第八章原教(不定积分) 王L (1√x) 了 E dx 6 13 2+C (I3 现在给一悲应用规則TI的例题 7)(a) =log t-a+C. →县 (6 le+f1 (-a)-x1士C (k ,〔k>1) (II13) 8)〔a) sin mrdx=- CoSnT+C;(m≠0) (II;8 (6)cos me dx=_sin mc+C,(m+0). (III; 9) (III:7 9)〔a) dr 1-x2=arcsin=+C,(a> 0). (II16) 1千 川到全部規則的例题: 一ea+1-e-)dt e一的2x+e-士C (II,II7,2) 11 ar+6 以分母除分子后,把被积丧达式表示成下面的形状 a,be←ad1 C Gx+d 由此,所求积分等于 hc-ad (I,1I; 12)[2x2-3x+1d=1(2x-5+1)d=x2-5x+6log!x1+C, x+1 x十 博士家园论坛流星
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12 微积分哔數君 把分母較复杂的分式求积分时先把此分式分解为分母更筒单的分式的和,常会变褥容 易些。例如 2+a 因此[参看例题7)(a)] ±3)a-a2 dx C E-o at+a 这种方法可以脫明,例如,更普逼形状的分式 (r+ac+b) 显然,(x+a)-(x+b)=a-b。此时有恒等式 +(+2=a6(2b 出此可见 14) r+a(x+o 特别地, 15)( dx x2-5x+6J(xm2)(z-3)~1ox=2:C. 1 4x2士4x-3 2x+5+C 16)Jxx+2Bx+a(当B-AC>0时) 分母可分解为这样的笑因式:A(x-a)(x一F),共中 a=二B+√B-Ao ,B=二B-B=AC A 于是,按照例短14),假定a=一阝,b当-a,我們得到 +2Bx+C-2√B2-A Og BVHE-Ad+ Ar+B 有些三角表达式翟过某些初等变换后,也可以利用这些筒单方法求积分。 例如,显然 cosmo=1+cog 2mr, sin2mre-cos 2mr 2 出此 17)(a) cos2mrdx=c+-sin2mr+C, m≠0 6)[ sin2mcdx=1 sin 2mt+C 博士家园论坛流星
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第八章原豳数(不定积分) 用类似的方法,我們有 sin r cos nr=-[sin(n+n)z+sin(m-n)x], [eos(m+n)x士cos〔m一7)x], sinT sin nx=-[cos(m-n)r-cos(m+n)c]. 定m士≠0,我們得到下面的积分: 18)(a) sin mz cos nz dx s -cos(m+n) 2(m士) 2(m-n) cos(m一)x+C (6∫ cos mt cos ar dx =o(m+nx+xm -sin(m-nx+C (B) sin mz sinze dx=o isin (m-2)c- sin(m+n)r+C (m一) 2(7十7 最后考虑几个更复杂的例题。 sin 因为 six2n≌ [sin 2/- sin(2-2)2]= 2sin 所以积表达式可以化成2∑(2-1),所求积就够于 sin(2lc-1)x 2 类似地 sin(2n+1): sinks x=x+2 27c H=1 25换元积分法現在我們来讲逃函数的积分法中最有力的一 个积分法一换元积分法或替换法。下面的簡单的說明就是它所根据 的基破 如果已知 (tdt=G(t+c 旬有 Ig(a(a))a'(a)dac=G((a))+C 博士家园论坛流星
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微积分学敏程 [假定所有在这里出現的函数g(+),0(x),o'(x)都是連额的。] 只要注意Q"()二g(),上式就可由复合函数的微分法規則[97]直 接推出,助 -G(o(a))=G (a(a)) (e)=g(o(x))a'(a). 我們也可以换一种方法来表示这同样的事实,只要先說关系式 dG(t)=g(t)dt 在以图数a(x)代替自变数t时保持有效[105]。 股要算积分 f(ad 在許多情形下,可以选取这样的x的函数,t=o(∞),作为新变数,使得 被积表达式可表示成下面的形状 fca)dac=g(o(a))(a)d 这儿g(t是求积分时比f(x)更方便的图数。于是,按照上面所讲的, 只耍求出积分 a(t)dt=G(t)+C, 然后在这积分中作替换t=(x),就得到所要求的积分了。通常簡单地 写成 f(a)de=g(i)di 式中右端积分所表示出的t的图数中,已暗含着上面所作的替換了。 例如,求积分 sin a coF諾d 因为 dsin a= cog a da,那么,合t=gina,被积表达式就变成 sin a cos a da=sinwd Bin a=tdt. 我們容易算出最后的表达式的积分: 已2=+C 博士家园论坛流星
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第八耷原数(不定积分) g 剩下只要回到变数x以照G代替即得: sin8 a cos a d=它+C 4 蕞者注意:在选取簡化被积表达式的替換=0(a)时,应当記住, 在被积表达式中应找出一个因式o(ax)dx,使它給H新变数的微分dt 畚看(1)]。在上例中,因式 cos ar dx=d的存在就决定了可以作替换 =8in。 关于这点,有一个很好的例子 Bin a dai 这几正因为缺少逃的因式,作替换t=sinc就会是不合适的。如果 試一試丛被积裘达式中分出因式 Bin c dx,或者更好一些以- sin a dao 作为新变数的徽分,那么,由此得到替換t=c0c因为剩下的表达式 61=cos北 可用这替换加以簡化,所以这个替換是正硝的。我們有 sin a d=(t-1)dt=6-f+C=co -cos t+C 3 在技巧相当熟练后,作替換时变数t可以不写出来。例如,在积分 sina cos a da= d sin a 中,心里想象着把enx看作新变数,一下子就可得到所求精果。类似 地 arc sin“+C da 十 (2==arc tg+C 十1 博士家园论坛流星
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