16 微积分数程 这里替換t=只須在心里暗暗記住就行了。 讀者現在会看田,第瓴54目中的規則Ⅲ,实质上就是化成幾性替 换t=ax+b f(as +b)a a jJ(aic +b)d(aa+b) f(tdt. 有时,运用替换法的方式与上远方式不同。即是,在被积表达式 f(x)da中直接以新变数t的面数c=g()代替x于是得到表达式 f(9()y'(却)dE=g()dt. 显然,如果在这个表达式中作替换t=o(x),其中a(x)是g(t的反菌 数,就会回到原来的被积表达式f(x)dx。所以,象在前面写出等式(2) 那样,在算出右端积分之后,应当合t=ω(x)。 作为例子,求积分: d 如果合x=t"(为的是“消去”所有的根式),即得√x=t3,3/2=,dm= =6t,井且 tdt √x(1+√c 1+=6|d-]1+ 6(t-arc tg t)+C 現在剩下只要依公式t=回到变数,最后得 Vr(1+va=6(%x-arc tg/a)+O 更有兴趣的例子是 dor 在根号内的至方差(其中第一項是常数)提示給我們一个三角函数替换 x=asin扌。我們有 应当指出:我們认为x在-a与a之閩变化,面t在一与『之間变化。因此t= arcsin-。 博士家园论坛流星 A
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第八章原数(不定积分) 17 acos t da t dt 拜且 Varda=a cost dt 但我們已糨知道积分 cost at= t-Fisin 2t+C [25,17)(a)]为了变回2,我們代又b= arc sin;若利用 in2= a sin t‘ a coe t 2 可以使第二項的变换更容易些。最后 ∫a-ar=a-2+2umna+ 寻求合适的替换法的技巧靠多作练习。关于这点,虽然不能轮出 般的提示,但是,使这个寻求更加容易的个别的特殊說明談者可在 下目中找到。在标情况下的替换在本教程中将直接指出。 侧思1)(a)}ex山,(6) r dr 1+x cos- (a)解股tx2,我們有d=2xdx,因此 et dt 2 &ttC=- (6)乐作同样的替换。案:2 arc tg az2+C. 在两种情彩中,积分都有如下的形状 共中9是积分时敕便利的陌数;对于这些积分,作替换t=x2是十分自然的。类似地,形状如 3 g(x3)d(x3) 的积分朵用替换t=z3。如北类推。按照最后的型式可处理第三个积分。 3)捐 (ax2+B)“xdx(≠一1) 脲达几可合t=x2但是可更随单地一下子取x=ax2+B,因为因式xdx与du=2axde 1107982 家园论坛流星
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18 微8分学教程 只差一个数字系数。这样,我們有 (ax2+B)“zdr=1 Pdu= 2a(+1) 2a(4+1 (arR+B)**I+C. 3)(a) loga dx,(6 (B) dx xig王 a logs 提示所有达些积分都有如下的形状 因而取替換t=logx M R:(a)-log2+C; (6)log log r+C, (B) 4)形状为 a(sin x)coax dr, lg(cos x)sinzdr g(tgr) dr 的积分,分别地取替换 t=sin u=cos z, v=tga. 例如, cosxd 1+sin2r JIft2-are tg t+C=arc tg sin t+C i (6)tgr dr sin 2dt pgluj+C=-logl cos a +Cr 2 g22+B2 +B2 4B arete+c=ab ar tg(ater) +c 5)(a) () ctg dr,(助) e2odr,(x)dnxc公 da 2孟 艇(a)如果合t=x2+1,則分子2xd恰好铪出d;积分可化成 og∶圳+C=log(x2+1)+C 我們指出,当所铪出的积分有如下的形状 ldx 时,也就是脫,在被积表达式中分是介拇的分时,替换t=f(x)常可一下子就达到目的。 t logIt+C=log f(r)i+C. 博士家园论坛流星
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第八章原函数(不定积分 19 按服这个范式,我們有 ()| ctg a dr- rosin兀=1 og Sinx!+C[比較4)(6)] sIn. d log(e22+1)+Ci +1 2 r n a cosE t ga-log itg=I+c. 6)由上题(r)的果容易得到两个有用的积分: (a) SIn 2 =logg+C. Sin-cos r (6) log|tg(+-】]+C OS 7)(a) Varc tg: 1+z2 r√ arc tgr d arc tga=2( arc tg a)茗+C 6) edx 1](e)2+1 =aro tgeo+Cs tg +C参看4)(6)] 現在拾几个包舍二项式a2-x2,x2+a2与x2-2的表达式的积分的例子。在这些憎 形下,以新变数t的三角面数或双曲图数代替x,并利用下列的关系式 Bin2tHcosat=1. 1+tg2t chat-sh2t=1, 1-that= 1 cb2 常有很多的便利。 dx 作替换 a dt cos2 t 于是 (24a3)2 ascos2:,.)(t+ aIn t co8t)4C看25,17)(0 *假定t在一与之岡变化即可。 博士家园论坛流星
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微积分学数卷 现在回到变歡x,合t=artg石,井通过tt=2表示出sint与cot最后得 ∫aay=a+ota+ 达儿朵用双替换較为便利。作为例子,时論减号的情形。合x=acht当z与t0 时),ax= a sh t d,√2-a=asht。积分可簡单地化成{d=t+C。为丁变回x,回想 下双曲余弦药数的反函数表达式[49,3)] aTvia +c=log(x+vz2-a2+c, 共中雷数C包含有一log郾这一項 10)(a) (x2a2) 在所耠情况中,三角替换或夏曲替换都是可以同样簡单地达到目的。作为例子,在第二 个积分中取x=a阳e如 a sin t d,a?gt cos2 t cos t 于是z2-a2=atg2t,并且 cost d sin2 t a3sinttc 作替换:x= a sint, dr= a cost di把这个积分化成下面这样[渗看6)(a)] i f dt 1 但是 t=1-cot=a√a 2 sin t 既以最后排到x如=ak|-o- +c 最后再對瀚两个换元积分法的例子,此处所作替换不如上暹那些情况来得自然,但可迅 潓地达到目的。 dr 12) T+ 合√2+=t-并取t作为新的变数。举方后,等式丙端的x2可以涫去,赭果是 博士家园论坛流星
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