湖北民族大学：《电磁场与电磁波》课程电子教案（第四版）第一章 矢量分析

电磁场与电磁波(第四版)教案 第一章矢量分析 主要内容 矢量分析基础 2、矢量场的散度 3、矢量场的旋度 4、标量场的梯度 5、亥姆霍兹定理 1、1矢量分析与场论基础 、矢量与矢量场 标量与矢量 标量:只有大小、没有方向的物理量(如温度、高度等),用它的大小就能 完整地描述物理量 矢量:既有大小、又有方向的物理量(如力、电场强度等) 2、矢量的表示方式 (1)数学表示 模值,表征矢量的大小(0,∞) 单位矢量,表征矢量的方向,大小为 (2)图形表示:带有箭头的线段,线段的长度=4, 箭头表示A的方向 空矢(零矢):唯一不能用箭头表示的矢量 3、标量场与矢量场 场概念的引入:物理量(如温度、电场、磁场等)在空间以某种形式分布,若 每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值(v(,n)或F(F,1)),则称在该 空间中确定了该物理量的场 场的属性:占有一个空间,v(F,n)或F(F,1)在该空间区域内处处连续(除有限 点或表面外)。 场的分类 按物理量的性质

电磁场与电磁波（第四版）教案 第一章 矢量分析 主要内容 1、矢量分析基础 2、矢量场的散度 3、矢量场的旋度 4、标量场的梯度 5、亥姆霍兹定理 1、1 矢量分析与场论基础 一、 矢量与矢量场 1、标量与矢量 标量：只有大小、没有方向的物理量（如温度、高度等），用它的大小就能 完整地描述物理量 矢量：既有大小、又有方向的物理量（如力、电场强度等） 2、矢量的表示方式 （1） 数学表示 n A = Ae ˆ  ˆ 1 0 单位矢量，表征矢量的方向，大小为 模值，表征矢量的大小（ ， ） A A e A n   =  （2）图形表示：带有箭头的线段，线段的长度 = A ， A  箭头表示 A  的方向 空矢（零矢）：唯一不能用箭头表示的矢量。 3、标量场与矢量场 场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场等）在空间以某种形式分布，若 每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值（ (r,t)或F（r,t）     ），则称在该 空间中确定了该物理量的场。 场的属性：占有一个空间， (r,t)或F（r,t）     在该空间区域内处处连续（除有限 点或表面外）。 场的分类： 按物理量的性质

标量场,物理量为标量,即每点单纯用一个代数量表示v(F,t) 矢量场,物理量为矢量,F(F,1) 按物理量变化特性静态场,物理量不随时间的变化而变化v(F) 时变场,物理量随时间的变化而变化 矢量的运算(以直角坐标系为例) A=e41+,4 B=e,B+e, B, +e B. 矢量的加、减法 说明:(1)矢量的加法符合交换律和结合律 AtB=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C (2)矢量的加法和减法可用平行四边形法则求解 a+B 2、矢量的乘法 (1)矢量与标量相乘 k=,A1+,,+已kA1=回 k>0,kA与A同向 1k<0与反向 (2)矢量与矢量点乘 A·B=列Bsb1=A,B1+A,B,+AB θ=0,A·B=AB最大值A与B平行 A·B=0 B A在B上的投影 ACOS BAR B 点积 说明:a、两个矢量的点积为标量 b、矢量的点积符合交换律和分配律 A·B=B·AA·(B+C)=A·B+A·C

, ( , ) r t F r t     标量场，物理量为标量，即每点单纯用一个代数量表示 （ ） 矢量场，物理量为矢量， 按物理量变化特性    时变场，物理量随时间的变化而变化 静态场，物理量不随时间的变化而变化 （r）   二、矢量的运算 （以直角坐标系为例） x x y y z z x x y y zBz A = e ˆ A + e ˆ A + e ˆ A B = e ˆ B + e ˆ B + e ˆ   1、矢量的加、减法 说明：（1）矢量的加法符合交换律和结合律 A B B A A B C A B C            = + , + ( + ) = ( + ) + （2）矢量的加法和减法可用平行四边形法则求解 A  A B   + B  B  A B   − A  2、矢量的乘法 （1） 矢量与标量相乘 kA ex k Ax ey k Ay ez k Az eA k A    = ˆ + ˆ + ˆ =       与 反向 与 同向 k kA A k kA A     0, 0, （2） 矢量与矢量点乘 A B = A B AB = AxBx + AyBy + AzBz • cos     A B A AB A B A B A B AB A B     cos 0 2 0, 在 上的投影 ， 最大值 与 平行           = • = ⊥ = • = A  B  点积 说明：a、两个矢量的点积为标量 b、矢量的点积符合交换律和分配律 A B B A A B C A B A C            • = • • ( + ) = • + •

(3)矢量与矢量叉乘(矢量积) AxB=e,ABsin 04B=A, A, A BB B =e2(A,B-AB,)+e,(AB-AB2)+e(4,B,-A,B) 说明:a、两个矢量的叉积为矢量 b、矢量的叉乘不符和交换律,但符合分配律 AxB≠B×AA×(B+C)=A×B+A×C A×B=-B×A c、|×B=平行四边形面积,方向:垂直于A、B所在的平面 d、矢量运算恒等式 A·(B×C)=B·(C×A)=C·(AxB)三重标量积 Ax(B×C)=B(A·C)-C(A·B)三重矢量积 三、常用正交坐标系 1、直角坐标系(略讲) 基本变量:x,y,z(-,∞) 单位矢量:x,,x,=e2,,x2=12x1=E 个e,、,、2分别代表x、y、z增加的方向,相互垂直且满足右手螺旋法则 矢量表示:A=eA2+e,A,+e:A2 位置矢量:F=1x+e,y+e:z 微分长度元:d=e,x+e,d+eh 面元:d=d,d,=ddh,d:=dy 体元 dv= dxdydz 拉梅系数:各方向的微分元与各自坐标的微分之比 h2 1,h=的 1,h d x 矢量运算:(见前)

（3） 矢量与矢量叉乘（矢量积） ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ sin x y z z y y z x x z z x y y x x y z x y z x y z n AB e A B A B e A B A B e A B A B B B B A A A e e e A B e AB = − + − + −            =  =   说明：a、两个矢量的叉积为矢量 b、矢量的叉乘不符和交换律，但符合分配律 A B B A A B B A A B C A B A C                 = −      ( + ) =  +  c、 A B =   平行四边形面积，方向：垂直于 A B   、 所在的平面 d、矢量运算恒等式 三重矢量积 三重标量积 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C B A C C A B A B C B C A C A B                     = • − • •  = •  = •  三、 常用正交坐标系 1、直角坐标系（略讲） 基本变量： x y z , , (−,) 单位矢量： ˆ , , , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y z x y z y z x z x y e e e e e e e e e e e e  =  =  = x y z  e ˆ 、e ˆ 、e ˆ 分别代表 x、y、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则 矢量表示： x x y y z Az A = e ˆ A + e ˆ A + e ˆ  位置矢量： r e x e y e z x y z = ˆ + ˆ + ˆ  微分长度元： dr e dx e dy e dz x y z = ˆ + ˆ + ˆ  面元： ds dydz ds dxdz ds dxdy x = , y = , z = 体元： dv = dxdydz 拉梅系数：各方向的微分元与各自坐标的微分之比 = =1, = =1, = =1 dz dz h dy dy h dx dx hx y z 矢量运算：（见前）

2、圆柱坐标系 基本变量:p,φ,z0≤p<∞,0≤φ≤2x, 00<2<00 单位矢量:已。,已:=x日=xe=已x ↑en、C2分别代表p、二增加的方向,相互垂直且满足右手螺旋法则 矢量表示:A=nA2+4+242 位置矢量:F=enP+2二 微分长度元:d=de2p)+d(e:=)=bn+l+e 面元 ds,=Addd, ds=dAd=, ds=pdpdo 体元 拉梅系数:b2=如=1=B=ph=2=1(第一次课完25 dp 说明:(1)圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系 x=pcos p,y=psi , 3 =ex cosp+ey sin p,e =-er sn p+e cosp,e=e. 由于E。、不是常矢量,与φ有关,可得 -er cos p sn=-ee (2)圆柱坐标系下矢量运算 A=epA +e,A +e A. B=e, B +e,B,+e, B A±B=en(A,±B,)+e4(4±B)+e:(A±B) A·B=A,Bn+AB.+A2B A×B=A A B e, (A,Bz-A B0)+e(ABe-A. B)+e(A, Be-A.Be) 3、球面坐标系

2、圆柱坐标系 基本变量：  , ,z 0    , 0    2 , −  z   单位矢量：         e e e e e e e e e e e e z z z z ˆ , ˆ , ˆ ˆ = ˆ  ˆ ˆ = ˆ  ˆ ˆ = ˆ  ˆ z e ˆ 、e ˆ 、e ˆ    分别代表 、、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则 矢量表示： z Az A = e ˆ A + e ˆ A + e ˆ      位置矢量： r e e zz = ˆ  + ˆ   微分长度元： dr d e d e z e d e d e dz z z = (ˆ ) + (ˆ ) = ˆ  + ˆ   + ˆ     面元： ds = ddz,ds = ddz,dsz = dd 体元： dv = dddz 拉梅系数： = = 1, = = , = = 1 dz dz h d d h d d h  z        （第一次课完 2.25） 说明：（1）圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系 x y x y z z e e e e e e e e x y z z ˆ ˆ cos ˆ sin , ˆ ˆ sin ˆ cos , ˆ ˆ cos , sin , = + = − + = = = =           由于   e ˆ 、e ˆ 不是常矢量，与  有关，可得           e e e e e e e e x y x y ˆ cos ˆ sin ˆ ˆ ˆ sin ˆ cos ˆ ˆ = − − = −   = − + =   （2）圆柱坐标系下矢量运算 z z zBz A = e ˆ A + e ˆ A + e ˆ A B = e ˆ B + e ˆ B + e ˆ           z z z z z A B A B A B A B A B e A B e A B e A B • = + +  =  +  +                ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ                 e A B A B e A B A B e A B A B B B B A A A e e e A B Z z z z z z z z = − + − + −            =   3、球面坐标系

基本变量:r,6,90≤r<∞,0≤0≤x,0≤9≤2 单位矢量: 矢量表示:A=eA+0A+。A 位置矢量:F=re 微分长度元:d=d(,)=edr+rle,=e,h+ erde+ e rsin adq 面元 ds,=r sin adado, dsp =rsin drdo, ds, = rdrde 体元 dv=rsin Adrdedo 拉梅系数:b,=1b=P,b。=rSnb 说明:(1)球面坐标系与直角坐标系的变换关系 x=rsin coso, y=rsin sin ==rcos 8 e, =e sin 6sn +e sin Osin +e cos 6 eg=e, cos 8 cos o+e, cos esin -e sin 8 e=-e sin +e cos0 e =e 由于E,、e、E不是常矢量,与、g有关,可得 e sin e 0 Co-e, sn e-e, cos 6 (2)球面坐标系下矢量运算 A=e, A +egAo +eo, B=e, B,+eeBo+e Bo A±B=e,(A±B,)+e(A±B)+e(A±B。) B= A B+AgBe+A B A×B A BB. B e, (ABe-A, Be)+eo(A, B-A, B)+e,(A, Be-AgBr)

基本变量： r , , 0  r  , 0    , 0   2 单位矢量：         e e e e e e e e e e e e r r r r ˆ , ˆ , ˆ ˆ = ˆ  ˆ ˆ = ˆ  ˆ ˆ = ˆ  ˆ 矢量表示：   A A e A e A e r r = ˆ + ˆ + ˆ  位置矢量： r r = re ˆ  微分长度元： dr = d(re ˆ r ) = e ˆ rdr + rde ˆ r = e ˆ rdr + e ˆ  rd + e ˆ  rsin d  面元： dsr = r sin dd,ds = rsin drd,ds = rdrd 2 体元： dv r sin drdd 2 = 拉梅系数： hr = 1,h = r,h = rsin  说明：（1）球面坐标系与直角坐标系的变换关系 z z x y x y z r x y z e e e e e e e e e e e e e x r y r z r ˆ ˆ ˆ ˆ sin ˆ cos ˆ ˆ cos cos ˆ cos sin ˆ sin ˆ ˆ sin sin ˆ sin sin ˆ cos sin cos , sin sin , cos = = − + = + − = + + = = =                    由于   e e e r ˆ 、 ˆ 、 ˆ 不是常矢量，与 、 有关，可得                   ˆ sin ˆ cos ˆ 0 ˆ ˆ cos ˆ ˆ ˆ ˆ sin ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e e e e r r r r = − −   =   =   = −   =   =   （2）球面坐标系下矢量运算       B A e A e A e A B e B e B e r r r r = ˆ + ˆ + ˆ = ˆ + ˆ + ˆ             A B A B A B A B A B e A B e A B e A B r r r r r • = + +  =  +  +      ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ r r r r r r r r e A B A B e A B A B e A B A B B B B A A A e e e A B                 = − + − + −            =  