武汉大学：《数值分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 矩阵特征值问题的数值方法

9,2 Hermite矩阵特征值问题 设A为n阶矩阵,其共轭转置矩阵记为AH如 果A=AH,那么,A称为 Hermite矩阵

9.2 Hermite矩阵特征值问题 • 设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为AH. 如 果A=AH，那么，A称为Hermite矩阵

921 Hermite矩阵的有关性质 设1,2,…,是 Hermite矩阵A的n个特征 值.有以下性质 入,气2,…,,全是实数 1,气2,…,,有相应的n个线性无关的特征 向量,它们可以化为一组标准酉交的特征 向量组41,l2,…,n,即l Ln是酉空间中的一组标准酉交基

9.2.1 Hermite矩阵的有关性质 设 是Hermite矩阵A的n个特征 值. 有以下性质: • 全是实数. 1 2 , ,...,   n 1 2 , ,...,   n • 有相应的n个线性无关的特征 向量，它们可以化为一组标准酉交的特征 向量组 ,即 1 2 , ,...,   n 1 2 , ,..., n u u u H i j u u ij =  • 1 2 是酉空间中的一组标准酉交基. , ,..., n u u u

记U=(l4,2…,1n),它是一个西阵,即 UHU=UUHI,那么 UAU= D A与以入1,气23…,元,为对角元的对角阵相似 A为正定矩阵的充分必要条件是,兄2,…,n 全为正数

• 记U=( ),它是一个酉阵，即 UHU=UUH=I，那么 即A与以 为对角元的对角阵相似. 1 2 , ,..., n u u u 1 H n U AU D       = =       1 2 , ,...,   n • A为正定矩阵的充分必要条件是 全为正数. 1 2 , ,...,   n

定理92.1设入1,2,…,愚 Hermite矩阵A的n 个特征值,那么 ‖4l2=max|2 42=p(A24)=(4)=(p(4) 因此‖42=max14 1< ≤ 又由4=(24)=()=∑2 得A4=、∑

定理9.2.1 设 是Hermite矩阵A的n 个特征值，那么 证: 1 2 , ,...,   n 2 1 max i i n A    = 2 1 n F i i A  = =  2 2 2 2 ( ) ( ) ( ( )) H 由 A A A A A = = =    2 1 max i i n A    因此 = 2 2 2 1 ( ) ( ) n H F i i A tr A A tr A  = 又由 = = =  2 1 n F i i A  = 得 = 

设x是一个非零向量,A是 Hermite矩阵 称x4x为矩阵A关于向量x的 Rayleigh商, 记为R( 定理922如果A的n个特征值为4≥2≥…≥ 其相应的标准酉交的特征向量为1,212…,ln 那么有A≥R(x)≥n 定理923设A是 Hermite矩阵,那么 2=minR(x)或=minR(x) x∈C1且x≠0 XCCn=k+1且x≠=0

设x是一个非零向量，A是Hermite矩阵， 称 为矩阵A关于向量x的Rayleigh商， 记为R(x). H H x Ax x x 定理9.2.2 如果A的n个特征值为 其相应的标准酉交的特征向量为 那么有 1 2 ...       n 1 2 , ,..., n u u u 1 ( )     R x n 定理9.2.3 设A是Hermite矩阵 ，那么 1 0 0 min ( ) min ( ) k n k k k x C x x C x   R x R x     − + = = 且 且 或