2.拉氏变换的存在定理 定理1:(拉氏变换的存在定理)若函数()满足下列条件: (1)在t≥0的任一有限区间上分段连续; (2)当t→+∞时,f()的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数M>0及c≥0,使得f()≤Me,0≤t<+∞成立 则函数()的拉氏变换F(S)=Jf(eh在半平面Res)>c上 定存在,且为解析函数 说明: (1)这个定理的条件是充分的,物理学和工程技术中常见 的函数大都能满足这个条件, (2)一个函数的增大是指数级的和函数绝对可积的条件相 比要弱的多 2021/224
2021/2/24 9 2．拉氏变换的存在定理 定理1:(拉氏变换的存在定理) 若函数 满足下列条件： f t( ) (1) 0 在 的任一有限区间上分段连续； t (2) ( ) 当 时， 的增长速度不超过某一指数函数， t f t → + 0 0 ( ) 0 . ct 即存在常数 及 ，使得 ， 成立 M c f t Me t + 0 ( ) ( ) ( ) Re( ) st f t F s f t e dt s c + − = 则函数 的拉氏变换 在半平面 上 一定存在，且为解析函数． 说明： （1）这个定理的条件是充分的，物理学和工程技术中常见 的函数大都能满足这个条件， （2）一个函数的增大是指数级的和函数绝对可积的条件相 比要弱的多．
例3.求正弦函数(O)=sink,k为实数的拉氏变换 解:因为imk<e",M=1c=0 所以满足拉氏变换存在定理中的条件, →lnk]= sin ktes dt -st [-sin kt-k cos k ]o s+k s4+k 同理可以得到: LIcos kt S s<+k 2021/224
2021/2/24 10 • 例3．求正弦函数 ， 为实数的拉氏变换. f t kt k ( ) sin = 解： 0 sin , 1, 0, t 因为 kt e M c = = 所以满足拉氏变换存在定理中的条件， 0 [sin ] sin st L kt kte dt + = − 2 2 2 2 0 [ sin cos ] st e k kt k kt s k s k − + = − − = + + 2 2 [cos ] . s L kt s k = + 同理可以得到：