第八章原西教(不定积分) 21 于是 t2-a ti+a t2 最后得到 ∫√+21∫1+=lwx++.比較9) d 13 √(-a)(8-z) 合x=ap+Bn2(<p<)其中甲是新变数;于是 ∽a〓(R-a)snp,B-x=(B~a)cosg, dx=2(β-a) sin cos; 这样一来 √(xA==2{d=2p+C=2artp×C. 258,分部积分法設%=f(x)与v=g(ac)两个都是c的数,具 有連微商v=f(x),v'=g'(x)。在这情形下,依乘积的微分法則 d(u)=wd+或器=以wυ)一υd。表达式a()的原函数,显 然是v所以得到公式 w dv=0v-lv du 这个公式就是分部积分法即。它能把表达式dv=wam的积分 归精为表达式=uvd的积分。 例如,設要求积分[zmda。合 =x,d=co8da,于是dk=d,v=sin 并且,依公式(3), cos a da=cd Bin a=a sinx-lsin a da= zsin十oosx十C 由此可見,分部积分法使我們能够以簡单的函数gna来代替复杂 *因为就我們的目的来說,只买有一种方法能来示c0山是如就够,那么,就次有 必宴写出包含一个任意常数的U的最普江的表达式。这点說明在以后应当加以注意 博士家园论坛流星
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22 微积分学嵌程 的被积函数cox。順便說說,在求υ之时,必須把表达式 cos a da求 积分,故称:分部积分法。 在应用公式(3)来計算所提出的积分时,必須分被积表达式成为两 个因式:及d=odm,其中第一个因式在公式(8)右端取积分时要被 微分而第二个因式則被积分。必須极力設法使微分如不难积分,还 要設法使如代替认、υ代替dυ时总合起来可将被积表达式飾化。例 如,在上面所討論的例子中,比方說取cdw作为du,而取ooa作为, 就显然是不合适的。 在計算熟练后就不必引进記号%及,而可以直接应用公式[比較 (4)]。 分部积分法应用的范国比换元法受到更多的限制。但有許多类 积分,例如, a* log "a da, a"sin bx dc, a cos be d, [&@a ds 等等,只有借助于分部积分法来計算。 重复应用分部积分法則,便得到所謂分部积分法的推广公式 假定,面数与v在所考虑区間上有直到第(n+1)級的各級連额 微商:c,v',w",v',…,,v,u,第+ 在公式(3)中以υ)代替v我們有 u( -+Ida= udu m)=uv(n)-lu(mda=uo(m)-Ju'vwda 类似地, udx=gt'y (r-1) {-1)a=g"ut u(m) da=u(a)0-u(+1y dx 以十1及一1翰流地乘这些等式,并且把它們按項加起来,涫去左 博士家园论坛流星
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第八章原函数(不定积分) 23 右两端相同的积分:我們得到上面所說的公式: d=wb)--1)+8"v (-1)”un)u+(-1) 当被积表达式的因式中之一是整多項式时,利用这个公式是特别 方便的。如果"是磐次多項式,那么,"1恒等于0,于是左端的积分 可得到最后的表达式 我們来讲一些例子。 259.例1) 微分log可得到筋化,故說 =1ogx,d=2dr,于是d=,υ=1 c4 log x log x-ra+C a)(ay jog zdr, ()are tgidr,()arc inode 在所有的情形中都朵用dx=如,我們得到 (a) log x de=z logx-rd log x=x log x- dr=x(log x-1)+C; (6)arc tgrdr =rarc tg are tg= arc tga- R are tg.z、og(x2+1)+C[論看85,5)(a)] (a)ard sin zdr=zare sin z-jxd are sin x=zarc sin [-Sviexzdr r arc sin x+√1-z2+C[看257,2)] xsin 3 d 我們有 rad(-cosx=-z2cosx-(-cos x)dxa=-22 e032+2zcosrdr 这一来,我們已經把所求积分化成已知的积分了[258,(4)]以它的館代人:得到 x2sin dr= -x2 cos r+2(x sin x +cos x)+C. 分部积分法则在这里总共用了两。 博士家园论坛流星
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24 微积分学歌君 同样地,重复应用这个法則,可計算积分 P(x)eardr P(=)sinar de,P(r)coa brdx, 其中P(x)是x的整多式。 d)如果利用分部积分法的推广公式,就可以立即得出这种形状的积分的普逗表达式。 合1)=,即有 v(n= =如此下去 子是,若P(x)是x大多項式,做公式(5),我們锝到 P()eaadr =goz[e-Pr+Pn-1+( 类假地,如果取a+1)= sin bx,那么 cos br (n1)= gin oc v(n-2) b 如此下去。 由此有公式 P(x)snb缸x= sin bz.P.P∥ cos +…}+C b 用同样的方式可建立公式 P()cos br dx=sin br.L6 03+.+cos bx.[ pm b-b4-+…|+C 6)∞31og2xda。我們有 log rdz 我們已把題化成例题1)的积分了。最后得到 xlog?2 dx=x logt(L10g t-Id)+ca 例如,依次計算积分 k log a de 其中k是任意实数(≠-1),而m=1,2,3,“。鄰果合t= Logar,而把分部积分公式应用 到这个积分,就得到循环公式 xlog狮xdz k+1 F+1J~l s drv 用这公式計算所考虑的积分时,能化为酐算同一类型的积分,但是1ogx的指数少丁一大 博士家园论坛流星
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第八章原函数(不定积分) 25 可是,替換言=l∝gx还可以把所考虑的积分引向在3)及4)中巳貍研究过的积分 nek+1)础的形状。 6)下列积分是一些很有趣的例子 eas cos brde, esa sin be dx, 若把分部积分法应用到它倒上(两种情形下都取,北方說,d=eadx,u=÷ea)就得到 eGa cos badr= learcos bx+beso sin badr ∫…8n如d=nbx* cos bz dz. 可兒这两个积分中的每一个都能用另一个我达出来·。 但着以第二个公式代人第一个公式中的第二个积分,就得到对于第一个积分的方程式 由这力程式可确定 ega cos br dx=6 sin bx+a cas been+c 类似地可得出第二个积分 eda sin bar dr=a sin bz-b cos bress +1 a3+b2 7)作为应用分邮积分法的最后的一个例子,我們导出計算积分 =17+2xn(n=1,23,…) 的镅环公式。 合以四2+a,d=d,于是=-(2+a0)U=应用公式(),我們得到 J (x2+a)+2 de. (x2+Q2) 最后一个积分可变成如下的形式 (x2+a2) x2+a2)a+ de *如果把积分了解为确定的原图数[比較254中的附注],那么,想妥在第二个公式中 有与在第一个公式中同样的函数,严格說来,我們还必須在右端加进某一常数。当然,它把 常数C与C吸驶到最后的表达式里去。 博士家园论坛流星
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