第八章原函数(不定积分) 81不定积分与它計算的最筒单方法 251·原函数(肌不定积分)的概愈在科学与技术的許多問題中, 我們所需要的不是由耠定的函数求它的微商,相反地,是要由一个函数 的已知微商还原出这个函数。在第91目中,假定巳知运动的方程8= =8(t),即是,路程随时間而变化的变化規律,我們用徽分法先得出了 速度=d8 dt 然后找田加速度a dt° 但实际上,时常需要解决反面的 間題:稀定加速度a是时間t的函数,a=a(t,要求确定遽度υ与所 糨路程8依賴于t的关系。这样,就需要由面数a=a()还原出一个 函数=(),它的微商就是a,然后,知道了函数忉,再求一个效 8=8()而它的徹商就是υ 我們給出下面的定义: 如果在耠定約整个区間上,f(x)是函数F(a)的微商,或∫(a)dx是 F(x)的微分 F(x)=f(x)或dF(a)=f(x)do°, 那么,在所耠定区間上,國数F(x)叫做∫(x)的原酒数或f(x)积 分 求一个菌数的所有的原函数,吗做求积分,这是积分学的間题之 可以看田,这是微分学基本間題的反面間題。 ◆在这情形下也可脫面数F(x)是微分袤达式∫(x)dx的原函数(成积分) 博士家园论坛流星
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2 微积分学敬程 定理如果在某一个区間(有穷的或无穷的,閉的或非閉的)上, 函数F(x)是∫(x)的一个原菌数,那么,函数F(a)+C也是∫(x)的原函 数其中C是任意常数。反过来說,在区間上f(a)的每一个原函数 可表示成这种形式。 证明只要限于是有閉区[a3b]的情形就够了。 F(x)与F(x)+C同是∫(x)的原函数,这个情形是十分明显的,因 为[F(x)+叮]=F(x)=∫(x)。 現在殺Φ(x)是数f(x)的任何一个原函数,于是在区阿[,b]上 Φ(x)=f(x) 因为函数F(x)与Φ(x)在所考虑的区間上有相同的微商,所以它們只 相差一个常数[126,系理]: Φ(x)=F(x)+0, 这就是所要证明的。 由这定理推知,为要知道输定函数∫(x)的所有的原函数,只求 出它的一个原函数F(x)就够了,函为它們彼此之間只差一个常数項。 由此,表达式F(xc)+C是微商为f(x)或微分为∫(a)da的烫数的 一般形状,其中C是任意常教。这表达式称为∫(x)的不定积分,用祀号 f(e)da 来表示,这个記号中已暗含有任意常数。乘积∫(x)da称为被积表达 式,面数∫(x)称为被积函数。 例题敢∫(ax)=x2;不难看出,这个函数的不定积分是 xda==+c 这很容易用反面的演算—微分法亠一来驗证。 我們提醒讚者注意,在积分配号下写的是所要求原函数的做 分,而不是微商(在我們的例题里是a3aa,而不是a3)。以后在[8]中 将要闌明,这样的記法是有历史根据的;而且它还表現着許多优点,因 博士家园论坛流星
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第八章原数(不定积分) 而保留它是十分合理的 从不定积分的定义直接推田下列的一些性质: d f(a)dx=f(a)de, 自是,配号d与,当前者位于后者的前面时,可互相消去。 2.因为F(a)是函数F(m)的一个原面数,我們有 F(a)dx=F(x)+C 这式子可以改写为 dp(a=F(a)+C 由此可晃在F()前面配号d与,当d在后面的时候,也 可把它們消去,但必須在F(x)后加上一个任意常数。 回到我們一开始就提出来的那个力学問题上,現在我們可以写 a(dt 与 t)dt. 为了明确起見,假定我們耍討論的运动是等加速运动,例如,在重力作 用下的运动;这时a=g(沿飴垂秘向下的方向为正方向),并且,不难了 解 g dt =gt+C 我們得到了速度的表达式,在这表达式中,除时鬨t外,还包含 有一个任意常数C。在同一时刻对于不同的C的值,我們将得到速度 的不同的值;因此;,对于周題的完全解决,我們已有的数据是不够的。 为要得出問題的完全确定的解决,需要知道在某一时刻速度的数值才 够。例如,設已知在=b时速度v=v;我們把这些值代入所求得的 速度的表达式中 wo=gto +C, 由此 C=vo-gto, 博士家园论坛流星
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微积分学教程 現在我們的解就有了完全确定的形状 v=g(t-to)+vg. 其大,我們求得路程8的表达式 =-om21-50(-b)+0(-b (用微分法容易驗证,原函数可以取这样的形式)。例如,假定在=如时 路程8=8耠定,我們就可以确定新的未知常数C;求得C=80之后, 我們便可以写田解的最后的形状 8=g(t-to)2+(t-t)+ 习慣上称值珈,80,W为量乱,8与v的开始值。 我們知道,函数y=F(x)的微商轮出对应图形的切秘的斜萃。因 此,可以这祥来解穋求铪定函数f(x)的原函数F()的問題:要找出一 条曲籍y=F(x),使它的切能刹率适合定的变化規律 tg a=f(a). 如果y=f(ax)是这些曲髅之一,那么,只須把它順着軸作箇单 的移,便可以得到所有其 余的曲秘(移动的距离O是 y=fEr 任意的,图1)。为要从这族 曲髅得田一条个别的曲觎, 只需給田(举例来說)这曲幾 应当通过的一点(x,3)就 亦 够;开始条件y=F(xzo)+C 图1 就給田C=30-F(x)。 252.积分与面积定义問题把原面数解釋作曲图形的面积是 更为重要的。囚为在历史上原面数概念与面积的确定有极共紧密的联 系所以我們就在这几来讲这个問题(这儿只利用平面图形的面积的 谊觉的表示,而把这个間题的精确提法留到第十章去讲) 博士家园论坛流星 和物
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第八章原该数(不定积分) 陂耠定在区間[a,b]上只取正(或井負)值的速辍防数y=f(a) 考虑限制在曲y=f(x)下,x軸上及两纵糢a=a与=b之問的图 形ABCD(图2);我們把这类图形叫做曲韆梯形。想耍确定这图形的 面积P的植,我們硏究变动图形 AMND的面积的性质,这变动图 形包含在开始纵幾x=a以及跟 区間[e,b]上任意选出的值相 对应的纵之間。当x改变时, 这个面积将随之而变,井且对应m 于每→c有它的一个完全确定的 图2 值,于是曲秘梯形AMND的面积是的某一菌数;我們用P(x)表示 它 我們首先提出求菌数P(x)的微商的問題。为了这个目的,我們 耠x添上某一个(比方說,正的)政变量△m;此时面积P(x)将获得改变 量△P。 以m及丑分别表示在区間[x,2+△x]上断数f(x)的最小值与最 大值[84]并将面积△P与底为△x,高为%及M的矩形的面积加以比 較。显然 m△<△P<M△x 由此 m< △P∠M 如果△→0,那么,由于逑辍性,m与M趋于f(ax),因而 P(a)=lim △P =f(x) ▲→0 这样,我們就得到一个有名的定理(通常叫做牛顓-莱不尼慈定 理)∵:变动面积P(x)对有穷的横坐标x的微商等于有穷的纵坐标 共实,达个定理——虽然是在另一种形式里一巳为牛的老师巴若(Is. Barow) 发表过了。 博士家园论坛流星
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