第四章时变电磁场 4、1波动方程 既随时间又随空间作周期性变化的场称其为波。波动方程反应了时变电磁场中电场场量和 磁场场量在空间中传播时所遵循的规律,通过麦克斯韦方程组推导得到。 、波动方程的建立(无源区) 0.J=0 V×EOB dt VXH aD V·B=0 V●D=0 (4) (1)式两边取旋度,VxV×E=-(V×H) 左边:V(·E)-V2E a-E 右边:-E V2E-HE a2E 同理VH-6-2=0 无源区场的波动方程 时变电磁场的场量在空间中是以波动形式变化的,因此称时变电磁场为电磁波 通过解波动方程,可以求出空间中电磁场的分布情况。但需要注意的是,只有少数特殊情 况可以通过直接求解波动方程求解。 4、2电磁场的位函数 1、矢量位和标量位 V×E= =-(V×A)→V×( 无旋的 令E+04=-Vp→E=-04-v 电磁场的标量位。 t 洛仑兹条件
第四章 时变电磁场 4、1 波动方程 既随时间又随空间作周期性变化的场称其为波。波动方程反应了时变电磁场中电场场量和 磁场场量在空间中传播时所遵循的规律，通过麦克斯韦方程组推导得到。 一、波动方程的建立（无源区） = 0, J = 0 • = • = = = − 0 (4) 0 (3) (2) (1) D B t D H t B E （1） 式两边取旋度， ( H) t E = − 左边： E E 2 ( • ) − 右边： 2 2 t E − 有 0 2 2 2 = − t E E 同理 0 2 2 2 = − t H H 无源区场的波动方程 时变电磁场的场量在空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。 通过解波动方程，可以求出空间中电磁场的分布情况。但需要注意的是，只有少数特殊情 况可以通过直接求解波动方程求解。 4、2 电磁场的位函数 1、矢量位和标量位 ( ) ( ) = 0 + = − = = − t A A E t t B B A E 无旋的 令 − = − = − + t A E t A E ：电磁场的标量位。 2、洛仑兹条件 t A • = −
3、达朗贝尔方程(在洛仑兹条件下,A,所满足的微分方程) 线性、各向同性的均匀介质,将B=V×A,E= 0V代入VxH=J+6at a-A v(V·A+ 另有 a2A 由洛仑兹条件 达朗贝尔方程 9_p 3电磁能量守恒定律 电磁场能量密度和能流密度 =-D·E=-EE 电场能量密度: 磁场能量密度:Wn=B·H=山 总能量密度:w=wn+n=(E2+uH2) 能流密度:电磁波定向运动伴随电磁场能量移动,其流动情况用能流密度表示,其数值为单 位时间垂直流过单位面积的能量,方向为能量流动方向 坡印廷定理 1、数学推导 V×B=3/>-月V×E+EVx厅 B = H·一+E·J+E V·(E×H) at 2 E·J 定理的微分形式 对V取积分
3、达朗贝尔方程 （在洛仑兹条件下， A, 所满足的微分方程） 线性、各向同性的均匀介质，将 B A = ， − = − t A E 代入 t E H J = + ， 有 ( ) (1) 2 2 2 J t A t A A = − − • + − 另有 ( ) (2) 2 • = − + A t 由洛仑兹条件 = − − = − − 2 2 2 (2) 2 2 2 (1) t J t A A 达朗贝尔方程 4、 3 电磁能量守恒定律 一、 电磁场能量密度和能流密度 电场能量密度： 2 2 1 2 1 we = D • E = E 磁场能量密度： 2 2 1 2 1 wm = B • H = H 总能量密度： ( ) 2 1 2 2 w = we + wm = E + H 能流密度： 电磁波定向运动伴随电磁场能量移动，其流动情况用能流密度表示，其数值为单 位时间垂直流过单位面积的能量，方向为能量流动方向。 二、 坡印廷定理 1、数学推导 t B E t D H J = − = + t D E J E t B H H E E H + • + • • − • + • E J 定理的微分形式 t w t w E D E J t H B t E H e m + • + = • + • • + − • = ) 2 1 ) ( 2 1 ( ) ( 对 V 取积分
S V(ExH)dy=L(a E·Jdh at at 定理的积分形式 ExB,=mh+w+E·Jh 物理意义:d dwdh:单位时间V内体积中增妍 磁场的能量 5(E×)d:单位时间内从边界面流进的能量 「E·Jh:单位时间内对V中电流做的功(损耗的焦耳热功率, 即流入体积V内的电磁功率等于体积V内电磁能量的增加率与体积内损耗的电磁 功率之和 2、坡印廷矢量—一能流密度矢量 S=E×H--瞬时坡印廷矢量 说明:(1)S为时间t的函数,表示瞬时功率流密度 (2)公式中,E、H应为场量的实数表达式 (3)S的大小:单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的能量 (4)S的方向:电磁能量传播方向 3、时变电磁场的平均坡印廷矢量 对某些时变场,电场和磁场随时间呈周期性变化,此时求解一个周期内通过某个 平面的电磁能量才能反映电磁能量的传递情况。 3() 1)×H()dtE、H为场量的实数表示 若场量随时间按正弦规律变化,则 =R[E×H]E、H为场量的复数表示 San与时间无关 P187例4.54,例43.1 4、4唯一性定理 在以闭合面S为边界的有界区域V内,如果给定【=0时刻的电场强度E和磁场强度 H的值,并且在120时,给定边界面S上的2,B ,那么在t>0时,区域V内的 电磁场由麦克斯韦方程组唯一的确定 已知E(r,0),H(r:0),S→E1,H1 麦氏方程组 →E(r,1),H(r,t) 4、5时谐电磁场
w dv w dv E Jdv dt d E H ds E J dv t w t w E H dv v m v e s v e m v v − • = + + • + • + − • = ( ) [ ] ( ) ( ) 定理的积分形式 物理意义： w dv dt d v ：单位时间 V 内体积中增加的电磁场的能量； E H ds s − • ( ) ：单位时间内从边界面流进的能量； E Jdv v • ：单位时间内对 V 中电流做的功（损耗的焦耳热功率）， 即 流入体积 V 内的电磁功率等于体积 V 内电磁能量的增加率与体积 V 内损耗的电磁 功率之和。 2、坡印廷矢量——能流密度矢量 S = E H − − 瞬时坡印廷矢量 说明：（1） S 为时间 t 的函数，表示瞬时功率流密度； （2）公式中，E、H 应为场量的实数表达式； （3） S 的大小：单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的能量； （4） S 的方向：电磁能量传播方向。 3、时变电磁场的平均坡印廷矢量 对某些时变场，电场和磁场随时间呈周期性变化，此时求解一个周期内通过某个 平面的电磁能量才能反映电磁能量的传递情况。 E t H t dt T S t dt T S T T av ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 0 = = E H 、 为场量的实数表示。 若场量随时间按正弦规律变化，则 [ ] 2 1 * Sav Re E H = E H 、 为场量的复数表示。 av S 与时间无关。 P187 例 4.5.4，例 4.3.1 4、4 唯一性定理 在以闭合面 S 为边界的有界区域 V 内，如果给定 t = 0 时刻的电场强度 E 和磁场强度 H 的值，并且在 t 0 时，给定边界面 S 上的 Et Ht , ，那么在 t 0 时，区域 V 内的 电磁场由麦克斯韦方程组唯一的确定。 ( , ), ( , ) ( ,0) , ( ,0), , V E r t H r t E r H r S Et Ht 麦氏方程组 已知 − −− → → 4、5 时谐电磁场
时谐场:场源(电荷或电流)以一定的角频率O随时间作正弦变化,它所激发的电磁 场也以相同的角频率随时间作正弦变化 、时谐场的复数表示 ee.+eE.+ee E,(x,y, =)=E(x,y,=cos(@t +o) E(x,y, =)=Em(x, y, =)cos(ot+o) E(x,y, =)=Em(x,y,=cos(at+o) xm,E1m,Em为电场在x、y、二方向分量的振幅 ￠2、,、q2为电场在x、y、z分量的初始相位。 由复变函数,知cos(on)=Re(e/),则 Er ree 其中Em=Eme")x分量的复振幅。(场量上加点表示该量为复数) 因此, 瞬时量 e, re[em e]+e, releym e]+e Re[e m e] e, em+. em +e eem )e/em] Em=e emt entee- 矢量复振幅 复矢量 同理,可得 =Reldm e/] H=Relame B=Rel B 麦克斯韦方程组的复数形式 复数场量对时间的微积分运算
时谐场：场源（电荷或电流）以一定的角频率 随时间作正弦变化，它所激发的电磁 场也以相同的角频率随时间作正弦变化。 一、时谐场的复数表示 x x y y zEz E = e ˆ E + e ˆ E + e ˆ ( , , ) ( , , ) cos( ) ( , , ) ( , , ) cos( ) ( , , ) ( , , ) cos( ) z zm z y ym y x xm x E x y z E x y z t E x y z E x y z t E x y z E x y z t = + = + = + Exm Eym Ezm , , 为电场在 x、y、z 方向分量的振幅， x、 y、 z 为电场在 x、y、z 分量的初始相位。 由复变函数，知 cos( ) Re( ) j t t e = ，则 Re[ ] Re( ) ( ) j t xm j t x xm E E e E e x • + = = 其中 ) x j xm xm E E e = • x 分量的复振幅。（场量上加点表示该量为复数） 因此， 瞬时量 Re[ ] Re[( ˆ ˆ ˆ ) ] ˆ Re[ ] ˆ Re[ ] ˆ Re[ ] j t m j t x xm y ym z z m j t z z m j t y ym j t x xm E e e E e E e E e E e E e e E e e E e • • • • • • • = = + + = + + E m ex Exm ey E ym ez Ezm • • • • = ˆ + ˆ + ˆ 矢量复振幅 复矢量 同理，可得 Re[ ] Re[ ] Re[ ] Re[ ] j t m j t m j t m j t m e B B e H H e D D e • • • • = = = = 二、麦克斯韦方程组的复数形式 1、 复数场量对时间的微积分运算
aE Reljo em e1 B ar reljobme y ∫Ed=Re∫Ee"=Ref at 02+02Jhe V×H=J+-→VxRe[Hnem]=Re[Jme]+ Reljo de] Relvx/j= re+jo dm Je Vx He=[+jodm Je/ 为简化书写,约定Hm写作H,e省略,则 V×H=J+joD V×E=-joB V●B=0 斯韦方程组的复数形式 V●D 说明:1)方程中各场量形式上是实数,实际上均应是复数形式 2)时间因子em为缺省式 3)方程的复数形式只能用于时谐场 场量复数表达式和瞬时形式相互转换 复数形式:E=E0e 实数形式:E=E0cos(o+) )复数式只是数学表达式,不代表真实的场,没有明确物理意义。采用复数形式 可以使大多数正弦电磁场问题得以简化 2)实数形式代表真实场,具有明确物理意义 3)在某些应用条件下,如能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量(称 为二次式 =E×H),只能用场量的瞬时形式表示
] 1 Re Re[ Re[ ] Re[ ] Re[ ] 2 2 2 j t m j t j t m j t m j t m E e j Edt E e dt E e t E j B e t B j E e t E • • • • • = = = − = = j Edt t j t 2 1 2 2 − 2、 j t m j t j t m j t m j t j t m j t m H e J j D e H e J j D e H e J e j De t j D H J [ ] Re[ ] Re[ ] ] Re[ ] Re[ ] 1 Re[ • • • • • • • • • = + = + = + = + 为简化书写，约定 j t H m H e , 写作 • 省略，则 • = • = = − = + D B E j B H J j D 0 斯韦方程组的复数形式 说明：1）方程中各场量形式上是实数，实际上均应是复数形式； 2）时间因子 j t e 为缺省式； 3）方程的复数形式只能用于时谐场。 ？三、场量复数表达式和瞬时形式相互转换 复数形式： j E E e0 = 实数形式： cos( ) E = E0 t + 1） 复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义。采用复数形式 可以使大多数正弦电磁场问题得以简化； 2） 实数形式代表真实场，具有明确物理意义； 3） 在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量（称 为二次式 S E H − − = ），只能用场量的瞬时形式表示