第三章静态电磁场及其边值问题的解 1真空中静电场的基本方程 311场的基本方程 由亥姆霍兹定理,矢量场的散度和旋度决定其性质,因此,静电场的基本方 程即为电场的散度、旋度计算式 真空中静电场的散度高斯定理 1、真空中静电场的散度 可以证明,真空中静电场的散度为 V·E F处无电荷 p(F)/0F处电荷密度为p(F) 静电场高斯定理微分形式 说明:1)电场散度仅与电荷分布有关,其大小∝p(F) 2)对于真空中点电荷,有 V·E(F)=0(r≠0)或V·E(P)=q/50(r=0) 2、高斯定理 v·E()hv=p(F)/E0dh →fE()·=1[poF)=9 fE=2←高斯定理的积分形式 讨论:1)物理意义:静电场E穿过闭合面S的通量只与闭合面内所包围电荷量 有关(场与所有电荷有关); 2)静电荷是静电场的散度源,激发起扩散或汇集状的静电场; 3)无电荷处,源的散度为零,但电场不一定为零 二、真空中静电场的旋度环路定理 o d q grade R R 4TERA RB 当A点和B点重合时, E·d=0←静电场环路定理的积分形式
第三章 静态电磁场及其边值问题的解 3．1 真空中静电场的基本方程 3.1.1 场的基本方程 由亥姆霍兹定理，矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方 程即为电场的散度、旋度计算式。 一、真空中静电场的散度 高斯定理 1、真空中静电场的散度 可以证明，真空中静电场的散度为 • = （ ） 处电荷密度为 （ ） 处无电荷 r r r r E / 0 0 静电场高斯定理微分形式 说明：1）电场散度仅与电荷分布有关，其大小 (r) ； 2）对于真空中点电荷，有 • = E r r ( ) 0 ( 0) 0 或 • = = E r q r （ ） / ( 0) 2、高斯定理 • = 高斯定理的积分形式 • = = • = 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) / Q E r ds Q E r ds r dv E r dv r dv s s v v v 讨论：1）物理意义：静电场 E 穿过闭合面 S 的通量只与闭合面内所包围电荷量 有关（场与所有电荷有关）； 2）静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场； 3）无电荷处，源的散度为零，但电场不一定为零。 二、真空中静电场的旋度 环路定理 = − = • • = A B R l R r l R R q R q dR R q e dl E dl B A 1 1 4 4 ˆ 4 0 2 0 2 0 当 A 点和 B 点重合时， • = 0 c E dl 静电场环路定理的积分形式
由斯托克斯公式,VxE=0 环路定理的微分形式 讨论:1)物理意义:在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周,静电 场力做功为零 静电场为保守场; 2)静电场旋度处处为零,静电场中不存在旋涡场,电力线不构成闭合回路。 三、真空中静电场性质小结 微分形式 积分形式 V·E=p(F)/co E( Eo XH= E()d=0 2、静电场性质:有源无旋场,是保守场 3、静电场的源:电荷 讨论:对于静电场,恒有 V×E=0,而V×(Vu)=0 →E()∝Vyw为标量辅助函数 静电场可以由一标量函数的梯度表示。 补充内容:利用高斯定理求解静电场 E(F)· p(v)dv 1、求解关键:高斯面的选择 2、高斯面的选择原则: 1)场点位于高斯面上 2)高斯面为闭合面 3)在整个或分段高斯面上,E或E·dB为恒定值 3、适用范围:呈对程分布的电荷系统。 312电位函数 电位函数与电位差 、电位函数 V×E →E可用一标量函数表示E=-V V×(Vq)≡0 讨论:1)电位函数为电场函数的辅助函数,是一标量函数 2)“”号表示电场指向电位减小最快的方向 3)在直角坐标系中
由斯托克斯公式， E = 0 环路定理的微分形式 讨论：1）物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电 场力做功为零 静电场为保守场； 2）静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡场，电力线不构成闭合回路。 三、真空中静电场性质小结 1、 微分形式 积分形式 • = • = = • = l s E r dl E r ds Q E E r ( ) 0 ( ) / 0 ( )/ 0 0 2、静电场性质：有源无旋场，是保守场 3、静电场的源：电荷 讨论：对于静电场，恒有 E 0 ，而 ( ) 0 E(r) 为标量辅助函数 静电场可以由一标量函数的梯度表示。 补充内容：利用高斯定理求解静电场 0 0 ( ) 1 ( ) Q E r ds v dv s v • = = 1、 求解关键：高斯面的选择 2、高斯面的选择原则： 1） 场点位于高斯面上 2）高斯面为闭合面 3） 在整个或分段高斯面上， E 或 E ds • 为恒定值。 3、 适用范围：呈对程分布的电荷系统。 3.1.2 电位函数 一、 电位函数与电位差 1、电位函数 ( ) 0 0 E E 可用一标量函数表示 E = − 讨论：1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数 2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向 3）在直角坐标系中， x y z e z e y e x E ˆ ˆ ˆ − − = −
2、电位差(电压) 电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。 电位差的计算: △q 为φ增加最快的方向 →E=m →△qAB=q4-9 E…d=[E…d 电场空间中两点间电位差为 Ea 说明:1)意义:A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过 程中电场力所做的功; 2)两点间的电位差有确定值,只与首尾两点位置有关,与路径无关。 3、电位参考点 电位函数不唯一,导致电场分布具有不确定性 设q’=g+c≠p→E=-Vq'=V(q+c)=-Vq 为使空间各点电位具有确定值,必须选定空间某一点作为参考点,且令参 考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值,所以该点的电 位也就具有确定值 选择电位参考点的原 1)应使电位表达式有意义; 2)应使电位表达式最简单; 3)同一个问题只能有一个参考点 4)电位参考点的电位值一般为零。 二、电位函数的求解 点电荷的电位 Q E·d=(+ dh 4 选取Q点为电位参考点,则qo=0 pP ATEo 若参考点Q在无穷远处,即r 则
2、电位差（电压） 电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。 电位差的计算： ˆ ˆ ˆ l l l B B A B A B A A e l e E e d E dl l E dl E dl → = = − = − • = − = − • = • 为 增加最快的方向 电场空间中两点间电位差为： − = • A B B A E dl 说明：1）意义：A、B 两点间的电位差等于将单位点电荷从 B 点移动到 A 点过 程中电场力所做的功； 2）两点间的电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与路径无关。 3、电位参考点 电位函数不唯一，导致电场分布具有不确定性 设 = + c E = − = −( + c) = − 为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参 考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电 位也就具有确定值。 选择电位参考点的原则： 1）应使电位表达式有意义； 2）应使电位表达式最简单； 3）同一个问题只能有一个参考点； 4）电位参考点的电位值一般为零。 二、 电位函数的求解 1、点电荷的电位 Q p q p ) 1 1 ( 4 ˆ 4 ( ) 0 2 0 p Q Q p r p p Q p Q p P Q r r q dr r q e E dl E dl = = − − = • = + • 选取 Q 点为电位参考点，则 Q = 0 = − p Q p r r q 1 1 4 0 若参考点 Q 在无穷远处，即 rQ → ，则
P()=.9 点电荷在空间产生的电位 说明:若电荷分布在有限区域,一般选择无穷远点为电位参考点 、无限长线电荷的电位 P E=- Pi →9。-9o (nro -.) E07 电位参考点不能位于无穷远点,否则表达式无意义,根据表达式最简原则, 选取r=1柱面为电位参考点,即=1,得 无限长线电流在空间产生的电位 3、分布电荷在空间产生的电位 体电荷:o()= 4 R 面电荷:(F)= ds +c 4 R 线电荷:F)=1Pa+c 4 R 说明:若参考点在无穷远处,则c=0。 综上所述,电位是一标量 电位是一相对量,与参考点的选取有关 电位差是绝对的 引入电位函数的意义:简化电场的求解—一间接求解法 在某些情况下,直接求解电场强度很困难,但求解电位函数则相对简单,因 此可以通过先求解电位函数,再由关系E=-V得到电场解 三、电位的微分方程 1、方程的建立 有源区
r q r 4 0 ( ) = 点电荷在空间产生的电位 说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点。 2、无限长线电荷的电位 E p Q p (ln ln ) 2 ˆ 2 0 0 Q p l r p Q l e r r r E = − = − 电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则， 选取 r = 1 柱面为电位参考点，即 rQ = 1 ，得 p l p ln r 2 0 = − 无限长线电流在空间产生的电位 3、分布电荷在空间产生的电位 体电荷： + = v dv c R r r ( ) 4 1 ( ) 0 面电荷： + = s s ds c R r r ( ) 4 1 ( ) 0 线电荷： + = l l dl c R r r ( ) 4 1 ( ) 0 说明：若参考点在无穷远处，则 c = 0。 综上所述，电位是一标量 电位是一相对量，与参考点的选取有关 电位差是绝对的 引入电位函数的意义：简化电场的求解——间接求解法 在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因 此可以通过先求解电位函数，再由关系 E = − 得到电场解。 三、电位的微分方程 1、方程的建立 有源区
V·E= 50}→-VV E=-V 即 电位的泊松方程 无源区p=0 电位的拉普拉斯方程 (不同坐标系下方程的表示略) 电位的边界条件 △→0 q19-q2=E·d→0 P 而D=EE=-Vq 有 若P,=0有 91-92 3.13电容 、电容 孤立导体的电容 定义:孤立导体所带电量与其电位之比,即 电容C只与导体几何性质和周围介质有关,与q和ρ无关 例:空气中半径为a的孤立导体球 ec=g 4丌E.a 2、两个带等量异号电荷导体的电容(双导体电容) Q
0 0 E E • = − • = = − 即 2 0 = − 电位的泊松方程 无源区 = 0 2 = 0 电位的拉普拉斯方程 （不同坐标系下方程的表示略） 电位的边界条件 1 → • l 0 1 2 − = • → E dl 0 2 • D D D E 1 2 n n s − = = = − 而 有 1 2 1 2 s n n − = − 若 0 s = 有 2 1 2 1 1 2 0 n n = − = 3.1.3 电容 一、电容 1、孤立导体的电容 定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即 U Q C = 电容 C 只与导体几何性质和周围介质有关，与 q 和 无关； 例： 空气中半径为 a 的孤立导体球 a Q C a Q 0 0 4 4 = = = 2、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容） 1 − 2 = Q C