第三章应力分析 本章引进了应力张量、导出了平衡方程,并日讨论了作为平衡方程通解的应力函数。 §1应力张量 1.1外力 弹性体所受的外力可以分为体力和面力两种。作用于弹性体上的重力、电磁力等超 距力称为体力。单位体积上的体力记作f),也可以按极限定义为 f(r)=im A(av) V→0Δ扩 1.1) 其中点总在体积为△V的微元之中,A(An是该微元上体力的合力。 弹性体与其它物体接触的面上,受有外界给它的力,称为面力,例如流体的压力、固体 间的压力和摩檫力等。 1.2内力 在外力的作用下,弹性体内部的分子的初始状态发生变化,产生了分子之间的附加力, 这种力称为内力。分子之间的内力作用距离很小,这种性质称为“短程性”。为显示内 力,在弹性体内部过某点P作一小面元△ 面元两侧分别记作A和B(图3.1a,b)。在图3.1a中,向量表示B部分通过面元△ 对A部分的作用力,在图3.1b中,向量则表示A对B的作用力。内力仅通过面来作 用是由于它的“短程性”所致。按 Newton第三定律,I和的大小相等、方向相反、 作用在不同的部分上。按 Cauchy的说法,将称或为应力向量。当△收缩至P 点时,也可以用形如(1.1)式的极限来定义应力向量,我们仍记作。显然,E不仅 与P的位置有关也与面元△S的方向有关。 (b) 图3.1 1.3六面体上的应力
第三章 应力分析 本章引进了应力张量、导出了平衡方程，并且讨论了作为平衡方程通解的应力函数。 §1 应力张量 1.1 外力 弹性体所受的外力可以分为体力和面力两种。作用于弹性体上的重力、电磁力等超 距力称为体力。单位体积上的体力记作 ，也可以按极限定义为 (1.1) 其中点 总在体积为 的微元之中， 是该微元上体力的合力。 弹性体与其它物体接触的面上，受有外界给它的力，称为面力，例如流体的压力、固体 间的压力和摩檫力等。 1.2 内力 在外力的作用下，弹性体内部的分子的初始状态发生变化，产生了分子之间的附加力， 这种力称为内力。分子之间的内力作用距离很小，这种性质称为“短程性”。为显示内 力，在弹性体内部过某点 P 作一小面元 ， 面元两侧分别记作 A 和 B（图 3.1a,b）。在图 3.1a 中，向量 表示 B 部分通过面元 对 A 部分的作用力，在图 3.1b 中，向量 则表示 A 对 B 的作用力。内力仅通过面来作 用是由于它的“短程性”所致。按 Newton 第三定律， 和 的大小相等、方向相反、 作用在不同的部分上。按 Cauchy 的说法，将称 或 为应力向量。当 收缩至 P 点时，也可以用形如（1.1）式的极限来定义应力向量，我们仍记作 。显然， 不仅 与 P 的位置有关也与面元 的方向有关。 （a） （b） 图 3.1 1.3 六面体上的应力
为显示应力与方向有关,在弹性体内某点P的邻域内作一小六面体元,它的 六个表面分别与坐标面平行,其中三个表面的外法向与坐标法向e(=123) 分别相同,其余三个表面的外法向则分别与坐标方向相反(图3.2)。 六面体外部关于外法向为和面上的应力向量,分别记为和4( 1,2,3)。将在标架n吗)上进行分解(图32a),得 图3.2 =σ1+2+re3 =m的+ye (1.2) 式(1.2)中含有9个分量,可以排成一个矩阵 其中O》、“、O:称为正应力,g、、 称为 剪应力 引入记号7= (1.4) 下面的1.5段中将证明?为张量,它是弹性力学中的一个重要的物理量,称为应力张 量,T所对应的矩阵如(1.3)所示。式(1.2)的指标形式为 (1.5) 这里°的第一个脚标与所在的面的外法向相对应,第二个脚标表示 在方向上投影。对与则在标架--ee)中进行分解(图3.2b)
为显示应力与方向有关，在弹性体内某点 P 的邻域内作一小六面体元，它的 六个表面分别与坐标面平行，其中三个表面的外法向与坐标法向 （ ） 分别相同，其余三个表面的外法向则分别与坐标方向相反（图 3.2）。 六面体外部关于外法向为 和 面上的应力向量，分别记为 和 （ ＝ 1，2，3）。将 在标架 上进行分解（图 3.2a），得 图 3.2 （1.2） 式（1.2）中含有 9 个分量，可以排成一个矩阵 ， ＝ （1.3） 其中 、 、 称为正应力， 、 、 、 、 、 称为 剪应力。 引入记号 （1.4） 下面的 1.5 段中将证明 为张量，它是弹性力学中的一个重要的物理量，称为应力张 量, 所对应的矩阵如（1.3）所示。式（1.2）的指标形式为 （i=1,2,3） （1.5） 这里 的第一个脚标 与 所在的面的外法向 相对应，第二个脚标表示 在 方向上投影。对 则在标架 中进行分解（图 3.2b）
(i=1,2,3) (1.6) (1.5)和(1.6)表明,对其投影的正方向为,有其投影的正方向为, 这种规定虽属人为,却与通常的拉伸为正、受压为负的习惯一致,对今后的应用 将带来方便。 1.4斜面上的应力 在弹性体内某点P附近作一微四面体元PABC,其中PBC、PAC、PAB三个表面分别平 行于相应的坐标面。表面ABC的外法向为。表面ABC上所受的平均应力为(图 3.3)。四面体PABC上所有外力的合力为零,故有 aA-τA-A53+A+/AV=0 △5-aA-aA与+A+f△V=0 τA5-τ△2-σA5+A+/△=0 (1.7) 其中σ、、x;、可。、;w、驷、可;分别为面PBC PAC、PAB上的平均应力,4、似、令是t的分量,、、为四面 体PABC内的平均体力,、2、△与、△:分别为面PBC、PAC、PAB、ABC 的面积,△为四面体PABC的体积 图 3.3 按解析几何可知 4=48CO(n,dD、1, has (1.8)
（i=1,2,3） （1.6） （1.5）和（1.6）表明，对 其投影的正方向为 ， 其投影的正方向为 ， 这种规定虽属人为，却与通常的拉伸为正、受压为负的习惯一致，对今后的应用 将带来方便。 1.4 斜面上的应力 在弹性体内某点 P 附近作一微四面体元 PABC，其中 PBC、PAC、PAB 三个表面分别平 行于相应的坐标面。表面 ABC 的外法向为 。表面 ABC 上所受的平均应力为 （图 3.3）。四面体 PABC 上所有外力的合力为零，故有 (1.7) 其中 、 、 ； 、 、 ； 、 、 分别为面 PBC、 PAC、PAB 上的平均应力， 、 、 是 的分量， 、 、 为四面 体 PABC 内的平均体力， 、 、 、 分别为面 PBC、PAC、PAB、ABC 的面积， 为四面体 PABC 的体积。 图 3.3 按解析几何可知 （1.8）
其中()=(书F2,h为点P至斜面ABC的高。将(.8代入(1.7),约 去△,并令 →0,可以得到斜面应力公式 (n,y)+τxCos(n,2) ty=Ty cos(n, x)+a, cos(n, y)+Tg cos(n, z) tr=Tz cos(n, x)+tw cos(n, y)+o, cos(n, z) (1.9) 在(1.9)中的和4(4=么==)诸量都是先在各相应面上取平 均,当→0时,它们都与所取四面体微元无关。坐标形式的斜面应力公式(1.9) 的指标形式和整体形式为 (i=1,2,3) (1.11) 式(1.9)-(1.11)表示出在点P截面上应力与点P和法向的关系,它表明应 力张量?足以表征一点的应力状态。 斜面应力公式另一用途是表示弹性力学边值问题的应力边条件(见第五章)。 1.5应力张量 除标架了外,考虑一个新标架(1e),新旧标架的关系为T r (1.12) 过点P作法向为了的截面,其上的应力向量为了,将它投影到截面的法向了和切 向T,分别记为了和了,有 TTT (1.13) 类似的有了的表示式,可以将这些公式统一写成 量T是法向为了截面上的应力向量在?上的投影,了的这个力学解释与量 的意义一致,仅坐标系不同。也就是说,具有明确力学意义的量T在不同坐标
其中（ ，h 为点 P 至斜面 ABC 的高。将(1.8)代入（1.7），约 去 ，并令 ，可以得到斜面应力公式 (1.9） 在（1.9）中的 和 （ ）诸量都是先在各相应面上取平 均，当 时，它们都与所取四面体微元无关。坐标形式的斜面应力公式（1.9） 的指标形式和整体形式为 （i=1,2,3） (1.10) (1.11) 式（1.9）－（1.11）表示出在点 P 截面上应力 与点 P 和法向 的关系，它表明应 力张量 足以表征一点的应力状态。 斜面应力公式另一用途是表示弹性力学边值问题的应力边条件（见第五章）。 1.5 应力张量 除标架 外，考虑一个新标架 ，新旧标架的关系为 ， （ =1,2,3） （1.12） 过点 P 作法向为 的截面，其上的应力向量为 ，将它投影到截面的法向 和切 向 ，分别记为 和 ，有 （1.13） 类似的有 的表示式，可以将这些公式统一写成 ，（i,j=1,2,3） （1.14） 量 是法向为 截面上的应力向量在 上的投影， 的这个力学解释与量 的意义一致，仅坐标系不同。也就是说，具有明确力学意义的量 在不同坐标
系下服从关系式(1.14),而它恰是关于变换(1.12)系数的二次齐次式,因此 由(1.4)所定义的?为张量。 §2平衡方程 2.1力的平衡 设坐标为(xF2的点P位于六面体微元的中心(图3.4),微元的边长设为 如。考虑x方向上外力的平衡,得 0σ.dx Ey dy aT m d dzdx (2.1) +(xn+ dr dz Ddxdy-( a 2 az 2 +f,dxdyaz= 0 图3.4 上式中的前两项分别为外法向是1和-1前后两个截面上的应力,其中略去了 Taylor 展开的高次项,式中第三、四项,第五、六项分别为右左和上下各个截面上的应力,最 后一项为六面体所受的体力。在(2.1)中,先消去相同的项,再约去因子aytz 最后令趋于零,即六面体收缩至点P,得到下面(2.2)式中的第一式, 0x0.r Jy (2.2) fr=0 ay az
系下服从关系式（1.14），而它恰是关于变换（1.12）系数的二次齐次式，因此 由（1.4）所定义的 为张量。 §2 平衡方程 2.1 力的平衡 设坐标为 的点 P 位于六面体微元的中心（图 3.4），微元的边长设为 。考虑 方向上外力的平衡，得 (2.1) 图 3.4 上式中的前两项分别为外法向是 和 前后两个截面上的应力，其中略去了 Taylor 展开的高次项，式中第三、四项，第五、六项分别为右左和上下各个截面上的应力，最 后一项为六面体所受的体力。在（2.1）中，先消去相同的项，再约去因子 ， 最后令 趋于零，即六面体收缩至点 P，得到下面（2.2）式中的第一式， （2.2）