92.2极值定理 定理924(极值定理)设 hermite矩阵的n个特 征值为4≥22…4,其相应的标准酉交 特征向量为4,2…,un用C表示酉空间 Cn任意的k维子空间,那么 n =max min R(x) x∈C1且x≠0 或= max min R(x) Cn-k+1x∈Cn-k+1且x≠0
9.2.2 极值定理 定理9.2.4(极值定理) 设Hermite矩阵的n个特 征值为 ，其相应的标准酉交 特征向量为 . 用Ck表示酉空间 Cn中任意的k维子空间，那么 1 2 ... n 1 2 , ,..., n u u u 1 1 0 0 max min ( ) max min ( ) k k n k n k k C x C x k C x C x R x R x − + − + = = 且 且 或
923 Hermite矩阵特征值问题的性态 矩阵特征值问题与求解线性方程组问题 样,都存在当矩阵A的原始数据有小变化(小扰 动)时,引起特征值问题的变化有大有小的问题, 如果引起的变化小,称该特征值问题是良态的 反之,称为病态的. 矩阵特征值问题的性态是很复杂的,通常 分别就单个特征值或整体特征值给出状态数进 行分析.对于 Hermite矩阵,由于其特征值问题 的特殊性质,其特征值都是良态的.下面先证明 Hermite矩阵特征值的扰动定理
9.2.3 Hermite矩阵特征值问题的性态 矩阵特征值问题与求解线性方程组问题一 样，都存在当矩阵A的原始 数据有小变化(小扰 动)时，引起特征值问题的变化有大有小的问题， 如果引起的变化小，称 该特征值问题是良态的. 反之，称为病态的. 矩阵特征值问题的性态是很复杂的，通常 分别就单个特征值或整体特征值给出状态数进 行分 析. 对于Hermite矩阵，由于其特征值问题 的特殊性质，其特征值都是良态的.下面先证明 Hermite矩阵特征值的扰动定理
定理92.5设矩阵A,E,AE都是n阶 Hermite 矩阵,其特征值分别为≥2…≥1E12E2…≥En A212…≥Hn那么,2+En≤A≤1+E1 证设矩阵A关于特征值λ1,λ2,…,An的标准 酉交特征向量为u,u2,…,un,C n-i+1 是由u;, i+1,· ,un生成的n计1维子空间 对C.,中任意非零向量x,由极值定理,有 x(a+ e)x 11≤max x∈Cn+1且x≠0 H x ax xEx maX max x∈C n-i+1且x≠ 0x1xx∈Cn+1且x≠0xx
定理9.2.5 设矩阵A，E，A+E都是n阶Hermite 矩阵，其特征值分别为 那么, 证 设矩阵A关于特征值λ1，λ2，…，λn 的标准 酉交特征向量为u1，u2，…，un， 是由ui，ui+1，…，un生成的n-i+1维子空间. 对 中任意非零向量x,由极值定理,有 1 2 n 1 2 n 1 2 n i n i i + + 1 Cn i − +1 Cn i − +1 1 1 1 0 0 0 ( ) max max max n i n i n i H i H x C x H H H H x C x x C x x A E x x x x Ax x Ex x x x x − + − + − + + = + 且 且 且
H Ax 由定理92.3,xe maX n+1且x≠0x1x 又由定理922,对任意x0,有 x Ex naX En x∈Cn+1且x≠0xhx 从而有14≤1+E1 另一方面,A=(A+EE.记≥2…≥矩阵 E的特征值,那么,=-En 重复上面的过程,可得41≤1+6 从而有p4≥2+
由定理9.2.3， 又由定理9.2.2，对任意x≠0，有 从而有 另一方面, A=(A+E)-E. 记 为矩阵- E的特征值，那么， 重复上面的过程,可得 从而有 1 0 max n i H H i x C x x Ax x x − + = 且 1 1 0 max n i H H n x C x x Ex x x − + 且 i i + 1 1 2 n i n i 1 = − − + i i + 1 i i n +
定理9.2.5通常又称为 Hermite矩阵特征值 的扰动定理 定理926设矩阵A和A′=A+E都是n阶 Hermite矩 阵,其特征值分别为≥2≥…≥2n 和≥22…2那么-E2A2≤4+E2 这个定理表明,扰动矩阵E使A的特征值的变化 不会超过l2一般2小,因此, Hermite 矩阵特征值是良态的
定理9.2.5通常又称为Hermite矩阵特征值 的扰动定理 定理9.2.6 设矩阵A和A′=A+E都是n阶Hermite矩 阵，其特征值分别为 和 ，那么 这个定理表明，扰动矩阵E使A的特征值的变化 不会超过 ‖E‖2 . 一般‖E‖2 Hermite 矩阵特征值是良态的. 1 2 n 1 2 n i i − + E E 2 2 2