微积分学教翟 换句話說,变动面积P(x)是耠定函数y=f(x)的原函数。由于当 x=a时这个原函数变为0这一特点,使得它与原厍数族中共他的原函 数有所不同。因此,如果巳知数f(a)的任何一个原面数F(x),則 按前一目中的定理就有 P(a)=F(e)+C, 那么,x=a,就容易定出常数C 0=F(a)十C,于是C=-F(a) 最后 P(x)=F()-F(a) 特別地,要求得整个曲錢梯形ABCD的面积P,需要取x=b P=F(b)-F(a 作为例子,我們求界限在抛物錢g=ax2下,x軸上及对应于轮定 横坐标x的纵坐标之間的图形的面积P(x)(图3);因为抛物幾交a 軸于坐标軸的原点,所以在这儿c的开 始值为0。容易找出函数∫(x)=a的 原数:F(∞)=。当x=0时这个图 数恰好变为0,所以 P(a)=F(a) 38 y[比較32,4)]。 由于在計算积分与求平面图形的面 x积之間有联系,通常习慣于把积分計算 3 本身卧作求积。 为了把以上所讲的全部事实推广到也取負值的函数的情形,只要 約定把图形中位于x軸下面那一部分的面积的值算为負值就行了。 这样,在区間[a,b上不管怎样的速藏函数f(x),讀者总可以把 它的原函数想象成耠定面数的图形所划出的变动面积的形式。可是, 博士家园论坛流星
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第八章原頭数(不定积分) 7 把这个几何的解釋就认为是原函数存在性的证明,当然是不可以的因 为面积概念本身还沒有根据。 在下章[2983]中,我們可以对下面的重要事实输出严格的井且辣粹 分析的证明,这个事实就是:在希定区間上的每个速續函数∫(x)都有 在这区盟上的原函数。这个断营我們現在就加以朵用。 在本章中我們只讲連弑函数的原数。如果实际給出的麽数有 断点那么我們将只在它連貘的区間上考虑它。因此,承认了上進断营 之后,我們就无須每大預先讲明积分是否存在:我們所考虑的积分总是 存在的。 25.基本积分表由微分学中的每个公式,这公式建立着某一 数F(x)的徽商是f(x),可以道接导出相当的积分学中的公式 f(a)da=F(x)+C 現在选出第94目中計算初等函数的微商的那些公式,也选出后来(对 于双曲数)推出的一些公式,就可作下面的积分表: 1.0·aa=C. 2.1·a=dx=x+O A++C,(≠-1 log a-+C 5 1 Ifa=are tg +O. d 6 =arc sina+c 十C log a 博士家园论坛流星
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镦积分学程 8. sin a dx cos+o 9,cos a dx=sinx+C 10 dx tg +c sina dr cos2 2c+C 12.sh a dx=ch a+C 13. ch a da=sh a+C 14 2+C 15 dx=th a+c h 关于公式4,我們要作一点說明:它是应用在不包含零的任何区間上 的。实际上,如果这个区鬨在的右力,就有a>0,而由已知的微分公 式[ogx]=即可直接推田 og a.+C. 如果区在黎的左方就有<O那么用微分法容易证实[lg(-)= 由此 log (-a)+C. 合并这两个公式就得公式4。 用积分法則,还可以将上面所得到的积分表的范国加以扩充。 254.最簡单的积分法則I.若a是常数(a≠0),則 (a)d 博士家园论坛流星
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第八原卤数(不定积分) 实际上,把右端的表达式取微分,我們便得到[104,1 可a·1f(x)d]=a·df(a)l]=a,f()da, 所以这个表达式是微分表达式a·f(x)d的原函数,而这正是所要证明 的。因此,常数因子可以拿到积分記号的外面来。 I.|f(x)±g(x)]ax=1(x)d士|g(x)aa 把右端的表达式取微分[104,: a[]f(a)dx:+o(a dce]=d f(a dx+dg(a)de f(x)士g(ax)]dar; 所以,該表达式就是徽分表达式[f(a)士g(x)Jd的原函数,这就是所 要证明的微分式的和(或差)的不定积分,等于每个微分式各自积分 的和(或差)。 附法关于这两个公式,我們要注意下面这一点。这两个公式中 的每个不定积分都包含一个任意常数項。这类等式应了解为等式左右 两端之間的差是一个常数。也可以从字面上来了解这些等式,但这时 所有出現于共中的积分之中有一个积分不再是任意原断数:这个积分 中的积分常数在共他几个积分常数选定之后,就被确定了。这个重要 的附注,在此后应当加以注意。 〗.若 (t)dt=F(t)+C, 則 f(ax+b)d=·F(ax+b)+C 实际上所的关系式相当于 n(t)=F(t)=f() 但如此,则aF(ax+b)=F(ax+b).a=a.f(ax+b), 博士家园论坛流星
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微积分学程 于是 dl f(aa+6小-(m+b, 即是,P(ax+b)确是函数f(ax+b)的一个原函数。 特别时常遇到的情形是a=1或b=0,这时: f(a+b)da=F(+6)+Cl f(ar)da=- F(a)+C [实际上,規則Ⅲ是不定积分中換元法則的极特別的情形。关于 换元法則,在下面256目就要讲到。 25例列1)「(6rs-3r+5)dr 利用規則Ⅱ与I(及公式3,2)我們有 (6x2-3z+5)dx=16x2dx-13xdx+15dz =6 rdx+5dx=2x3-3x2+5r+c 2)容易积分一般形状的多項式 ∞x+a1x7-1+…十an1x+an)= ao i=dr+a11xn-ldr++an-1 rdx+an dr= 十…十 +ant+c. (I,I3,2) 3)1(2x2+1)dx=)(86+124+6x2+1)dx= =Bx7+12x+2x+x+C. (例题2 z)4dx=1(1+4x 4x√z+x)d d zt4 dx+xdr+4l rEdx+rdx= +3是+2+号是+了+ (II3,2) 5)5+322-3dxar+ 32ar-i3dx=jo 111 =召r2+3"-1gx+2+C… I,l3,2,4) 博士家园论坛流星
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