第二章应变分析 本章描述弹性体的变形,导出几何方程,并推出几何方程与应变协调方程的等价性。 §1.位移 设在三维欧氏空间(xy,z)中弹性体占有空间区域2,它在外界因素影响下产生 了变形,2内的点P(x,y,z)变成了点P(x,,2),其间的位置差异是位移向量 x,v),即有 x =x+u(x,y,2 x,y, (1.1) 2=z+w(x)y,2 图2.1 如图2.1所示,其中r=(x,y,z)F=(x,5,2)u=(u,v,)我们总假定u是单值函数, 并有所需的各阶连续偏导数 对(1.1)考察它的 Jacobi行列式 dx dy D(x,5,2 x,y,2 +a-8a8 十
第二章 应变分析 本章描述弹性体的变形，导出几何方程，并指出几何方程与应变协调方程的等价性。 §1. 位移 设在三维欧氏空间 中弹性体占有空间区域 ，它在外界因素影响下产生 了变形, 内的点 变成了点 ，其间的位置差异是位移向量 ，即有 （1.1） 图 2.1 如图 2.1 所示，其中 。我们总假定 是单值函数， 并有所需的各阶连续偏导数。 对(1.1)考察它的 Jacobi 行列式
2的高次项 (1.2) dx ay az 其中(41a243)={,1),(x1x2,x)=( 本书研究小变形,总假定v,为小量,即假定 <1, J=123) (1.3) 在假定(1.3)之下,从(1.2)得j>0,这样从隐函数存在定理,在某个邻域内存在单 值连续可微的反函数 x1=x(元,y,2 于是(1.1)(1.4)中的函数均为具所需各阶连续偏导数的单值函数,且互为反函数 x1(x,y,z)单值可以认为是一个物质点不能变成两个物质点,这样弹性体不被撕裂: x3(,,2)单值可以认为是两个物质点不能变成一个物质点,或者说弹性体不会重叠 §2.几何方程 本节将从位移的分解导出弹性力学的几何方程。 考察点P(xy,z)附近的点P(x+axy+如,z+如)的位移,按 Taylor展开,有 z+a)=(x,y,z)+ v(x+dx,y+dy, z+dz)=v(x, y, 2)+ ah 以(x+xy+的z+d)=w1、刚质、部 其中略去了ak3(=123)的高阶小量。利用右梯度的记号,可将(2.1)写成 (r+r)=()+()mr (2.2)
… … (1.2) 其中 , 。 本书研究小变形，总假定 为小量，即假定 ， (1.3) 在假定（1.3）之下，从(1.2)得 ，这样从隐函数存在定理，在某个邻域内存在单 值连续可微的反函数， (1.4) 于是(1.1)(1.4)中的函数均为具所需各阶连续偏导数的单值函数，且互为反函数。 单值可以认为是一个物质点不能变成两个物质点，这样弹性体不被撕裂； 单值可以认为是两个物质点不能变成一个物质点，或者说弹性体不会重叠。 §2. 几何方程 本节将从位移的分解导出弹性力学的几何方程。 考察点 附近的点 的位移，按 Taylor 展开，有 (2.1) 其中略去了 的高阶小量。利用右梯度的记号，可将(2.1)写成 (2.2)
这里nV=4,e,=ae 我们引入对称张量r和反对称张量2 v+V 2=uv-VI (2.4) 此处F通常称为 Cauchy应变张量,或简称为应变张量。方程(2.3)称为几何方程,它 是弹性力学三组方程中的第一组,它把弹性力学中的两个重要物理量位移和应变联系起 来了。与应变张量r相应的矩阵F为, 132431 222 273 通常记r的分量为r (2.6) 有时将%1y273分别写成xy或5;2,的3,这三个分量称为正应变分量或正 应变;将y23y32分别写成 Yr,Yx,y,这三个分量称为剪应变分量或剪应变。在 此种记号下,(2.6)可写成 与反对称张量相应的矩阵Ω为
这里 。 我们引入对称张量 和反对称张量 ， (2.3) (2.4) 此处 通常称为 Cauchy 应变张量，或简称为应变张量。方程(2.3)称为几何方程，它 是弹性力学三组方程中的第一组，它把弹性力学中的两个重要物理量位移和应变联系起 来了。与应变张量 相应的矩阵 为， (2.5) 通常记 的分量为 (2.6) 有时将 分别写成 或 ，这三个分量称为正应变分量或正 应变；将 分别写成 ，这三个分量称为剪应变分量或剪应变。在 此种记号下，(2.6)可写成 (2.7) 与反对称张量 相应的矩阵 为
(u12-32)(432-23) 从(2.8)看出与Ω相应的轴矢量a为, =(V×n) 从(2.2),按照C和Ω的定义,得, 注意到反对称张量与其轴矢量的关系,即第一章(2.22)式,得到 ur+dr)=u(r)+adr+rdr (21)可以看作某点附近各点上位移的分解,它包含三部分:其一,以(r)相当于平动 其二,×ar相当于刚体转动;其三rdr为变形。下面将着重研究第三部分所表示 的变形。(2.11)也可写成, d=u(p+a)-u(r)=ax如+F· (2.12) §3.变形 变形是弹性体区别于刚体的基本之点,本节以二维变形为例,直观地考察长度和角 度这两个形状基本要素的变化
(2.8) 从(2.8)看出与 相应的轴矢量 为， (2.9) 从（2.2），按照 和 的定义，得， (2.10) 注意到反对称张量与其轴矢量的关系，即第一章(2.22)式，得到 (2.11) (2.11)可以看作某点附近各点上位移的分解，它包含三部分：其一， 相当于平动； 其二， 相当于刚体转动；其三 为变形。下面将着重研究第三部分所表示 的变形。(2.11)也可写成， (2.12) §3. 变形 变形是弹性体区别于刚体的基本之点，本节以二维变形为例，直观地考察长度和角 度这两个形状基本要素的变化
图2.2 如图22所示,点P(xy)及其附所的两个点Ax+axy)和B(xy+的y),它们 在外界因素影响下,变成了点芦、A、B,其坐标变化如下, P(x,y)→P(x+,y+y) Al(x+dx,y)->Ax+dx +u+edx,y+v+edx (3.1) 8(cy+6)→列x++by+句 a一 现在来看微线元PA的相对变化 dx +-dx - PA PA (3.2) 在得到上式时,略去了。和。的高阶小量。从(3.2)可知x=的几何意义为 方向上微线元的相对伸长。当E,>0时,线元伸长;当,<0时,线元缩短。同理 5b和”正分别为y方向和2方向上微线元的相对仲长 再来考虑角APB的变化,对图2.2中的角a和月,有
图 2.2 如图 2.2 所示，点 及其附所的两个点 和 ，它们 在外界因素影响下，变成了点 、 、 ，其坐标变化如下， (3.1) 现在来看微线元 的相对变化， (3.2) 在得到上式时，略去了 和 的高阶小量。从(3.2)可知 的几何意义为 方向上微线元的相对伸长。当 时，线元伸长；当 时，线元缩短。同理 和 分别为 方向和 方向上微线元的相对伸长。 再来考虑角 的变化，对图 2.2 中的角 和 ，有