ' ' ) x y x y x dl r ad e ad e a e a e z e r r r r r r r ∴ × = − ϕ ⋅ ϕ + ϕ ⋅ ϕ × − ϕ − ϕ − x y z az d e az d e a d e r r r 'cos ' ' 'sin ' ' ' 2 = − ϕ ϕ − ϕ ϕ + ϕ 取由 z'−z'+dz' 的以小段 此段上分布有电流 nIdz' ∫ + − − + ∴ = 2 3 2 2 2 0 [ ( ') ] '( 'cos ' ' 'sin ' ' ' ) 4 a z nJdz az d e az d e a d e B x y z r r r r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π µ n I a z a z d nI nIe a z a dz d z 0 2 3 2 0 2 3 2 2 2 2 0 0 ) 1] ' [( ) ' ( 2 [ ( ') ] ' ' 4 µ µ ϕ π µ π = + ⋅ = + = ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ ∞ −∞ r 2)螺线管外部:由于是无限长螺线管 不妨就在 xoy 平面上任取一点 P(ρ,ϕ.0) 为场点 (ρ > a) 2 2 2 ∴ r = x − x' = (ρ cosϕ − a cosϕ') + (ρ sinϕ − asinϕ') + z' r r ' 2 cos( ') 2 2 2 = ρ + a + z − aρ ϕ −ϕ r = x − x'= ( r r r x a e r ρ cosϕ − cosϕ') y z a e z e r r (ρ sinϕ − sinϕ') − ' x y dl ad e ad e r r r = − ϕ'⋅sinϕ' + ϕ'⋅cosϕ' x y z dl r az d e az d e a a d e r r r r r 'cos ' ' 'sin ' ' [ cos( ' )] ' 2 ∴ × = − ϕ ϕ − ϕ ϕ + − ρ ϕ −ϕ ϕ ∴ = ⋅ − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ' 'sin ' ' ' ' 'cos ' ' [ ' 4 3 2 0 3 2 0 0 e dz r az d e dz d r az d B nI d x y r r r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π µ π π ' ] cos( ' ) ' 3 2 2 0 ∫ ∫ ∞ −∞ − − + z dz e r a a d ρ ϕ ϕ r ϕ π 由于磁场分布在本题中有轴对称性 而螺线管内部又是匀强磁场 且螺线管又是无限 长 故不会有磁力线穿出螺线管 上述积分为 0 所以 B = 0 r

电动力学习题解答参考 第三章静磁场 3.设有无穷长的线电流I沿z轴流动,以z<0空间充满磁导率为p的均匀介质,z0区 域为真空,试用唯一性定理求磁感应强度B,然后求出磁化电流分布 解:本题的定解问题为 A1=-40J,(>0) V2A2=-1,(x<0) V 42|=0=V×A1 由本题具有轴对称性,可得出两个泛定方程的特解为: A(x)= A 3)=A1 e,(二>0) 由此可推测本题的可能解是:B ,(二<0 2 验证边界条件:1)A1=A1=0,即(B2-B)=0 题中,n=,且:E=0,所以边界条件1)满足 VxA1|=0,即X(H2-H1)=0 本题中介质分界面上无自由电流密度,又 H=B, H2 B2 H2-H1=0,满足边界条件nx(H2-H1)=0 综上所述,由唯一性定理可得,本题有唯一解:B=2m(=>0) 2< 在介质中,=B-M,故在z①0的介质中,M=B-B

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 3 - 3. 设有无穷长的线电流 I 沿 z 轴流动 以 z<0 空间充满磁导率为 µ 的均匀介质 z>0 区 域为真空 试用唯一性定理求磁感应强度 B 然后求出磁化电流分布 解 本题的定解问题为          ∇ × = ∇ × = ∇ = − < ∇ = − > = = = 1 0 0 2 0 1 2 0 2 2 1 0 2 1 1 ,( 0) ,( 0) z z z A A A A A J z A J z r r r r r r r r µ µ µ µ 由本题具有轴对称性 可得出两个泛定方程的特解为 ∫ ∫ = = r Idl A x r Idl A x r r r r r r π µ π µ 4 ( ) 4 ( ) 2 0 1 由此可推测本题的可能解是        < > = ,( 0) 2 ,( 0) 2 0 e z r I e z r I B θ θ π µ π µ r r r 验证边界条件 1 , ( ) 0 A1 = A2 z=0 n ⋅ B2 − B1 = r r r r r 即 题中 n = e , e ⋅ eθ = 0 z z r r r r 且 所以边界条件 1 满足 2 , ( ) 0 1 1 1 0 2 1 0 ∇ × A2 z=0 = ∇ × A z= n × H − H = r r r r r 即 µ µ 本题中介质分界面上无自由电流密度 又 θ θ µ π µ π e r B I H e r B I H r r r r r r 2 2 2 2 0 1 1 = = = = 0, ∴ H2 − H1 = r r 满足边界条件 ( ) 0 n × H2 − H1 = r r r 综上所述 由唯一性定理可得 本题有唯一解        < > = ,( 0) 2 ,( 0) 2 0 e z r I e z r I B θ θ π µ π µ r r r 在介质中 M B H r r r = − µ 0 故在 z<0 的介质中 2 0 2 H B M r r r = − µ

电动力学习题解答参考 第三章静磁场 o 介质界面上的磁化电流密度: aM=M×n I)e 总的感应电流:J-M1=j,(-1,rde=14-,电流 在z<0的空间中,沿z轴流向介质分界面。 4.设ⅹ<O半空间充满磁导率为μ的均匀介质,x>0空间为真空,今有线电流I沿z轴流 动,求磁感应强度和磁化电流分布。 解:假设本题中得磁场分布仍呈轴对称,则可写作 B 万·(B2-B1)=0 其满足边界条件 (H2-H1)=a=0 即可得,在介质中 H A thru 而B2=B-B=,B1-M o 在x0的介质中,M=1“-出 2mp4{0 则I Mal,取积分路线为B→C→A→B的半圆 AB⊥e, AB段积分为零 1p(-40) B=4(+4) 2 Ho(+IM) e=B=_ en,可得 1+H

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 4 - 即 θ θ θ µ µ µ π π µ π e r I e r I e r I M r r r r ( 1) 2 2 2 0 0 = ⋅ − = − ∴ 介质界面上的磁化电流密度 M z r e r I e e r I M n r r r r r r ( 1) 2 ( 1) 2 0 0 = × = − × = − µ µ µ π µ π α θ 总的感应电流 ( 1) ( 1) 2 0 2 0 0 = ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ∫ ∫ µ µ ϕ µ µ π π θ θ e r d e I r I J M dl M r r r r 电流 在 z<0 的空间中 沿 z 轴流向介质分界面 4. 设 x<0 半空间充满磁导率为 µ 的均匀介质 x>0 空间为真空 今有线电流 I 沿 z 轴流 动 求磁感应强度和磁化电流分布 解 假设本题中得磁场分布仍呈轴对称 则可写作 ϕ π µ e r I B v v 2 ′ = 其满足边界条件 ( ) 0 ( ) 0 2 1 2 1 × − = = ⋅ − = α v v v v v v v n H H n B B 即可得 在介质中 ϕ π µ µ µ e r B I H v v v 2 2 ′ = = 而 e M r I M B H v v v v v − ′ = − = ϕ π µ µ µ 0 0 2 2 ∴在 x<0 的介质中 ϕ µµ µ µ π µ e r I M v v 0 0 2 ′ − = 则 ∫ I = Mdl M v v 取积分路线为 B → C → A → B 的半圆 , ϕ AB e v Q ⊥ ∴ AB 段积分为零 0 0 2 ( ) µµ µ′ µ − µ = I I M ϕ π µ e r I I B M v v 2 ( ) 0 + ∴ = ∴由 ϕ ϕ π µ π µ e r I e B r I I M v v v 2 2 ( ) 0 ′ = = − + 可得 0 0 2 µ µ µµ µ + ′ =

电动力学习题解答参考 第三章静磁场 空间B=_01 u+ Ho Ⅰ(沿z轴) 某空间区域内有轴对称磁场,在柱坐标原点附近已知B≈B0-C(x=2-p2),其中 B为常量,试求该处的B。。 提示:用V·B=0,并验证所得结果满足V×H=0。 解:由B具有轴对称性,设B=B2+B已2,其中B:=B0-c(21 V·B=0 pOlo )+B2=0 即 p(pB,)-2e=0 ∴PBn=cp2+A(常数) 取A=0,得B。=C B= cepe +[Bo -c(=2-ip2Je aB. aB V×B=0即 )e=0 (2) az dp 代入(1)式可得(2)式成立,∴B,=C=P,c为常数 6.两个半径为a的同轴线圈形线圈,位于z=±L面上,每个线圈上载有同方向的电流I。 (1)求轴线上的磁感应强度 (2)求在中心区域产生最接近于均匀的磁场时的L和a的关系。 提示:用条件B.=0 解:1)由毕一萨定律,L处线圈在轴线上z处产生得磁感应强度为

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 5 - ∴空间 ϕ µ µ π µµ e r I B v v 0 0 + = I I M 0 0 µ µ µ µ + − = 沿 z 轴 5. 某空间区域内有轴对称磁场 在柱坐标原点附近已知 ) 2 1 ( 2 2 Bz ≈ B0 − C z − ρ 其中 B0为常量 试求该处的 Bρ 提示 用∇ ⋅ B = 0, r 并验证所得结果满足 H 0 r ∇ × 解 由 B v 具有轴对称性 设 z z B B e B e v v v = ρ ρ + 其中 ) 2 1 ( 2 2 Bz = B0 − c z − ρ ∇ ⋅ B = 0 v Q ( ) 0 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∴ Bz z ρBρ ρ ρ 即 ( ) 2 0 1 − = ∂ ∂ B cz ρ ρ ρ ρ ∴ B = cz + A 2 ρ ρ ρ (常数) 取 A = 0 得 Bρ = czρ z B cz e B c z e v v v )] 2 1 [ ( 2 2 ∴ = ρ ρ + 0 − − ρ 1 j = 0, D = 0 v v Q ∴∇ × B = 0 v 即 ( ) = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ θ ρ ρ e B z B z v 2 代入 1 式可得 2 式成立 ∴ Bρ = czρ c 为常数 6. 两个半径为 a 的同轴线圈形线圈 位于 z = ±L 面上 每个线圈上载有同方向的电流 I 1 求轴线上的磁感应强度 2 求在中心区域产生最接近于均匀的磁场时的 L 和 a 的关系 提示 用条件 0 2 2 = ∂ ∂ Bz z 解 1 由毕 萨定律 L 处线圈在轴线上 z 处产生得磁感应强度为