正交信号空间任意给定一组信号f(t)，i=1，：，N？，设其两两正交且能量均为1。即任两个信号的内积0, kl[ r(0) f (0)dt =-[1, k = ]f(张成的信号空间：由所有f()组合而成的信号组成的集合7Q=s(t): s(0)=Zwf,(0),w, e R,R为实数称此空间是N维的称为N维信号空间Q的归一化正交基若信号 s(t) EQ，则称Q对s(t)来说是完备的，即s(t)总能用该信号空间里的信号累加和来表示11
正交信号空间 任意给定一组信号{fi (t), i = 1,., N } ，设其两两正交且能量均 为1。即任两个信号的内积 {fi (t)}张成的信号空间：由所有{fi (t)} 组合而成的信号组成的集合 ◼ 称此空间是N 维的 ◼ 称{fi (t)}为N 维信号空间Ω 的归一化正交基 ◼ 若信号 s(t)∈Ω，则称Ω对s (t )来说是完备的，即s(t)总能用 该信号空间里的信号累加和来表示 ( ) ( ) ( ) 1 : , , N i i i i s t s t w f t w R R = = = 为实数 ( ) ( ) 0, 1, k l k l f t f t dt k l − = = 11
信号矢量与信号能量如果s(t)EQ, 则s(t) = E-sf (t)给定(Uf(t))，s(t)由矢量s-(si,S2,...,S}决定矢量的第i个元素s，是s(t)在基函数f(t)上的投影s, (t) = f s(t) f. (t)dt?信号的能量为对应其矢量E,=s=Z,s? = (s? (t)dt长度的平方12
信号矢量与信号能量 如果s(t)∈Ω，则 给定{f i (t)}，s(t)由矢量s={s1 , s2 ,., sN }决定 ◼ 矢量的第i 个元素si 是s(t)在基函数 f i (t)上的投影 信号的能量为 ( ) ( ) 1 N i i i s t s f t = = s t s t f t dt i i ( ) ( ) ( ) − = ( ) 2 2 2 1 N s i i E s s t dt = − = = = s 对应其矢量 长度的平方 12
信号相关系数与信号距离若有两信号Sm(t)EQ，Sk(t)EQ，则它们分别对应两个量Sm={Sml, Sm2,"", SmN), Sk={Skl, Sk2,", Sk}两个信号的相关系数等于其矢量的相关系数pE[-1，+1]Sm (t)ss (t)dt?mkEL17smlskE.E17两个信号间欧氏距离定义为dmk=/~[sm(t)-st()dt=Em+Ex-2JEmExPm=s.m -sll= Z(smm - m)等价于矢量距离13
若有两信号 sm(t )∈Ω，sk (t )∈Ω，则它们分别对应两个矢量 sm={sm1 , sm2 ,., smN }, sk={sk1 , sk2 ,., skN } 两个信号的相关系数等于其矢量的相关系数 ρ∈[-1, +1] 两个信号间欧氏距离定义为 信号相关系数与信号距离 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 mk m k m k m k mk m k mn km n d s t s t dt E E E E s s − = − = + − = − = − s s ( ) ( ) 1 mk m k m k m k m k m k m k s t s t dt E E E E − = = = s s s s s s m m k k 等价于矢量距离 13
信号星座图M个能量有限的信号>N维信号空间中的M个点映射信号星座图(constellation，或称信号矢量图）：用几何图形表示N维信号空间中M个点的集合某点失量长度的平方：信号的能量两点之间的距离：欧氏距离欧式距离的平方：两信号之差的能量M进制数字通信发端的设计就是要设计出M种不同的信号，即在N维空间中设计M个点。给定基函数时，不同的设计就是不同的摆点的方法。格兰姆-施密特正交化方法：确定归一化正交基
信号星座图 M个能量有限的信号 →N 维信号空间中的M 个点映射 信号星座图(constellation, 或称信号矢量图)：用几何图形表示 N 维信号空间中M 个点的集合 ◼ 某点矢量长度的平方：信号的能量 ◼ 两点之间的距离：欧氏距离 ◼ 欧式距离的平方：两信号之差的能量 • M 进制数字通信发端的设计就是要设 计出M 种不同的信号，即在N 维空间 中设计M 个点。 • 给定基函数时，不同的设计就是不同 的摆点的方法。 • 格兰姆-施密特正交化方法：确定归一 化正交基
信号正交化格兰姆-施密特正交化方法输入：给定一个定义在区间[to,to+Tsl上的信号集 si(t),S2(t)，..Sm(t) )输出：确定其正交基信号(fi(t),fa(t)，.….,f(t)正交基信号步骤：能量非零(1)令v(t)=s;(t),定义基函数 fi(t)=vi(t)/lvll(2)令 v(t)=S2(t)-S2tJi(t)，其中 S2为信号 S2(t)在基函数f,(t)上的投影，定义基函数 fz(t)=V2(t)/v2ll(3)令s(t)=S,(t)-S3 2(t)-S (t),定义基函数Js(t)=s(t)/lyal4)继续进行以上步骤，直至所有S(t)都被使用过，保留能量非零的f(t)，构成N≤M维的正交函数集合
信号正交化 格兰姆-施密特正交化方法 输入：给定一个定义在区间[t0 , t0+ TS ]上的信号集{ s1 (t), s2 (t), . , sM(t) } 输出：确定其正交基信号{ f1 (t), f2 (t), . , fN (t) } 步骤： (1)令 , 定义基函数 (2)令 ，其中 为信号s2 (t)在基函数f1 (t)上的投 影，定义基函数 (3)令 ，定义基函数 (4)继续进行以上步骤，直至所有 都被使用过，保留能量非零 的 ，构成 维的正交函数集合。 正交基信号 能量非零 1 1 v t s t ( ) ( ) = 1 1 1 f t v t ( ) ( ) = v 1 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) f v t s t s f t = − 2 2 2 f t v t ( ) ( ) = v ； 2 1 3 3 3 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) f f v t s t s f t s f t = − − 3 3 3 f t v t v ( ) ( ) = ( ) i f t N M 1 2 f s ( ) i s t