D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.0L.019 第30卷第1期 北京科技大学学报 Vol.30 No.1 2008年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2008 动态噪声特性未知系统的多模型自适应卡尔曼滤波 李晓理)钱晓龙2) 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832)东北大学信息科学与工程学院，沈阳110004 摘要针对常规自适应卡尔曼滤波器存在过渡过程差的问题，基于一个给定的指标切换函数，采用多个基于不同动态噪 声协方差矩阵的卡尔曼滤波器和一个常规自适应卡尔曼滤波器共同组成多模型自适应卡尔曼滤波器·与常规自适应卡尔曼 滤波器相比，多模型自适应卡尔曼滤波器可以在保持原有自适应滤波器性能的基础上极大地改善瞬态响应· 关键词噪声特性：未知系统；自适应卡尔曼滤波：切换：多模型 分类号TP273 Multiple model adaptive Kalman filter for the system without the knowledge of process noise LI Xiaoli).QIAN Xicolong2) 1)School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)College of Information Science and Engineering.Northeastern University.Shenyang 110004.China ABSTRACT To solve the bad transient response of a conventional adaptive Kalman filter.multiple Kalman filters based on different noise covariances and a conventional adaptive Kalman filter (AKF)were used to form a multiple model adaptive Kalman filter (MMAKF)by using a switching index function.Compared with a conventional AKF.the MMAKF could improve the transient re- sponse greatly without losing the characteristic of the conventional AKF. KEY WORDS noise characteristic:unknown system:adaptive Kalman filtering:switching:multiple model 对于用状态方程描述的离散时间系统，系统的 方差矩阵的可能取值设计多个固定卡尔曼滤波器 动态噪声的统计特性一噪声协方差矩阵一很难 (即基于多个固定噪声协方差矩阵设计卡尔曼滤波 精确获得，因此对此类系统进行状态估计时常采用 器)，每一个采样时刻，根据滤波输出误差对每一个 自适应卡尔曼滤波(AKF)],此类卡尔曼滤波器 固定卡尔曼滤波器计算一个小于1的权值，被估系 常常是一边辨识噪声的协方差矩阵，一边基于辨识 统的滤波输出值将是多个卡尔曼滤波器滤波输出的 的噪声协方差矩阵进行卡尔曼滤波，正是由于自适 加权和，这种滤波器的滤波效果直接取决于多个固 应卡尔曼滤波需要一个自适应辨识过程，因此常会定卡尔曼滤波器的选取，因此增加了滤波器的设计 由于辨识初值选取不恰当，造成滤波的过渡过程不 难度，另外，这种滤波器的收敛性很难证明，有时甚 理想，甚至造成发散， 至会造成滤波发散，进入20世纪90年代，基于指 利用多个模型覆盖被估对象的参数或结构不确 标切换函数的多模型自适应控制[一]被用来改善 定性，进而基于多个模型设计滤波器能够较好地解 自适应控制系统的瞬态响应，并且有理想的稳定性 决上述问题.文献[4]采用加权和的形式设计了自 和收敛性证明结果，本文将这种思想推广到了滤波 适应卡尔曼滤波器，针对被估计系统的动态噪声协 领域。与加权和多模型卡尔曼滤波器一样，设计多 个固定卡尔曼滤波器，同时保留一个常规的自适应 收稿日期：2006-12-05修回日期：2007-04-01 基金项目：国家自然科学基金资助项目(No,60604002):北京市科 卡尔曼滤波器。对每一个卡尔曼滤波器建立一个基 技新星计划资助项目(No·2006B23):北京科技大学422高层次引 于滤波误差的带有积分形式的指标切换函数，由此 进人才计划资助项目；北京市教委共建重点学科资助项目(N。: 切换函数和多个滤波器共同构成多模型自适应卡尔 xk100080537). 曼滤波器(MMAKF)·每一个采样时刻均计算指标 作者简介：李晓理(1971一)，男，副教授，博士
动态噪声特性未知系统的多模型自适应卡尔曼滤波 李晓理1） 钱晓龙2） 1） 北京科技大学信息工程学院北京100083 2） 东北大学信息科学与工程学院沈阳110004 摘 要 针对常规自适应卡尔曼滤波器存在过渡过程差的问题基于一个给定的指标切换函数采用多个基于不同动态噪 声协方差矩阵的卡尔曼滤波器和一个常规自适应卡尔曼滤波器共同组成多模型自适应卡尔曼滤波器．与常规自适应卡尔曼 滤波器相比多模型自适应卡尔曼滤波器可以在保持原有自适应滤波器性能的基础上极大地改善瞬态响应． 关键词 噪声特性；未知系统；自适应卡尔曼滤波；切换；多模型 分类号 TP273 Multiple model adaptive Kalman filter for the system without the knowledge of process noise LI Xiaoli 1）QIA N Xiaolong 2） 1） School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） College of Information Science and EngineeringNortheastern UniversityShenyang110004China ABSTRACT To solve the bad transient response of a conventional adaptive Kalman filtermultiple Kalman filters based on different noise covariances and a conventional adaptive Kalman filter （AKF ） were used to form a multiple model adaptive Kalman filter （MMAKF） by using a switching index function．Compared with a conventional AKFthe MMAKF could improve the transient response greatly without losing the characteristic of the conventional AKF． KEY WORDS noise characteristic；unknown system；adaptive Kalman filtering；switching；multiple model 收稿日期：2006-12-05 修回日期：2007-04-01 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．60604002）；北京市科 技新星计划资助项目（No．2006B23）；北京科技大学422高层次引 进人才计划资助项目；北京市教委共建重点学科资助项目（No． xk100080537）． 作者简介：李晓理（1971—）男副教授博士 对于用状态方程描述的离散时间系统系统的 动态噪声的统计特性———噪声协方差矩阵———很难 精确获得因此对此类系统进行状态估计时常采用 自适应卡尔曼滤波（AKF） ［1—3］．此类卡尔曼滤波器 常常是一边辨识噪声的协方差矩阵一边基于辨识 的噪声协方差矩阵进行卡尔曼滤波．正是由于自适 应卡尔曼滤波需要一个自适应辨识过程因此常会 由于辨识初值选取不恰当造成滤波的过渡过程不 理想甚至造成发散． 利用多个模型覆盖被估对象的参数或结构不确 定性进而基于多个模型设计滤波器能够较好地解 决上述问题．文献［4］采用加权和的形式设计了自 适应卡尔曼滤波器．针对被估计系统的动态噪声协 方差矩阵的可能取值设计多个固定卡尔曼滤波器 （即基于多个固定噪声协方差矩阵设计卡尔曼滤波 器）．每一个采样时刻根据滤波输出误差对每一个 固定卡尔曼滤波器计算一个小于1的权值被估系 统的滤波输出值将是多个卡尔曼滤波器滤波输出的 加权和．这种滤波器的滤波效果直接取决于多个固 定卡尔曼滤波器的选取因此增加了滤波器的设计 难度．另外这种滤波器的收敛性很难证明有时甚 至会造成滤波发散．进入20世纪90年代基于指 标切换函数的多模型自适应控制［5—10］ 被用来改善 自适应控制系统的瞬态响应并且有理想的稳定性 和收敛性证明结果．本文将这种思想推广到了滤波 领域．与加权和多模型卡尔曼滤波器一样设计多 个固定卡尔曼滤波器同时保留一个常规的自适应 卡尔曼滤波器．对每一个卡尔曼滤波器建立一个基 于滤波误差的带有积分形式的指标切换函数由此 切换函数和多个滤波器共同构成多模型自适应卡尔 曼滤波器（MMAKF）．每一个采样时刻均计算指标 第30卷 第1期 2008年 1月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．1 Jan．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．01．019
.102 北京科技大学学报 第30卷 函数，将使指标函数获得最小值的那个滤波器的输 PA(k+1)= 出切换为MMAKF的滤波输出.仿真实验表明此 [Im,一KA(k十1)H]PA(k+1|k),Hk≥0 种MMAKF可以极大地改善AKF的瞬态响应，并 (12) 能获得和常规AKF一样的收敛性质， XA(0)=EX(0),PA(0)=varX(0) (13) 1模型描述 P,(0-1)△0 (14) 考虑如下离散时间系统： T=[(H)'(H)](H)', X(k+1)=Φx(k)+W(k) Hk≥0 T2△T1H,R△T1Ri (15) y(k+1)=Hx(k+1)+V(k+1)Hk≥0 其中，下标A表示自适应滤波器，P,(k十1|k)为新 (1) 息序列yA(k十1k)的方差3] 式中，X∈R"是系统的状态向量，y∈R",是系统的 这里假设矩阵(H)(HD)可逆.自适应求解 观测向量，W∈Rm是系统的动态噪声，V∈Rm·是 的过程中，可以看出动态噪声W的协方差矩阵Q 观测噪声向量，Φ∈Rm,×m,是系统的状态转移矩 是被逐渐辨识出来的，因此如果辨识的初值选取不 阵，『∈RmXm是干扰输入矩阵，H∈Rm,Xm是观 恰当，就会造成过渡过程的瞬态响应很差，采用多 测矩阵 模型方法将是解决此类问题的一个很好的方法 关于系统的随机性：动态噪声{W(k),k≥O}和 2.2多模型自适应卡尔曼滤波器 观测噪声V(k十1)，k≥0是不相关的零均值白噪 基于不同的动态噪声协方差矩阵，设计多个固 声，初始状态是mx维高斯随机向量，且 定卡尔曼滤波器，即每一个卡尔曼滤波器的动态噪 EW(k)W'(j)= 声的协方差矩阵已知，但各不相同，考虑系统(1)的 08(k,j),00,Hk,j≥0 (2) 动态噪声的协方差矩阵的变化范围2∈Rm.xm已 EV(k+1)V'(G+1)= 知，即： R(k,j),R0,Hk,j≥0 (3) Q∈2=QlQ>0的所有可能取值1. EW(k)V'(G+1)=0,varx(0)=P(0)(4) 针对2，采用n个Q可能取值的离散的协方差 EX(0)W'(j)=0, Ex(0)V'(k+1)=0,Hk≥0 矩阵Q1,Q2,,Qm}∈2，建立n个卡尔曼滤波 (5) 器， 其中，Q和R皆为正定矩阵，P(O)为系统状态在0 X:(k+1)=X:(k十1|k)+ 时刻的协方差矩阵。 K:(k+1)[y(k+1)一：(k+1k)](16) 2多模型自适应卡尔曼滤波器 X:(k+1k)=r:(k) (17) 2.1常规自适应卡尔曼滤波器 :(k+1k)=H(k+1)X:(k+1k)(18) 对于离散时间系统(1)，系统的动态噪声W的 K:(k+1)=P:(k+1k)H(k+1)· 协方差矩阵Q很难精确的获得，因此常常采用如下 [Hk+1)P:(k+1)k)H(k+1)+R]-1 的自适应卡尔曼滤波器进行求解 (19) XA(k十1)=ΦKA(k)十Ka(k十1)yA(k十1k) P:(k十1|k)=ΦP:(k)Φ'+T0 (20) (6) P:(k+1)= yA(+1)=y(+1)-H(k) (7) [1m一K:(k+1)H(k+1)]P:(k+1|k)(21) KA(k十1)= X:(0)=EX(0)=X(0),P:(0)=varX(0), PA(k+1)HHP(k+1)H+R](8) Hk≥0，i=1,2,…,n (22) PA(k+1k)=ΦPa(k)Φ'+TQ(k)T'(9) 其中，下标i取不同值代表基于不同动态噪声协方 Q(k)=TP,(k+1lk)Ti-R-T2PA(k)2 差矩阵的卡尔曼滤波器. (10) 同时建立一个基于输出误差的指标切换函数， P,(k+1k)= 用于多个滤波器之间的切换 本P,(k-)十中(k+1k)少(k+1) 定义1固定卡尔曼滤波器指标切换函数： (11) o=Ie()2+le0)3
函数将使指标函数获得最小值的那个滤波器的输 出切换为 MMAKF 的滤波输出．仿真实验表明此 种 MMAKF 可以极大地改善 AKF 的瞬态响应并 能获得和常规 AKF 一样的收敛性质． 1 模型描述 考虑如下离散时间系统： X（ k＋1）＝ΦX（ k）＋ΓW（ k） ∀k≥0 y（ k＋1）＝ HX（ k＋1）＋V（ k＋1） ∀k≥0 （1） 式中X∈R mx是系统的状态向量y∈R my是系统的 观测向量W∈R mw 是系统的动态噪声V∈R mv 是 观测噪声向量Φ∈R mx×mx 是系统的状态转移矩 阵Γ∈R mx×mw 是干扰输入矩阵H∈R my×mx 是观 测矩阵． 关于系统的随机性：动态噪声｛W（ k）k≥0｝和 观测噪声｛V（ k＋1）k≥0｝是不相关的零均值白噪 声初始状态是 mx 维高斯随机向量且 E W（ k） W′（ j）＝ Qδ（ kj）Q≥0∀kj≥0 （2） E V（ k＋1）V′（ j＋1）＝ Rδ（ kj）R＞0∀kj≥0 （3） E W（ k）V′（ j＋1）＝0var X（0）＝P（0） （4） E X（0） W′（ j）＝0 E X（0）V′（ k＋1）＝0∀k≥0 （5） 其中Q 和 R 皆为正定矩阵P（0）为系统状态在0 时刻的协方差矩阵． 2 多模型自适应卡尔曼滤波器 2∙1 常规自适应卡尔曼滤波器 对于离散时间系统（1）系统的动态噪声 W 的 协方差矩阵 Q 很难精确的获得因此常常采用如下 的自适应卡尔曼滤波器进行求解． ＾XA（ k＋1）＝Φ＾XA（ k）＋ KA（ k＋1） y ～ A（ k＋1｜k） （6） y ～ A（ k＋1｜k）＝y（ k＋1）— HΦ＾XA（ k） （7） KA（ k＋1）＝ PA（ k＋1｜k） H′［ HP（ k＋1｜k） H′＋ R］ —1 （8） PA（ k＋1｜k）＝ΦPA（ k）Φ′＋ΓQ（ k）Γ′ （9） Q（ k）＝Γ1Py（ k＋1｜k）Γ′1— R—Γ2PA（ k）Γ′2 （10） Py（ k＋1｜k）＝ k k＋1 Py（ k｜k—1）＋ 1 k＋1 y ～ A（ k＋1｜k） y ～ ′A（ k＋1｜k） （11） PA（ k＋1）＝ ［ Imx— KA（ k＋1） H］ PA （ k＋1｜k）∀k≥0 （12） ＾XA（0）＝E X（0）PA（0）＝var X（0） （13） Py（0｜—1）≜0 （14） Γ1＝［（ HΓ）′（ HΓ）］ —1（ HΓ）′ Γ2≜Γ1HΦR≜Γ1RΓ′1 （15） 其中下标 A 表示自适应滤波器Py（ k＋1｜k）为新 息序列 y ～ A（ k＋1｜k）的方差［3］ 这里假设矩阵（ HΓ）′（ HΓ）可逆．自适应求解 的过程中可以看出动态噪声 W 的协方差矩阵 Q 是被逐渐辨识出来的．因此如果辨识的初值选取不 恰当就会造成过渡过程的瞬态响应很差．采用多 模型方法将是解决此类问题的一个很好的方法． 2∙2 多模型自适应卡尔曼滤波器 基于不同的动态噪声协方差矩阵设计多个固 定卡尔曼滤波器即每一个卡尔曼滤波器的动态噪 声的协方差矩阵已知但各不相同．考虑系统（1）的 动态噪声的协方差矩阵的变化范围 Ω∈R mv×mv 已 知即： Q∈Ω＝｛Q｜Q＞0的所有可能取值｝． 针对 Ω采用 n 个 Q 可能取值的离散的协方差 矩阵｛Q1Q2…Qn｝∈Ω建立 n 个卡尔曼滤波 器． ＾Xi（ k＋1）＝＾Xi（ k＋1｜k）＋ Ki（ k＋1）［ y（ k＋1）—＾yi（ k＋1｜k）］ （16） ＾Xi（ k＋1｜k）＝Φ＾Xi（ k） （17） ＾yi（ k＋1｜k）＝ H（ k＋1）＾Xi（ k＋1｜k） （18） Ki（ k＋1）＝Pi（ k＋1｜k） H′（ k＋1）· ［ H（ k＋1） Pi（ k＋1）｜k） H′（ k＋1）＋ R］ —1 （19） Pi（ k＋1｜k）＝ΦPi（ k）Φ′＋ΓQiΓ′ （20） Pi（ k＋1）＝ ［ Imx— Ki（ k＋1） H（ k＋1）］ Pi（ k＋1｜k） （21） ＾Xi（0）＝E X（0）＝X（0）Pi（0）＝var X（0） ∀k≥0i＝12…n （22） 其中下标 i 取不同值代表基于不同动态噪声协方 差矩阵的卡尔曼滤波器． 同时建立一个基于输出误差的指标切换函数 用于多个滤波器之间的切换． 定义1 固定卡尔曼滤波器指标切换函数： Ji（ t）＝‖ei（ t）‖2＋ ∑ t—1 j＝0 ‖ei（ j）‖2 ·102· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第1期 李晓理等：动态噪声特性未知系统的多模型自适应卡尔曼滤波 103. e:(t)=:(tt-1)-y(t),=1,2,…,n. 定义2自适应卡尔曼滤波器指标切换函数： k(a)=Ie,()+Ie,O)3, ea(t)=4(tlt-1)-y(t), 给定一个任意小的正数>0，由指标切换函数 构成多模型自适应卡尔曼滤波器(MMAKF): 203040 t/s (1)t=0,X(t)=X(0): (2)t>0,若 图1多模型自适应卡尔曼滤波器（一）与噪声方差已知的卡尔 ‖Q(k+1)-Q(k)‖<e, 曼滤波器（一）的滤波效果比较 Fig.1 Comparison of filtering result by a multiple model adaptive 则 Kalman filter(-)with that by a Kalman filter with a known noise x(t)=xA(t): covariance matrix(一) 否则，计算 1()=arg in(). 并有 XA(t), JA≤J() X(t)= X(t),JA>() (3)令t=t+1,返回(2). 从MMAKF的构成可以看出，当MMAKF中 10 20304050 常规AKF对动态噪声的辨识逐渐收敛时， s MMAKF就被切换成为一个常规AKF,因此 图2常规自适应卡尔曼滤波（一）与噪声方差已知的卡尔曼滤 MMAKF与常规的AKF具有同样的收敛特性.但 波器（一）的滤波效果比较 由于多个固定卡尔曼滤波器的存在，在滤波的初始 Fig.2 Comparison of filtering result by a conventional adaptive 阶段滤波效果将得到极大地改善. Kalman filter (-)with that by a Kalman filter with a known noise covariance matrix(一) 3仿真研究 考虑被估值系统的状态方程和量测方程： 4 结论 X(k+1)=0.5X(k)+W(k) Hk≥0 将基于指标切换函数的多模型自适应控制的思 y(k+1)=X(k+1)+V(k+1)Hk≥0 想推广到卡尔曼滤波器的设计过程当中.基于多个 (23) 固定的动态噪声协方差矩阵建立多个固定的卡尔曼 var W(k)=Q(k)=1 (24) 滤波器，并与常规自适应卡尔曼滤波器相结合，基于 varV(k+1)=R(k+1)=2 指标切换函数构成多模型自适应卡尔曼滤波器，与 (25) 常规的卡尔曼滤波器相比，这种多模型卡尔曼滤波 EX(0)=0,P(0)=varX(0)=1 (26) 器在保证了常规卡尔曼滤波器的收敛性质的同时， 假设动态噪声的统计特性未知，分别采用MMAKF 极大地改善了瞬态响应， 和常规AKF对此系统进行状态估计，并将滤波估计 的结果同Q已知的卡尔曼滤波结果相比较.其中 参考文献 MMAKF由四个固定卡尔曼滤波器和一个自适应 [1]Mehra R K.On the identification of variances and adaptive 卡尔曼滤波器共同构成，四个卡尔曼滤波器分别基 Kalman filtering.IEEE Trans Autom Control,1970.15(2): 175 于Q为0.1,0.5,1.0和1.5建立.从图1和图2 [2]Mehra R K.Online identification of linear dynamie system with 的比较可以看出，在滤波的初始阶段，MMAKF极 application to Kalman filtering.IEEE Trans Auom Control. 大地改善了滤波效果，整个滤波效果与Q已知的卡 1971,16(1):12 尔曼滤波结果基本上一致， [3]LiS Y.Xu MZ.Filtering and Control of Stochastie System. Beijing:Defense Industry Publishing House,1991
ei（ t）＝＾yi（ t｜t—1）—y（ t）i＝12…n． 定义2 自适应卡尔曼滤波器指标切换函数： JA（ t）＝‖eA （ t）‖2＋ ∑ t—1 j＝0 ‖eA （ j）‖2 eA（ t）＝＾yA （ t｜t—1）—y（ t） 给定一个任意小的正数ε＞0由指标切换函数 构成多模型自适应卡尔曼滤波器（MMAKF）： （1） t＝0＾X（ t）＝X（0）． （2） t＞0若 ‖ Q（ k＋1）— Q（ k）‖＜ε 则 ＾X（ t）＝＾XA（ t）； 否则计算 l（ t）＝arg min 1≤ i≤ n Ji（ t） 并有 ＾X（ t）＝ ＾XA（ t） JA≤Jl（ t） ＾Xl（ t）（ t） JA＞Jl（ t） （3） 令 t＝t＋1返回（2）． 从 MMAKF 的构成可以看出当 MMAKF 中 常规 AKF 对 动 态 噪 声 的 辨 识 逐 渐 收 敛 时 MMAKF 就 被 切 换 成 为 一 个 常 规 AKF因 此 MMAKF 与常规的 AKF 具有同样的收敛特性．但 由于多个固定卡尔曼滤波器的存在在滤波的初始 阶段滤波效果将得到极大地改善． 3 仿真研究 考虑被估值系统的状态方程和量测方程： X（ k＋1）＝0∙5X（ k）＋ W（ k） ∀k≥0 y（ k＋1）＝X（ k＋1）＋ V （ k＋1） ∀k≥0 （23） var W（ k）＝ Q（ k）＝1 （24） var V （ k＋1）＝ R（ k＋1）＝2 （25） E X（0）＝0P（0）＝var X（0）＝1 （26） 假设动态噪声的统计特性未知分别采用 MMAKF 和常规 AKF 对此系统进行状态估计并将滤波估计 的结果同 Q 已知的卡尔曼滤波结果相比较．其中 MMAKF 由四个固定卡尔曼滤波器和一个自适应 卡尔曼滤波器共同构成四个卡尔曼滤波器分别基 于 Q 为0∙10∙51∙0和1∙5建立．从图1和图2 的比较可以看出在滤波的初始阶段MMAKF 极 大地改善了滤波效果整个滤波效果与 Q 已知的卡 尔曼滤波结果基本上一致． 图1 多模型自适应卡尔曼滤波器（---）与噪声方差已知的卡尔 曼滤波器（—）的滤波效果比较 Fig．1 Comparison of filtering result by a multiple model adaptive Kalman filter （---） with that by a Kalman filter with a known noise covariance matrix （—） 图2 常规自适应卡尔曼滤波（---）与噪声方差已知的卡尔曼滤 波器（—）的滤波效果比较 Fig．2 Comparison of filtering result by a conventional adaptive Kalman filter （---） with that by a Kalman filter with a known noise covariance matrix （—） 4 结论 将基于指标切换函数的多模型自适应控制的思 想推广到卡尔曼滤波器的设计过程当中．基于多个 固定的动态噪声协方差矩阵建立多个固定的卡尔曼 滤波器并与常规自适应卡尔曼滤波器相结合基于 指标切换函数构成多模型自适应卡尔曼滤波器．与 常规的卡尔曼滤波器相比这种多模型卡尔曼滤波 器在保证了常规卡尔曼滤波器的收敛性质的同时 极大地改善了瞬态响应． 参 考 文 献 ［1］ Mehra R K．On the identification of variances and adaptive Kalman filtering．IEEE T rans A utom Control197015（2）： 175 ［2］ Mehra R K．On-line identification of linear dynamic system with application to Kalman filtering． IEEE T rans A utom Control 197116（1）：12 ［3］ Li S YXu M Z．Filtering and Control of Stochastic System． Beijing：Defense Industry Publishing House1991 第1期 李晓理等： 动态噪声特性未知系统的多模型自适应卡尔曼滤波 ·103·
,104 北京科技大学学报 第30卷 (李树英，许茂增，随机系统的滤波与控制，北京：国防工业出 strategy for multivariable model predictive control.Control Eng 版社，1991) Pract,2003,11(6)649 [4]Li X R.A Recursive multiple model approach to noise identifica- [8]Baing J M.Seborg D E.Hespanha J P.Multi-model adaptive tion-IEEE Trans Aerosp Electron Syst,1994,30(3):671 control of a simulated pH neutralization process.Control Eng [5]Narendra K S,Balakrisham.Improving transient response of Pract,2007,15(6):663 adaptive control system using multiple model and switching. [9]LI X L.Wang W.Multiple Model Adaptive Control.Beijing: IEEE Trans Autom Control.1994.39(9):1861 Science Press,2001 [6]Narendra K S,Xiang C.Adaptive control of discrete time systems (李晓理，王伟，多模型自适应控制，北京：科学出版社，2001) using multiple models.IEEE Trans Autom Control.2000.45 [10]Zhivoglyado P.Middleton R H.Fu M Y.Localization based (9):1669 switching adaptive control for time varying discrete systems. [7]Dougherty D.Cooper D.A practical multiple model adaptive IEEE Trans Autom Control,2000.45(4):752 (上接第79页) Metrol Sin,200516(3):200 (胡亮，段发阶，丁克勤，等.基于线阵CCD钢板表面缺陷在 参考文献 线检测系统的研究.计量学报，2005,26(3)：200) [1]Liu Z.Wu J.Zhang H.Design and practice of the hot strip sur- [5]Lian Z G.Xu K.Xu J W.3D detection technique for surface de- face quality inspection system.BAOSTEEL Technol,2005.13 fects of steel plates hased on linear laser.J Univ Sci Technol Bei- (6):57 jing,2004,26(12):662 (刘钟，吴杰，张华.热轧带钢表面质量检测系统的工程设计 (梁治国，徐科，徐金梧.基于线型激光的钢板表面缺陷三维 与实践.宝钢技术，2005,13(6)：57) 检测技术.北京科技大学学报，2004,26(12)：662) [2]David G.Park.Practical application of on line hot strip inspection [6]Xu K.Xu J W,LuS L.et al.Research on automatic surface in- system at Hoogovens.Iron Steel Eng.1995.72(7):40 spection system for cold rolled strips.Iron Steel.2000.35(10): [3]Ceracki P.Reizig HJ.Ulrich.et al.Online inspection of hot 63 rolled strip.MPT Int.2000.23(4):1 (徐科，徐金梧，鹿守理，等.冷轧带钢表面自动监测系统的 [4]Hu L.Duan F J.Ding K Q,et al.Study on in-line surface defect 研究.钢铁，2000,35(10)：63) detection system or steel strip based on linear CCD sensor.Acta
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