F(s)平面上必存在一条封闭曲线与之对应。F(s)平面上的原点被封闭曲 线包围的次数和方向,在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围 的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数 H(SG(S (S+1)(S+2) 其特征方程为 6 F(s)=1+H(s)G(s)=1+ (S+1)(S+2 (S+1.5+j24)(s+1.5-j24) 0 (S+1)(S+2) 函数F(s)在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每个解析点, F()平面上必有一点与之对应。例如s=1+j2,则F(S)为 F(1+j2)=1+ =1.115-10.577 (2+j2)(3+j2 这样,对于s平面上给定的连续封闭轨迹,只要它不通过任何奇点,在F(s) 平面上就必有一个封闭曲线与之对应 S平面 F()平面
140 F(s) 平面上必存在一条封闭曲线与之对应。 F(s) 平面上的原点被封闭曲 线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围 的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数： ( 1)( 2) 6 ( ) ( ) + + = s s H s G s 其特征方程为： ( 1)( 2) 6 ( ) 1 ( ) ( ) 1 + + = + = + s s F s H s G s 0 ( 1)( 2) ( 1.5 2.4)( 1.5 2.4) = + + + + + − = s s s j s j 函数 F(s) 在 s 平面内除了奇点外处处解析。对于s 平面上的每一个解析点， F(s) 平面上必有一点与之对应。例如 s = 1+ j2 ，则 F(s) 为： 1.115 0.577 (2 2)(3 2) 6 (1 2) 1 j j j F j = − + + + = + 这样，对于 s 平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在 F(s) 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。 S 平面 F(s) 平面
A1 a D1 -O5
141 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -4 -3 -2 -1 0 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 A B C D A1 B1 C1 D1 （a） -3 -2 -1 0 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 A B C D F E A B C D E F1 A B C D F E A1 B1 C1 D1 E1 (b) -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
图5-36s平面上的图形在平面上的保角变换 图5-36(a)所示为上半s平面内的直线a=-31和o=2在F()平面上 的保角变换。例如,上半s平面内的直线s=-3+jo(20)映射到F()平面 上,就变成了F(S)平面上的a=-3的曲线。对于s平面上顺时针转出的轨 迹ABCD,其在F(S)平面上对应曲线是AB1CIDl。曲线的箭头表示运动 方向。根据保角变换的性质,S平面相上和F(S)平面上对应的角度是相等 的,并且具有相同的意义(例如,因为s平面内的直线AB与CD相互垂直, 所以在F(S)平面上AB1与CDl在B1点也构成直角)由图5-36b可 以看出,当s平面上的图形包围两个F(s)的极点时,F(s)的轨迹将反时针
142 (d) 图 5-36 s 平面上的图形在平面上的保角变换 图 5-36（a）所示为上半 s 平面内的直线 = −3,1 和 = 2 在 F(s) 平面上 的保角变换。例如，上半 s 平面内的直线 s = −3 + j( 0) 映射到 F(s) 平面 上，就变成了 F(s) 平面上的 = −3 的曲线。对于 s 平面上顺时针转出的轨 迹 ABCD，其在 F(s) 平面上对应曲线是 A1B1C1D1。曲线的箭头表示运动 方向。根据保角变换的性质，s 平面相上和 F(s) 平面上对应的角度是相等 的，并且具有相同的意义（例如，因为 s 平面内的直线 AB 与 CD 相互垂直， 所以在 F(s) 平面上 A1B1 与 C1D1 在 B1 点也构成直角）。由图 5-36(b)可 以看出，当 s 平面上的图形包围两个 F(s) 的极点时， F(s) 的轨迹将反时针