D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2001.03.023 第26卷第3期 北京科技大学学报 Vol.26 No.3 2004年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2004 离散坐标法积分方案的选取 刘玉英 张欣欣 北京科技大学机械工程学院热能工程系，北京100083 摘要以辐射平衡条件下一维平行平板介质层的辐射换热问题为例，介绍了求解辐射传递 方程的离散坐标法，对影响离散坐标法计算精度与速度的角度积分方案的选取进行了研究。 分析了离散坐标法常用的S,积分方案、Fiveland等权值积分方案Fw及高斯积分方案Gw对计算 结果准确性的影响，研究表明：积分方案近似阶数越高，计算结果的精度越高，但随着积分方 案阶数的增加，所需的计算量也增大：同一近似阶数的各种积分方案的准确性各不相同，其 中Fx积分方案在相同阶数下的精度最高，S积分方案次之，G积分方案的精度最差，在近似阶 数足够高时上述三种积分方案均可达到较高的计算精度， 关键词辐射换热：离散坐标法：积分方案 分类号TK111 辐射换热是一种非接触式传热，描述辐射换 μg-1-o以-i+受∫uu4()） 热过程的能量传递方程是一个积分一微分方程， 假定平行平板壁面不透明且具有漫发射漫反射 形式复杂，涉及参量较多，大多数的工程问题均 的特征，则相应的边界辐射强度为： 不能分析求解，因此，辐射换热的数值模拟问题 0era工42p小0up,0 (2a) 至今仍然是传热学界所面临的一个重要挑战.到 目前为止，已经提出了多种处理辐射换热积分- )-aTi+2pJ9μd,h0 (2b) π 微分方程的方法，如区域法、热流法、蒙特卡洛 其中，I为辐射强度，人为黑体辐射强度，t是光学 法、离散传播法、球谐法、有限容积法及离散坐标 厚度，4为方向余弦，ω为反照率，Φ为散射相函 法等.离散坐标法是由Chandrasekhar首先提出， 数，n为介质折射率；T,T分别为两边界面温度： 随后被Carlson及Lathrop等用于研究中子传输 E,和P,p分别为两边界面的发射率与反射率， 问题.由于该法具有易于处理散射问题、易于和 不透明边界面满足e+p=1和6+p=1. 流动方程联立求解、易于实现编程等优点，近年 在离散坐标法中，方程(1)和(2)的求解是在 来被广泛用于各种辐射换热问题的研究”.本文 一系列的离散坐标方向=1,2,3，，)上进行 通过对一维辐射平衡问题的分析计算，对影响离 的，因此其中的积分项要用辐射强度在离散坐标 散坐标法计算精度的积分方案的选取问题进行 方向上的数值求和代替，即： 了研究，并与相关文献的计算结果进行了对比 h-(I-oM-eH含w.cmp _dr 验证， 0=1,2,…,0 (3) 10era正，-e芝w0,,>0 (4a) 1离散坐标法的积分方案 I la a4eraE+=e芝w,4<0 (46b) 以无限大平行平板一维辐射换热问题为例， 其中，w为权重系数，满足∑w=4π，与离散坐标4： 由于平板层仅在板厚方向上存在辐射换热，故辐 射强度与方位角无关，此时以光学厚度形式表示 相对应.离散坐标与权值w的计算问题即为积 的辐射传递方程为： 分方案的构造，构造虽然纯属几何问题，但要满 足反射对称性、旋转对称性及动量匹配等理论约 收稿日期2003-0702 刘玉英女，29岁，博士研究生 束条件 *国家自然科学基金资助项目No.50074006) 离散坐标法的积分方案并不是一成不变的
第 2 ` 卷 第 3 期 2 0 0 4 年 6 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u r n a l o f U n iv e rs i ty o f S e ie n e e a n d eT c h n o l o gy B e ij i n g V b l . 2 6 N o . 3 J u n . 2 0 0 4 离散坐标法积分方案的选取 刘 玉 英 张 欣欣 北 京科技 大 学机械 工 程 学 院热 能 工程 系 , 北京 10 0 0 83 摘 要 以辐射 平衡 条件 下 一 维平 行平 板 介质 层 的辐射 换热 问题 为例 , 介 绍 了求解 辐射 传递 方程 的离 散坐标 法 , 对影 响离 散坐 标法 计算精 度 与速度 的 角度积 分 方案 的选 取进 行 了 研究 . 分析 了离 散坐 标法 常用 的凡积分 方案 、 iF ve l an d 等 权值 积分 方案 凡及高 斯积 分方 案 G 对 计算 结果准 确性 的 影响 . 研 究表 明 : 积 分方 案近 似 阶数越 高 , 计 算结 果 的精度 越 高 , 但 随着积 分方 案阶数 的增加 , 所 需的 计算 量也增 大 ; 同一近似 阶 数 的各 种积 分 方案 的准 确性 各 不相 同 , 其 中凡积 分方 案在相 同阶数下 的精度 最 高 , 凡积 分方 案次 之 , 认积 分方 案 的精 度最 差 . 在近 似 阶 数足够 高 时上 述三 种积 分方 案均 可达 到较 高 的计算 精度 . 关键 词 辐射 换热 ; 离 散坐标 法 ; 积 分方 案 分类 号 T K l l 辐 射 换 热是 一种 非 接触 式传 热 , 描述 辐射 换 热 过程 的能 量传 递 方 程 是 一个 积 分一 微 分方 程 , 形 式 复杂 , 涉 及 参 量较 多 , 大 多数 的工 程 问题 均 不 能分 析 求解 . 因 此 , 辐 射 换热 的数值 模 拟 问题 至 今仍 然 是传 热学 界所面 临的一 个重 要 挑战 . 到 目前 为止 , 已经 提 出 了多种 处理 辐射 换 热 积分一 微 分 方程 的方 法 , 如 区域 法 、 热 流法 、 蒙 特 卡洛 法 、 离 散传 播法 、 球 谐 法 、 有 限容积 法及 离散 坐标 法 等 . 离散坐 标法 是 由 C h an dr as e 肋甜 l] 首 先提 出 , 随 后 被 C ar ls on 及 L a t hr 叩lz[ 等 用于 研 究 中子 传输 问题 . 由于 该法 具 有 易 于处 理 散射 问题 、 易 于和 流 动 方程 联 立 求解 、 易 于实 现编 程 等 优 点 , 近 年 来 被 广泛 用于 各种 辐射 换 热 问题 的研 究「3一 7J . 本 文 通 过 对一 维辐 射平 衡 问题 的分 析计 算 , 对 影 响离 散 坐 标 法 计 算精度 的积 分 方 案 的选 取 问题 进 行 了研 究 , 并 与 相 关 文 献 的计 算 结 果进 行 了对 比 验 证 . 产旦奈业一 (卜。 几 一双: , )谬f , , 。 , ,)(I #,r ”、 ` ( ` ) 假 定平 行 平 板壁 面 不透 明且 具 有 漫 发射 漫 反 射 的特 征 , 则相 应 的边 界辐 射 强 度 为 : 双。, )孤竿 十、 。 -0[ 、双。, 、 伽 ; 。 > 0 ( Z a ) (rtI 、 飞竿 + 助 L 你rLF 、 、 、 0 (2b) 其 中 , I 为辐 射 强度 , 几为 黑体 辐 射 强度 , : 是光 学 厚 度 , 产 为 方 向余 弦 , 。 为 反照 率 , 币 为 散 射 相 函 数 , n 为介 质 折射率 ; 0T , LT 分 别 为两 边 界 面 温度 ; 场 , 。 L和 0P , P : 分 别 为 两边 界 面 的 发射 率 与 反 射 率 , 不透 明边 界面 满 足场+P 。 = 1 和几+P L 二 1 . 在 离散 坐 标法 中 , 方程 ( l) 和 (2) 的求 解 是在 一 系 列 的 离 散 坐 标 方 向肠心= l , 2 , 3 , … , 的 上 进 行 的 , 因 此其 中 的积 分项 要用 辐 射强 度在 离 散坐 标 方 向上 的数值 求 和 代 替 , 即 : 召护 嘿钾 = ( 1一 。 )trI 一 ,(r 、 ) 十爷全w 月 (J o k)。 仇闪 dr 、 ` 一 严 “ 一 、 ’ 料 / 4兀 二 ” ” 、 一 ’,r 凡广 一 ~ ,-r 凡厂 价勺a , 门O j 、今41 1 离散 坐 标 法 的积 分 方 案 以无 限大平 行平 板 一维 辐 射换 热 问题 为例 , 由于平板 层 仅在 板 厚方 向上 存在 辐射 换热 , 故辐 射 强度 与方位 角无 关 , 此 时 以光 学 厚度形 式 表示 的辐射 传 递方 程 为 : 收稿 日期 2 0 03 一7一2 刘玉 英 女 , 29 岁 , 博士 研究 生 * 国家 自然 科学 基金 资助 项 目 (N 。 . 5 0 0 7 4 00 6) 口= l , 2 , … , 劝 双。、 )=e0 竿牛尸 卜 气 W武0 , * , , 、 “ (I 瓦科 ) = 场应星十旦二自 艺 w (J 及声* ) , 药 < 0 其 中 , wk 为 权 重系数 , 满 足 蓦 w 行 4 “ , 与离 散坐 标脚 相 对 应 . 离散 坐 标月* 与权 值w * 的计 算问题 即 为积 分 方 案 的构 造 , 构造 虽 然 纯属 几 何 问题 , 但 要满 足 反 射对 称性 、 旋 转 对称 性及 动 量 匹配等 理 论约 束 条件`,一 5 , . 离散 坐标 法 的 积分 方案 并 不 是一 成不 变 的 , DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2004. 03. 023
316 北京科技大学学报 2004年第3期 但它的合理选取可以节省计算时间，提高计算精 表3高斯G、角积分方案的离散方向4与权重系数W 度，并可避免离散方程间的非真实耦合，减少离 Table 3 Discrete ordinates and weights for the S.angular 散坐标法的射线效应和假散射现象).根据积分 quadrature scheme 方案的不同，离散坐标法又可分为S,F,G, 近似阶数 坐标4 权重系数w Tx,2,以及SRPAN离散坐标法等，但目前常用的 ±0.57735026919 6.283185300 ±0.33998104358 4.097548786 积分方案主要有S,,Fiveland等权值角积分方 G ±0.86113631159 2.185636414 案Fw刃和高斯求积方案G.表13列出了上述角 +0.23861918608 2.939989911 积分方案的各阶离散坐标方向及相关权值. ±0.66120938647 2.266731776 表1S角积分方案的离敞方向4与权重系数w 0.93246951420 1.076463513 Table I Discrete ordinates and weights for the Sy angular ±0.18343464250 2.278809378 quadrature scheme ±0.52553240992 1.971076955 ±0.79666647741 1.397261222 近似阶数 坐标山 权重系数w ±0.96028985650 0.636037639 S(对称) ±0.5773503 6.2831853 ±0.14887433898 1.856833437 S:(不对称) ±0.5000000 6.2831853 ±0.43339539413 1.691852664 ±0.2958759 4.1887902 S G ±0.67940956830 1.376560194 ±0.9082483 2.0943951 ±0.86506336669 0.939030504 ±0.1838670 2.7382012 0.97390652852 0.418908401 S ±0.6950514 2.9011752 ±0.12523340851 1.565437032 ±0.9656013 0.6438068 ±0.36783149899 1.467076853 ±0.1422555 2.1637144 ±0.58731795429 1.276538570 ±0.5773503 2.6406988 ±0.90411725637 1.005801788 ±0.8040087 0.7938272 ±0.90411725637 0.671919590 ±0.9795543 0.6849436 ±0.98156063425 0.296411373 表2F,角积分方案的离散方向“与权重系数W Table 2 Discrete ordinates and weights for the F.angular 2计算结果及讨论 quadrature scheme 以辐射平衡时无限大平板灰介质层一维辐 近似阶数 坐标4 权重系数w F ±0.5000000 6.2831853 射换热问题为例，为与文献结果进行对比研 ±0.21132490 3.1415926 究，假设介质无散射且折射率=1，边界为不透明 F ±0.78867511 3.1415926 的黑表面.定义量纲为1的热流平及其相对误差 ±0.14644626 2.0943951 E分别为： F ±0.49999980 2.0943951 Ψ=Qx/[nT8-T)月，E=(Ψ-平)/平。(5) ±0.85355386 2.0943951 其中，Q为辐射热流密度，在辐射平衡时处处相 ±0.10267238 1.5707963 同，其值为Q=2π4(t,)d;平和平。分别为 ±0.40620470 1.5707963 量纲为1的热流的离散坐标法计算值和文献准 ±0.59379534 1.5707963 ±0.89732742 1.5707963 确解，图1-3分别给出S,F、,Gx角积分方案不同 0.08375152 1.2566370 近似阶数的量纲为1的热流值，图4给出S、积分 ±0.31272730 1.2566370 方案的辐射热流的相对误差，图5给出这三种角 ±0.50000362 1.2566370 积分方案各阶近似的相对误差的比较 0.68726825 1.2566370 由图1-3可以看出，三种积分方案的阶数越 0.91624917 1.2566370 高，辐射热流的计算值越接近准确解，即低阶离 ±0.06687722 1.0471975 散坐标法的不准确性可以通过相应的高阶近似 ±0.36669356 1.0471975 得到改善.由图2可见，随着光学厚度的增大，F、 ±0.28873171 1.0471975 ±0.71126604 1.0471975 积分方案的各阶近似的辐射热流计算结果的误 ±0.63330871 1.0471975 差增大.相反的，由图3可以看出，光学厚度越 ±0.93312301 1.0471975 大，高斯积分方案G的各阶近似的计算误差越
. 3 1 6 . 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 0 4 年 第 3期 表 3 高斯 G 、 角积 分方 案的 离散方 向刀 与权重 系数、 Ta b l e 3 D i s e r e t e o r d in a t e s a n d w e ig h t s fo r t h e 凡 a n g u l a r q u a d r a t u r e s e h e m e 近似 阶 数 坐 标召 一琢切切幼幻 但 它 的合理 选取 可 以节 省计 算 时间 , 提 高计 算精 度 , 并可 避 免 离散方 程 间 的非真 实 藕合 , 减 少离 散坐标 法 的射线 效应 和 假散射 现 象 { 4,5] . 根 据积 分 方 案 的 不 同 , 离 散 坐 标 法 又 可 分 为凡 , 凡 , G、 乙 , 必 以及 S刃从 八 离散坐 标法 等 14] , 但 目前常用 的 积 分 方案 主要 有 凡 1 23] , iF ve l an d 等 权值 角 积分 方 案凡同和 高斯 求积 方案妹 8[] . 表 卜3 列 出 了上述 角 积 分 方案 的各 阶 离散坐 标 方 向及 相 关权 值 . G 2 G ; 以 表 1 凡 角积 分方案 的 离散方 向刀 与权重 系数 w aT b l e 1 D is e er t e o r d i n a t e s a n d w e i g h t s fo r t h e 凡 a n g u l a r q u a d r a t u er s e h e m e G , 近似 阶 数 丛 (对 称 ) 凡 (不对称 ) 坐 标粼 士 0 . 5 7 7 3 5 0 3 万 7 7 3 5 0 2 6 9 19 3 3 9 9 8 1 0 4 3 5 8 8 6 1 13 6 3 1 1 5 9 . 2 3 8 6 19 1 8 6 0 8 . 6 6 1 2 0 9 3 8 6 4 7 9 3 2 4 6 9 5 1 4 2 0 . 18 3 4 3 4 6 4 2 5 0 5 2 5 5 3 2 4 0 9 9 2 刀 9 6 6 6 6 4 7 7 4 1 . 9 6 0 2 8 9 8 5 6 5 0 14 8 8 7 4 3 3 8 9 8 却切均 凡 凡 切均切功印 . 5 0 0 0 0 0 0 . 2 9 5 8 7 5 9 9 0 8 2 4 8 3 . 1 8 3 8 6 7 0 . 6 9 5 0 5 1 4 . 9 6 5 6 0 1 3 . 1 4 2 2 5 5 5 . 5 7 7 3 5 0 3 G 。 4 3 3 3 9 5 3 9 4 13 6 7 9 4 0 9 5 6 8 3 0 8 6 5 0 6 3 3 6 6 6 9 9 7 3 9 0 6 5 2 8 5 2 12 5 2 3 3 4 0 8 5 1 一璐切印 凡 权 重系 数、 6 . 2 8 3 18 5 3 6 . 2 8 3 18 5 3 4 . 1 8 8 7 9 0 2 2 . 0 9 4 3 9 5 1 2 . 7 3 8 2 0 1 2 2 . 9 0 1 17 5 2 0 6 4 3 8 0 6 8 2 . 1 6 3 7 14 4 2 . 6 4 0 6 9 8 8 0 . 7 9 3 8 2 7 2 0 . 6 84 9 4 3 6 G , 2 8 0 4 0 0 8 7 权重 系数 w 6 . 2 8 3 18 5 3 0 0 4 . 0 9 7 5 4 8 7 8 6 2 . 1 8 5 6 3 6 4 14 2 . 9 3 9 9 8 9 9 1 1 2 . 2 6 6 7 3 1 7 7 6 1 . 0 7 6 4 6 3 5 13 2 . 2 7 8 8 0 9 3 7 8 1 . 9 7 1 0 7 6 9 5 5 1 . 3 9 7 2 6 1 2 2 2 0 . 6 3 6 0 3 7 6 3 9 1 . 8 5 6 8 3 3 4 3 7 1 6 9 1 8 5 2 6 6 4 1 . 3 7 6 5 6 0 ] 9 4 0 . 9 3 9 0 3 0 5 0 4 0 . 4 1 8 9 0 8 4 0 1 1 . 5 6 5 4 3 7 0 3 2 1 4 6 7 0 7 6 8 5 3 1 . 2 7 6 5 3 8 5 7 0 1 0 0 5 8 0 1 7 8 8 0 . 6 7 1 9 19 5 9 0 0 2 9 6 4 1 1 3 7 3 一琢均切功 土 0 . 9 7 9 5 5 4 3 3 6 7 8 3 1 4 9 8 9 9 万 8 7 3 17 9 5 4 2 9 乡 0 4 1 17 2 5 6 3 7 . 9 0 4 1 17 2 5 6 3 7 9 8 1 5 6 0 6 3 4 2 5 表 2 尸 、 角积 分方 案的 离散方 向尸 与权重 系数 w aT b l e 2 D i s e er t e o r d i o a t e s a n d w e i g b t s fo r t h e 凡 a n g u l a r q u a d r a t u r e s e h e m e 近 似 阶数 坐 标召 凡 士 0 . 5 0 0 0 0 0 0 凡 凡 凡 F lo . 2 1 1 3 2 4 9 0 . 7 8 8 6 7 5 1 1 . 1 4 6 4 4 6 2 6 . 4 9 9 9 9 9 8 0 . 8 5 3 5 5 3 8 6 . 1 0 2 6 7 2 3 8 . 4 0 6 20 4 7 0 5 9 3 7 9 5 3 4 . 8 9 7 3 2 7 4 2 . 0 8 3 7 5 1 5 2 . 3 1 2 7 2 7 3 0 . 5 0 0 0 0 3 6 2 . 6 8 7 2 6 8 2 5 . 9 1 6 2 4 9 1 7 F l2 士 0 . 0 6 6 87 7 2 2 士 0 3 6 6 6 9 3 5 6 士 0 . 2 8 8 7 3 1 7 1 士 0 . 7 1 1 2 6 6 0 4 士 0 . 6 3 3 3 0 8 7 1 士 0 . 9 3 3 12 3 0 1 权重 系数 w 6 , 2 8 3 18 5 3 3 . 14 1 5 9 2 6 3 . 14 1 5 9 2 6 2 0 9 4 3 9 5 1 2 . 0 9 4 3 9 5 1 2 0 9 4 3 9 5 1 1 . 5 7 0 7 9 6 3 1 . 5 7 0 7 9 6 3 1 . 5 7 0 7 9 6 3 1 . 5 70 7 9 6 3 1 . 2 5 6 6 3 7 0 1 . 2 5 6 6 3 7 0 1 . 2 5 6 6 3 7 0 1 . 2 5 6 6 3 7 0 1 . 2 5 6 6 3 7 0 1 . 04 7 1 9 7 5 1 . 0 4 7 1 9 7 5 1 0 4 7 1 9 7 5 1 . 0 4 7 1 9 7 5 1 . 0 4 7 1 9 7 5 1 . 0 4 7 1 9 7 5 2 计 算 结 果 及 讨 论 以辐 射 平 衡 时 无 限 大 平 板 灰介 质 层 一 维 辐 射换 热 问题 为例 , 为与 文献 结 果 1 391 进 行 对 比 研 究 , 假 设介质 无散 射且 折射 率 n 月 , 边 界 为不透 明 的黑 表 面 . 定义 量 纲 为 1 的热 流 少及其 相对 误 差 E 分别 为 : 尹 = Q R / 〔 n 2 a( 此一 君 )〕 , E = (尹一 讯 ) / 吼 ( 5 ) 其 中 , Q R 为辐 射 热 流 密度 , 在 辐 射 平衡 时处 处 相 同 , 其 值 为 Q ! 一 2二 f l。 ( (rI r * )咖 ; 尹和 式 分 别 为 量纲 为 1 的热 流 的离 散 坐标 法 计 算 值和 文 献 准 确解 . 图 l 一 3 分别 给 出凡 , 凡 , 吼 角积 分 方案 不 同 近 似 阶数 的量 纲 为 1 的热 流值 , 图 4 给 出 凡 积 分 方 案 的辐 射热 流 的相 对误 差 , 图 5 给 出这三 种 角 积 分方 案 各 阶近似 的相 对误 差 的 比 较 . 由图 卜3 可 以看 出 , 三种 积 分方 案 的阶 数越 高 , 辐射 热 流 的计 算值 越接 近 准确 解 , 即低 阶 离 散 坐 标 法 的不 准 确性 可 以通 过 相应 的高 阶 近似 得 到 改善 . 由 图 2 可 见 , 随着 光 学 厚度 的增 大 , 凡 积 分 方 案 的各 阶 近似 的辐 射 热 流计 算 结 果 的误 差增 大 . 相反 的 , 由图 3 可 以看 出 , 光 学厚度 越 大 , 高 斯积 分 方 案吼 的 各阶 近 似 的计 算 误 差越 一印幼均印切均功
Vol.26 No.3 刘玉英等：离散坐标法积分方案的选取 •317。 小.S角积分方案的二阶对称近似与非对称近似 F)的相对误差在光学厚为5时可达20%左右，可 分别与G,和F积分方案相同.由图4可见，S,对称 见，辐射传递方程的二通量求解方法的误差非常 角积分方案（即G)的相对误差在光学厚度较小 大，此外，相同近似阶数的各种角积分方案的准 时最大可达到15%左右，S,非对称角积分方案（即 确性各不相同，由图5可以看出，高斯积分方案 1.2 一精确解 精确解， -S不对称) 1.0 -·S(对称) F 1.0 S 0.8 0.8 90.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0.0 1.02.0 3.04.0 5.0 0 1.02.03.04.0 5.0 图1S角积分方案的量纲为1的辐射热流 图2F,角积分方案的量纲为1的辐射热流 Fig.1 Dimensionless radiative heat flux of Fig.2 Dimensionless radiative heat flux of S.angular quadrature scheme F.angular quadrature scheme 1.2 —一精确解别 0.16 G 0.08- 0.9 Gs 0.0 8 S(对称) 0.6 ■S(不对称) 0.08- 口S oS. 0.3 ■ 一零点参考线 0.16- 0.20- 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 0 1.0 2.03.0 4.0 5.0 入 图3G,角积分方案的量纲为1的辐射热流 图4S,角积分方案的量纲为1的辐射热流相对误差 Fig.3 Dimensionless radiative heat flux of Fig.4 Relative error of dimensionless radiative heat G.angular quadrature scheme flux for Sy angular quadrature scheme 0.16 (a) 0.16 (b) 0.08 0.08 ■ ■ 0.0 ￥ 0.0 G 0.08 8 0.08 ■ +G —零点参考线 G F ×S。 + 零点参考线 0.16 0.16 ●S 0.20 0.20 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 0 0.2 0.4 0.60.8 1.0 图5不同积分方案(G,S,F)的量纲为1的辐射热流的相对误差比较 Fig.5 Relative error comparison of dimensionless heat flux for different angular quadrature schemes
V 匕1 . 2 6 N o . 3 刘玉 英等 : 离散 坐标 法积 分 方案 的选 取 一 3 1 7 . 小 . 凡 角积 分方 案 的二 阶对 称 近似 与 非对 称近 似 分 别与 叹和凡 积 分 方案 相 同 . 由图 4 可 见 , 凡 对称 角 积分 方 案 ( 即 仅) 的相 对 误 差 在光 学 厚度 较 小 时 最大可 达 到 15 % 左 右 , 凡非对 称 角积 分方 案 ( 即 凡 ) 的相 对误 差 在 光学 厚 为 5 时可达 2 0% 左 右 , 可 见 , 辐 射 传递 方程 的二通 量求 解 方法 的误 差 非常 大 . 此 外 , 相 同近似 阶 数 的各 种 角积 分 方案 的准 确 性 各 不 相 同 , 由图 5 可 以看 出 , 高斯 积 分方 案 — 精确解 39I] - 一 凡 (不对称 ) - 一 凡 (对称 ) 0 . 8 0 . 6 0 . 8 乐 0 . 6 0 . 4 0 . 4 0 . 2 0 . 2 精确解阴 0 . 0 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 r 图 1 凡 角积 分方 案 的量纲 为 1 的辐射 热 流 F ig . 1 D i m e n s i o n l e s s r a d i a t iv e b e a t fl u x o f 凡 a n g u l a r q u a d r a t u er s e h e m e r 图 2 凡 角积分 方案 的 量纲 为 1 的 辐射 热流 F ig . 2 D i m e n s io n l e s s r a d i a t iv e b e a t if u x o f 凡 a n g u l a r q u a d r a t u er s c h e m e — 精确解阴 0 · G ’ 6 一丙灭 0 . 0 8 ,ù八, : 1 . n à 叫 0 . 0 : 口O S 0 、 、 . 6 凡(对称 ) - 凡(不对称 ) 刀 . 0 8 0 . 3 零点参考线 一 戒】 . 1 6 - 刁 . 2 0 - 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 了 图 3 吼 角积 分方 案 的量纲 为 1 的辐 射 热流 F i g . 3 D i m e n s i o n l e s s r a d i a t iv e h e a t fl u x o f 吼 a n g u l a r q u a d r a t u r e s e h e m e r 图 4 凡 角 积分方 案 的 量纲 为 1 的辐 射 热流 相对 误差 Fi g . 4 R e l a t iv e e r r o r o f d i m e n s i o n l e s s r a d i a ti v e h e a t fl u x fo r 凡 a n g u l a r q u a d r a t u r e s c h e ln e 0 . 16 ( a ) { 0 · ’ 6 [ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 _ 州 0 . 0 8 0 . 0 8 .` . . .叫 . . 蒸 二 叫 .0 0 刁 . 0 8 - - 一凡 ▲凡 今凡 — 零点参考线 x 凡 一毕升舟刹 “ ` 0 8 …! { . - - - .zF ` 凡 今 凡 、 . , ` 、 . 、 、 、 、 , 、 勺 , , 、 一 , ` - — 零 点参考线 x 凡 瓜认凡 场凡故二6G .一 .口+ .、 . 、 一、. 刁 . 16 刁 . 2 0 叫 . 勺 电 .叫 . , . , . . . 网 . . , . -0 . 16 -0 . 2 0 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 8 图 S 不 同 积 分 方案 (G 脚 凡 ,凡 )的量纲 为 1 的辐 射热 流 的相 对误差 比 较 F ig . 5 R e l a t i v e e r or r e o m P a r is o n o f d im e n s i o n l e s s h e a t fl u x fo r d i fl 免er n t a n g u l a r q u a d r a tu er s c h e m e s
·318· 北京科技大学学报 2004年第3期 G,的误差仍然很大，但Fiveland积分方案F:就可 此F:角积分方案是一种更好的可供选择的积分 以达到和S,积分方案S,相当的计算精度.这三种 方案 积分方案相比，Fx积分方案在相同阶数下的精度 参考文献 最高，S、积分方案次之，G积分方案的精度最差， I Chandrasekhar S.Radiative Transfer [M].New York:Do- 但当近似阶数足够高时，上述三种积分方案均可 ver Publications Inc,1960 达到较高的计算精度，但随着角积分方案阶数的 2 Carlson B G,Lathrop K D.Computing Methods in Reac- 增加，所需的计算量也增大，所以F￥积分方案是 tor Physics [M].New York:Gordon Breach,1968.165 一种较好的可供选择的积分方案， 3 Modest M F.Radiative Heat Transfer [M].New York: McGraw-Hill Inc.,1993 3结论 4李本文.辐射换热新的离散坐标法R】.杭州：浙江 大学，1998 本文以无限大平板黑表面灰介质一维辐射 5刘林华.求解辐射传递方程的离散坐标法[)】.计算 换热为例，对三种离散坐标法常用的S,Fw,Gw角 物理，1998,153)：337 积分方案进行了对比研究，并且与文献提供的精 6 Stefan TT.Discrete-ordinates method in radiative heat 确解进行了比较.研究结果表明：同一角积分方 transfer [J].Int J Eng Sci,1998,36:1651 案近似阶数越高，即离散的方向数越多，计算精 7 Fiveland W A.Discrete ordinate methods for radiative 度越高：相同近似阶数的各种角积分方案的准确 heat transfer in isotropically and anisotropically scattering media [J.J Heat Transfer (Trans.ASME),1987,109:809 性各不相同，其中Fw积分方案在相同阶数下的精 8 Abramowitz M,Stegu I A.Handbook of Mathematical 度最高，S,积分方案次之，Gw积分方案的精度最 Functions:With Formulas.Graphs,and Mathematical 差：三种角积分方案的二阶近似的误差很大，因 Tables [M].New York:Dover Publications Inc,1972 此常用的二通量法的误差很大.虽然在近似阶数 9 Heaslet M A,Warming R F.Radiative transport and wall 足够高时上述三种积分方案均可达到较高的计 temperature slip in an absorbing planar medium [J].Int J 算精度，但随着角积分方案阶数的增加，所需的 Heat Mass Transfer,1965,8:979 计算量也增大，因此合理的选择角积分方案也非 10 Liu F,Becker H A,Pollard A.Spatial differencing sche- 常重要，由于Fiveland等权值角积分方案Fx的四 mes of the discrete-ordinates method [J].Numer Heat Transfer (Part B),1996,30:23 阶近似F即可达到S积分方案六阶近似S。的计 算精度，比G积分方案的八阶近似G更精确，因 Selection of Angular Quadrature Schemes for Discrete Ordinate Method LIU Yuying,ZHANG Xinxin Thermal Engineering Department,University of Science and Technology Beijing,Beijingl00083,China ABSTRACT The radiative heat transfer of one-dimensional plane-parallel slabs under radiative equilibrium was investigated by Discrete Ordinate Method (DOM).The selection of angular qudrature schemes,which is very im- portant to the accuracy and calculation time of DOM,was studied.The accuracy of the Sx approximation quadrature scheme,Fiveland's angular quadrature scheme with equal weights F,and Gauss angular quadrature scheme Gy was analyzed.It shows that the accuracy and computation time of DOM increases with the increasing of the order of each quadrature scheme.The accuracy of DOM is different from each other for the three quadrature schemes with the same order and F is the best one among them.As a conclusion,Fx is recommended in DOM calculations. KEY WORDS radiative transfer;discrete ordinate method;angular quadrature scheme
. 3 1 8 . 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 4 年 第 3 期 认的 误差 仍然 很 大 , 但 iF ve l an d 积 分 方案凡 就 可 以达 到和 凡 积分 方案 风相 当 的计算 精 度 . 这 三种 积分 方案 相 比 , 凡积 分方案 在 相 同阶数 下 的精度 最高 , 凡 积 分方 案次 之 , 吼积 分方 案 的精 度最 差 . 但 当近 似阶 数足 够 高时 , 上述 三种 积分 方案 均可 达到较 高 的计算 精度 , 但 随着 角积 分方 案 阶数 的 增加 , 所 需 的计 算 量也 增大 , 所 以凡积 分方 案是 一种 较好 的 可供 选择 的积分 方 案 . 3 结 论 本 文 以无 限大 平 板 黑 表 面 灰 介 质 一 维 辐 射 换热 为例 , 对三 种 离散 坐标 法常 用 的 凡 , 凡 , 吼 角 积 分方 案进 行 了对 比研 究 , 并 且与 文献 提供 的精 确 解 进行 了比 较 . 研 究 结果 表 明 : 同一 角积 分方 案近似 阶数 越 高 , 即离 散 的方 向数越 多 , 计算 精 度 越高 ; 相 同近 似阶 数 的各种 角积 分方 案 的准 确 性 各不 相 同 , 其 中凡积 分方 案在 相 同阶数 下 的精 度 最 高 , 凡 积 分方 案 次 之 , G N 积 分 方 案 的精 度 最 差 ; 三种 角积 分方 案 的 二 阶近 似 的误 差 很大 , 因 此 常用 的二 通 量法 的误 差很 大 . 虽 然 在近 似 阶数 足 够 高 时上 述三 种 积 分 方案 均 可 达 到较 高 的计 算 精度 , 但随 着角 积 分方 案阶 数 的 增加 , 所需 的 计算 量也 增大 , 因 此合 理 的选择 角积 分方 案也 非 常重 要 . 由于 iF ve lan d 等 权值 角 积 分方 案几 的四 阶 近 似凡 即 可 达 到凡 积 分方 案六 阶近 似民 的计 算精 度 , 比 吼积 分方 案 的八 阶近 似 G 。 更 精确 , 因 此凡角 积 分 方案 是 一 种 更好 的可 供选 择 的积 分 方案 . 参 考 文 献 1 C h a n dr a s e hk ar S . aR d i at i v e T r an s fe r [M 」 . N e w yo kr : D o - v e r P u b li c at i o n s In e , 1 9 6 0 2 C ar l s o n B G , L a t】l r 0 P K D . C o m P u t in g M e t h o d s i n R e a c - t o r Ph y s i e s [M l . N e w oY r k : G o r d o n & B er a e h , 1 9 6 8 . 16 5 3 M o d e s t M F . aR d iat i v e H e a t T r a n s fe r [M ] . N e w oy r k : M e G ar w 一 H i ll nI e , 19 9 3 4 李本文 . 辐 射换热 新 的离 散坐标 法 [R] . 杭 州: 浙江 大 学 , 1 9 9 8 5 刘 林华 . 求解 辐射 传 递方程 的离 散坐 标法 IJ] . 计算 物 理 , 1 9 9 8 , 1 5 ( 3 ) : 3 3 7 6 S t e fa n T T D i s e r e t e 一 o r d i n at e s m e th o d i n r ad i a ti v e h e a t tr a n s fe r I J」 . I n t J E n g S e i , 19 9 8 , 3 6 : 16 5 1 7 F i v e l胡d W A . D i s c r e t e o dr i n at e m e th o d s fo r r a d iat i v e h e at t r an s fe r i n i s o tr o P i e a ll y an d an i s o otr Pi e a l ly s e at e r i n g m e d i a 〔J I . J He at T r a ll s fe r ( rT a n s . A SM E ) , 19 8 7 , 1 0 9 : 8 0 9 8 A b r am o w i t z M , S t e g u I A . H a n d b o o k o f M a th e m at i e a l F u n e ti o n s : Wi ht F omr u l a s , G r a Ph s , an d M a th e m a ti e a l 几b l e s tM ] . N e w oY r k : D o v e r P u b li e at i o n s I n c , 19 7 2 9 H e a s l e t M A , M厄r n 1 1 n g R F . aR d iat i v e tr an s P o rt an d w a l l t e m Pe r a t ur e s li P i n a n a b s o r b i n g Pl an ar m e d i u m 【J l . I n t J H e at M a s s rT an s fe 坑 1 9 6 5 , 8 : 9 7 9 10 L i u F , B e c k e r H A , P o l lar d A . S P at i a l d i fe re n e in g s c h e - m e s o f t h e d i s e r e t e 一 o r d i n at e s m e t h o d [J l . N u m e r H e at rT an s fe r ( P art B ) , 19 9 6 , 3 0 : 2 3 S e l e c t i o n o f A n g u l a r Q u a dr a tur e S c h e m e s of r D i s e r e t e O r d i n a t e M e t h o d LI U h o 声 i gn , 乙队咬刀G iX xn in T h e rm a l E n g i n e e r in g D e P 别rt m e n t , U n i v e r s ity o f s e i e n e e an d eT e hn o l o gy B e ij in g , B e ij in g l 0O0 8 3 , C h i n a A B S T R A C T hT e r a di at i v e h e at t r a 幻 s fe r o f o n e 一 d im e n s i o n a l P lan e 一 P ar a l l e l s l ab s un d e r ra d i at i v e e qu i li b ir um w a s ivn e s t i g at e d b y D i s e r e t e O r d in at e M e ht o d (D O M ) . T h e s e l e e t i o n o f an gn l ar q u d r a tu r e s c h e m e s , w h i e h 1 5 v e yr im - P o rt an t t o ht e a e e ur a e y an d e a l e u l at i o n t im e o f D O M , w as s ut d i e d . T h e a e c ur a cy o f ht e 易 aP P or x im at i o n q u a dr a tL ir e s e h e m e , F i v e lan d , 5 an g u lar q u a d r a t u r e s e h e m e w it h e q ua l w e i g ht s 凡 an d G au s s an g u lar q u a d r a t u r e s e h e m e 吼 w a s an a ly z e d . tI s h o w s th at th e a e e ur a e y an d e o m P u t a t i o n t im e o f D O M i n c r e a s e s w it h th e i n e r e a s i n g o f ht e o r d e r o f e a c h qua dr a t u r e s e h e m e . hT e a e e ur a e y o f D O M 1 5 d ife r e n t fr o m e a e h o t h e r fo r t h e thr e e q ua dr a ut r e s c h e m e s 侧ht ht e s a m e o r d e r an d 凡 15 ht e b e s t o n e am o n g ht e m . A s a e o n e l u s i o n , 几 1 5 r e e o m m e n d e d i n D O M e a l e u lat i o n s . K E Y WO R D S ar d i a it v e t r a l l s fe r : d i s e er t e o dr i n a t e m e ht o d ; a n g u lar q u a d ra t u r e s e h e m e